數(shù)學初中競賽 數(shù)與式 專題訓練

數(shù)學初中競賽數(shù)與專題練一．選擇題1知100個整數(shù)a滿下列條件＝1＝﹣|a+1|＝﹣|a+1|…12310012132a＝﹣|+1|則a++…+＝（）10099123100A．0B．．100D．﹣1002．絕對值小于2019的所有整數(shù)的和，則2值為（）A．4036B．4038C．2D3．多項式a

﹣+3

+3有因式（）A．++c

B．b+C．2

++2

﹣+ca

D．bcca+ab4（bab+b＝3﹣2b+ab+a﹣ab+＝3+b（++b＝3+我們把這個等式叫做立方公式．下應用這個立方公式進行的變形不正確的是（）Ax+4y2

﹣4+16）x

+643Ba+12

﹣+1）＝a

+1C+x﹣2xy+2）＝83+3Dx+32﹣6x+9）＝x+275．已知x＝A．0

﹣B

，則x+12x的術(shù)平方根是（）C．D6．如果A．15

，，正整數(shù)，則的最小值是（）B．17C．72．1447．式子x﹣2|+|﹣4|+|﹣4|+|x﹣8|的最小值是（）A．2B．4C．6D．88．如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，﹣2x|+|2﹣3|+|2﹣5|值恒為一常數(shù)，則此常數(shù)值為（）A．0B．2C．4D．69．如果實數(shù)a滿足：＜＜0，則|﹣a|+|+2014|+|﹣a+2014|的最小值是（）A．2014B．+2014CD+40281

10．在，，0.2012，，有理數(shù)的個數(shù)為（）A．2B．3C．4D．5

這5個數(shù)中，11．現(xiàn)有一列數(shù)，，…a12320082009

，2010

，其中a＝﹣1，＝，a2312010

＝9，且滿足任意相鄰三個數(shù)的和為相等的數(shù)，則+a+++a+的值為（）1239899100A．0B．40C．32D．2612．以下三個判斷中，正確的判的個數(shù)是（）（1）+3x﹣1＝0，則x＝﹣3（2b+﹣a

b＝4b﹣＝﹣2a+b

+c

（2

+2

c2

+2

a2

）＝﹣11（3）若a＝，＝，＝q，則a+a+a+＝2132431234

（≠1A．0

BC．2

D．3二．填空題13．如果（+3a）﹣2可以因式分解為（+m+n其中m，n均為數(shù)a的值是．14．已知互不相等的實數(shù)ab，滿足，則＝．15．將1……、20這20個然數(shù)，任意分為10組每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作x，另一個記作y，代入代數(shù)式（|﹣|++y）中進行計算，求其結(jié)果，10組數(shù)代入后可求得10個，則這10個的和的最小值是．16若對于某一特定范圍內(nèi)的x任一允許值﹣2|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10|為定值，則這個定值是．17．甲、乙兩同學進行數(shù)字猜謎戲，甲說一個的相反數(shù)是它本身，乙說一數(shù)b的倒數(shù)也是它本身，則a﹣＝．18．已知+4+1＝0，且，則＝．19．對于任意實數(shù)a、b、d，定義有序?qū)崝?shù)對（a，）c，）之間的運算“eq\o\ac(△,”)eq\o\ac(△,)為：（）△，）＝+bd，+bc果對于任意實數(shù)v，都有uv）eq\o\ac(△,（)eq\o\ac(△,)x，2

y）＝（，那么（y）為．20．設p是給定奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得用含的數(shù)式表示）三．解答題

也是一個正整數(shù)，則k＝果21．，，是角形三邊長，且a﹣162

﹣+6+10bc，求證ac＝2．22．閱讀材料：把代數(shù)式x

﹣6﹣7因式分解，可以如下分解：x2﹣6﹣7＝2﹣6x+9﹣9﹣7＝（﹣3

＝（﹣3+4﹣4＝（+1x﹣7）（1）探究：請你仿照上面的方，把代數(shù)式x﹣8+7因分解；（2）拓展：把代數(shù)式2+2﹣32因分解：當＝

時，代數(shù)式x+2xy﹣32＝023．閱讀下列材料：我們知道|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x應的點與原點的距離，||﹣0|也就是說，x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與0應的點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣|﹣12表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)對應點之間的距離；12例1解方程|x＝2因為在數(shù)軸上到原點的距為點對應的數(shù)為±所以方程|x|＝2的解為x＝±2．例2．解不等式x﹣1|＞2．在數(shù)軸上找出|＝2的解（如圖1因為在數(shù)上到13

對應的點的距離等于2的點對應數(shù)為﹣所以方|x﹣1|＝2的解為x﹣1或＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集為x＜﹣1或x．例3．解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由絕對值的幾何義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和﹣2對應的點的距離之和等于5的點對應的的為在數(shù)軸上1和﹣2對應的點的距離為3（如圖2滿足方程的對的點在1的右邊或﹣的左邊．若x應的點在1的右邊，可得x＝2；若x對應的點在2的左邊，可得x＝﹣3，因此方程|x﹣1|+|+2|＝5的解是x或x＝﹣3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程x+3|＝4的解為；（2）解不等式：|x﹣3|≥5；（3）解不等式：|x﹣3|+|x+4|≥9．24．有一臺單功能計算器，對意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是入第一個整數(shù)顯示不運算著再輸入整數(shù)x后顯|﹣x的結(jié)果1212如依次輸入1則輸出的結(jié)果|﹣2|＝1此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進行求差后再取絕對值的運算（1）若小明依次輸入1，則最后輸出的結(jié)果是；若將1，2，3這4個整數(shù)任意的一個一個的輸入全輸入完畢后顯示的結(jié)果的最大值是最小值是；（2）若隨意地一個一個的輸入個互不相等的正整數(shù)2，，，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設為k，的大值為10，求的最?。?

25）一個正整數(shù)如果能表示若干個正整數(shù)平方的算術(shù)平均值，就稱這個正整數(shù)好整數(shù)4＝2007＝2008＝42007，都是“好整數(shù)記“好整”的集合為M，正整數(shù)的集合為+，求證：＝．（2）記＝1

2

+2

+3

2

+…+2012

+2013

，求證a可寫成2012個不同的正整數(shù)的平方和．5

參考答案一．選擇題1．解：∵＝1＝﹣|+1|＝﹣|+1|，…＝﹣|a+1|1213210099∴＝﹣2，＝﹣1，＝0，＝﹣1，＝0，＝，……＝0，234567100∴從開始2個一循環(huán)，3∴++a+…+a＝﹣2）+（﹣1+0＝﹣50123100故選：．2．解：∵絕對值小于2019的所整數(shù)有，±1，±3，…，±2016，±2017，±2018，∴＝2018+2017+2016+…+1+0+﹣1）+﹣2）+（﹣2017（﹣2018）＝[2018+（﹣2018）]+[2017+（﹣2017…+[2+﹣2）]+[1+（﹣1）]+0＝0∴2＝0故選：．3．解：原式＝（﹣b）

3

+3ab（﹣）+3

+3＝[（﹣）3+c3]+3ab（﹣bc）＝（﹣+）[（﹣）﹣（﹣bc]+3（a﹣+）＝（﹣+a+b

+++﹣ca故選：．4．解：∵立方公式（+2﹣ab+）a+3∵Ax+4x﹣4+162）＝xy）[x﹣4x+（4y）]＝3+643＝3+（4）∴符合以上公式，故A正確；∵aa﹣+1）＝（aa﹣1×a+1）＝3

+1

3

；∴符合以上公式，故B正確；∵xy2

﹣2+2

）＝（2+y）[（2）

2

﹣2y+2

）]＝（2x）

+3

；∴符合以上公式，故C正確；∵x+32+9）＝x+3x+9）＝3+27∴不符合以上公式，正確；故選：．5．解：設＝，＝，則a＝+1，3

＝﹣1．6

又∵＝（+1﹣1）＝a3

，∴＝﹣ab

，＝4

b﹣23

b

+a

b，故原式＝（2+12＝（2﹣b﹣23b+a2b+12）＝（2

b﹣abb

﹣8+4

+12）＝（2

b﹣abb

+a

b+4）＝（﹣b）2（2+b2+ab＝3b（3﹣）＝（+1﹣1+1﹣+1）＝4×2＝8．則其算術(shù)平方根是：2．故選：．6．解：由題意得，

p＜＜，如果＝15則此時13.325q＜13.33，沒有正整數(shù)值；如果＝17則此時14.875q，可取15；如果＝72則此時63＜＜64，沒有正整數(shù)值如果＝144則此時126q＜128，可取127綜上可得p的最小值為17．故選：．7．解：當x時，原式＝﹣）+﹣x）+﹣）+﹣x）＝18﹣4，∵﹣4，∴此時xx﹣4|+|﹣4|+|﹣8|≥10；當2＜≤4，原式＝（x﹣2）+（4﹣）+（4﹣）+（8x）＝14﹣2x，∵﹣2，∴此時6≤|x﹣2|+|x﹣4|+|﹣4|+|﹣8|；當4＜≤8，原式＝（x﹣2）+（﹣4）+）+（8﹣）＝2﹣2∵2＞0，∴此時6＜|x﹣2|+|x﹣4|+|﹣4|+|﹣8|；7

當x＞8時，原＝（x﹣2）+（﹣4）+（﹣4）+（﹣8）﹣18∵4＞0，∴此時xx﹣4|+|﹣4|+|﹣8|＞14．綜上可知：|x﹣2|+|﹣4|+|﹣4|+|﹣8|的最小值為6．故選：．8．解：∵s為值，∴的表達式化后的系數(shù)為0，由于＝5，∴的取值范圍2﹣3x≥02﹣5x≤0，即≤x≤，∴＝2﹣3x+2x﹣（2﹣5）＝4＝2故選：．9．解：∵﹣2014＜＜0，∴﹣2014＜＜，當x＜﹣2014時，|﹣|+|+2014|+|﹣a，＝﹣（﹣）﹣（+2014）（﹣+2014＝2﹣4028﹣3＞2014a＞2014；當a﹣2014≤＜﹣2014時，|﹣|+|+2014|+|﹣a，＝﹣（﹣）﹣（+2014）+x﹣+2014＝﹣∈（2014，2014﹣]；當﹣2014≤＜時|﹣|+|+2014|+|﹣a，＝﹣（﹣）++2014）+（﹣a＝+4028，4028+]；當a≤時，8

|﹣|+|+2014|+|﹣a，＝（﹣）++2014）+（﹣+2014＝3﹣2+4028≥4028+a＞2014．綜上|x﹣|+|x+2014|+|xa+2014|的最小值為．故選：．10．解：是分數(shù)，是有理數(shù)；是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)；0.2012是分數(shù)，是有理數(shù)；＝

（

﹣

）＝＝

（（﹣1﹣

﹣）

）＝﹣

，是有理數(shù)；對于＝2﹣2，不是全平方數(shù)，故故選：．11．解：∵+a＝+，123234

，假設+4＝m（為正整數(shù)）完全平方數(shù)，則n是無理數(shù)．∴＝，14同理可得a＝a＝＝＝＝a＝，14710031a＝a＝＝＝＝，25898a＝a＝＝＝＝a＝9，369992010由各數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律可知，從a開到的數(shù)列中，1100﹣7出現(xiàn)了34次，出現(xiàn)了33次，出現(xiàn)了33次，則+a+…+++1239899100＝（﹣7（﹣1）×33+9×33＝26．9

故選：．12．解）3

﹣10＝（2

﹣10）＝（1x﹣10）＝﹣3（2

+3）＝﹣3故）正確；（2）b4+c﹣2（ab+c+c2a）＝（a﹣﹣）﹣42

c2＝（﹣2

﹣2

+22

﹣2

﹣2

﹣2）＝（+﹣a﹣+ca++cb﹣）又知+﹣＝2+，c+﹣b＝4﹣，+b﹣c＝﹣2，可得a++c＝4+，故a++4﹣2（b+2+c22）＝﹣11故（2）正確；（3）當q＝1時，+++a＝4a當q≠1時，+a+＝123411234確，正確的有3個，故選D．二．填空題（共8小題）13．解：∵（+3+）﹣2可以因式分解為（+x+

，故（）正∴（+3xa）﹣2＝（m+n展開得：+3m+3a﹣2＝mn，進一步得到：mnm+3﹣11整理得（﹣3﹣）＝2∵其中m，均整數(shù)，∴﹣3＝±1或±2∴＝4，＝1a或m＝5＝2a＝4或m＝2n＝5＝4或m＝1n＝4＝2，∴的值是2或4故答案為2或4．14．解：設a＝，則b＝，代入+＝，得：

+＝，整理得：﹣（+1）（ac）①10

又由+＝，可得ac＝②，把②代入①式得﹣2（﹣c），即（﹣t﹣1）＝0，又∵≠，∴2

﹣1，∴＝±1．驗證可知：＝

，＝

時，＝1b﹣，＝﹣

時，＝﹣1∴＝±1．故答案為：±1．15．解：①若x≥，代數(shù)式中絕對值符號可直接去掉，∴代數(shù)式等于x，②若＞則對值內(nèi)符號相反，∴代數(shù)式等于y，由此一來，只要20個自然數(shù)里最小的十個數(shù)字從10任倆個數(shù)字不同組，這樣最終求得十個數(shù)之和最大值是十個數(shù)字從1到10的，1+2+3+…+10＝55．故答案為：55．16．解：∵為值，∴的表達式化后的系數(shù)為0；由于＝8+9+10；∴的取值范圍1﹣7x≥01﹣8x≤0，即≤≤；所以＝（1﹣2）+（1x）+（1﹣7）﹣﹣8）﹣（1﹣9）﹣（1﹣10）＝6﹣3＝3．故答案為：3．17．解：∵一個數(shù)的相反數(shù)是本身，∴＝0，∵一個數(shù)b的倒數(shù)也是它本身，∴＝±1，11

∴﹣＝0﹣1＝﹣1，或a﹣﹣（）＝1∴﹣＝±1．故答案為：±1．18．解：∵2

+4+1＝0，∴2

＝﹣4a﹣1，＝＝＝＝＝5，∴（16+﹣4﹣1）+8+2＝5（﹣12﹣4﹣1原式可化為（16+﹣4﹣1）﹣5（﹣12﹣4﹣1）＝﹣8a﹣2，即[（16+）﹣5（﹣12）]﹣1＝﹣8﹣2∵≠0，∴（16+）（）＝2，解得＝．故答案為．19．解：∵（，）△（，）＝（ac+bd，ad+bc∴（，）△，）（+，uy+∵（，）△，）（u，∴，∵對于任意實數(shù)u、，該方程組都成立，∴＝1，＝0，故答案為x＝1，＝020．解：設＝，2﹣﹣2＝0k＝，從而p+4n2是方數(shù)，設為m2，p+4n＝，（﹣2n+2n）＝212

∵是質(zhì)數(shù)，p≥3，∴，解得：∴，∴＝，＝（值舍去）12故答案為：三．解答題（共5小題）21．解：∵2﹣162﹣2+6+10＝0，∴2

+6ab﹣c2

﹣10bc+252

），∴（+3b）

﹣（﹣5b

＝0，∴（+3b+c﹣5+3c+5b）＝0，即（+﹣2+8b﹣），∵，，是三形三邊長，∴+﹣＞0，∴+8﹣＞0∴+﹣2＝0∴+＝2．22．解）﹣8+7＝2

﹣8+16＝（﹣4

﹣3

2＝（﹣4+3﹣4﹣3＝（﹣1x﹣7（2）+2xy﹣32＝2+2xyy﹣2﹣3213

＝（+）

﹣42＝（++2y+﹣2）＝（+3yy當＝﹣3或1時，2

+2xy﹣32

的值為0．23．解）∵在數(shù)軸上到3對應點的距離等于4點對應的數(shù)為1或﹣，∴方程x+3|＝4的解為＝1x＝﹣7．（2）在數(shù)軸上找出x﹣3|＝5解．∵在數(shù)軸上到3對應的點的距離于5點對應的數(shù)為2，∴方程x﹣3|的解為＝﹣2或＝8，∴不等式﹣3|≥5解集為x≤或≥8（3）在數(shù)軸上找出xx+4|的解．由絕對值的幾何意義知，該方程是求在數(shù)軸上到3﹣4對的點的距離之和等于9的點對應的x的值．∵在