優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)

圖3-1圖3-1軸的簡圖第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)3.1概述3.2實(shí)訓(xùn)1——變截面高速軸的最優(yōu)化設(shè)計(jì)3.2.1問題描述在圖3-1所示的變截面軸上安裝有一個(gè)質(zhì)量為Q的輪子。軸的長度為3l,各段長度已知，要求解決的問題是確定在滿足動力穩(wěn)定性條件下，軸的質(zhì)量最小時(shí)的直徑d和d。12該問題的分析過程如下1-選擇設(shè)計(jì)變量。此最優(yōu)化問題有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量’即要求確定的軸直徑4和d2。建立目標(biāo)函數(shù)。以軸的質(zhì)量M作為目標(biāo)函數(shù)，選用材料的密度為p,則目標(biāo)函數(shù)g如下：=f(x)=f(d,d)=p12(2d2+d2123?確定約束條件。當(dāng)軸的旋轉(zhuǎn)速度?達(dá)到其臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的角速度①或橫向振動（彎曲c振動）的固有頻率①時(shí)，軸便處于共振狀態(tài)。在大多數(shù)情況下，需要進(jìn)行這種動力穩(wěn)定性n設(shè)計(jì)的軸，其質(zhì)量M總小于輪子的質(zhì)量Q,為了簡化計(jì)算，在確定①時(shí)時(shí)常忽略M,gng而簡化為單自由度的振動問題。因此，軸的橫向振動的固有頻率為：nn式中g(shù)為重力加速度；u為軸的中間截面處的靜撓度。按照圖3-1給出的條件，根據(jù)材料力學(xué)可求得：2.38)

+d4丿22.38)

+d4丿2u=10.67Q13兀E\d41式中E為材料的彈性模量。為保證軸在工作時(shí)的動力穩(wěn)定性，應(yīng)使①v?二①或①=?Kcnn式中K為大于1的安全系數(shù)。將u的表達(dá)式及?n=Jg代入上式，經(jīng)過整理后得到動力穩(wěn)定性所要求的等式約束條件為：兀Eg10.67Q1兀Eg10.67Q13?2K2(1

——+.d412.38、d4)

2另外，根據(jù)結(jié)構(gòu)尺寸要求的條件為：d<d<d,d<d<d1min11max2min22max因此，裝有一個(gè)重輪的變截面高速旋轉(zhuǎn)直軸，當(dāng)以軸的質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，其最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為：minf(d,d)=minf(d,d)=p12(2d2+d212兀Eg10.67Q13?2K2(1——+.d4

12.38、d4丿

2d<d<d1min11maxd<d<d2min22max實(shí)訓(xùn)目的理解“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”的概念和方法；了解“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”的建模方法；了解“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”問題的解決過程；了解LINGO的編程、方法和求解過程。結(jié)果演示

Localoptimalsolutionfoundatiteration:71.48136Objectivevalue:22VariableValueReducedCost)L□.4000000□.□□□□□□Q2.□□□□□□□.□□□□□□P7800.□□□□.□□□□□□MG22.48136□.□□□□□□DI□.4992839E-01D2□.647563IE-01-□.5892775E-07Dll□.1000000E-01D12□.4000000□.□□□□□□D21□.1000000E-01□.□□□□□□D22□.4000000□.□□□□□□E□.2OOOOOOE+12□.□□□□□□G9.800000□.□□□□□□W3000.□□□□.□□□□□□K1.300000□.□□□□□□RowSlackorSurplusDualPrice1□.□□□□□□-140.69492□.□□□□□□-5.8606283□.□□□□□□-□.5104175E-014-□.5878849E-05-1.□□□□□□522.48136-1.□□□□□□6□.□□□□□□□.□□□□□□7□.□□□□□□8□.3992839E-01□.□□□□□□9□.3500716□.□□□□□□10□.□□□□□□□.□□□□□□二Ready"Il-—1—1—1—LLn5,Col6810:55am圖3-2求解結(jié)果圖3-2為此問題的求解結(jié)果。3.2.4實(shí)訓(xùn)步驟選擇材料密度P=7.8xl03kg/m3，材料彈性模量E二200x109Pa，應(yīng)用LINGO程序?qū)栴}進(jìn)行最優(yōu)化求解，具體操作過程如下：運(yùn)行LINGO程序。LINGO程序主界面如圖3-3所示。

圖3-3LINGO程序主界面2?點(diǎn)擊下拉菜單“File”，選擇“New”或者單擊工具欄中的按鈕，新建一個(gè)優(yōu)化實(shí)例模型LINGOModel(*.lg4).在LINGOModel窗口建立模型，輸入以下程序語句：(注意:每一句后面要以分號“；”作為語句的結(jié)束。冒號“：”和分號“；”要在英文狀態(tài)下輸入。)model:L=0.4;Q=2;!輪子的質(zhì)量p=7.8*10T;!材料密度；Mg=(3.14*L*p/4)*(2*d1^2+d2入2);!軸的質(zhì)量；min=Mg;!目標(biāo)函數(shù);!直徑約束條件如下;d11=0.01;d12=0.4;d1>=d11;d1<=d12;!直徑約束條件如下;d21=0.01;d22=0.4;d2>=d21;d2<=d22;E=200*10A9;!料性彈材模量;g=9.8;!重力加速度;w=3000;!軸的轉(zhuǎn)速;圖3-4求解狀態(tài)窗口k=1.3;!安全系數(shù);(3.14*E*g)/(10.67*Q*lA3*wA2*kA2)-((1/d"4)+(2.38/d2八4))=0;!約束條件;圖3-4求解狀態(tài)窗口END4?模型建立完成后要對模型進(jìn)行求解：單擊下拉菜單“LINGO”選擇“Solve”，或者單擊工具欄中的模型求解命令按鈕。LINGO程序會彈出“LINGOSolveStatus”窗口和“SolutionReport”窗口。在“LINGOSolveStatus”窗口中列出了求解器的有關(guān)信息，如圖3-4所示,在“SolutionReport”窗口中列出了完整的模型求解過程，如圖3-2所示。Localcipisinialsolutionfoundatiteration:17Objectivevalue:3140000E-04VariableValueReducedCostD20.2000000E-010.000000DI0.000000□.□□□□□□L0.1000000□.□□□□□□DIMIN0.2000000E-010.000000DIMAXQ.3QQQQQQE-010.000000DIMIN0.0000000.000000D2MIN0.2000000E-010.000000D2MAX0.3000000E-01□.□□□□□□LMIN0.1000000□.□□□□DOLMAX1.0000000.000000A1.2000000.000000B1.3000000.000000P20000.000.000000E0.2000000E+120.000000C0.3500000E+09□.□□□□DOU0.5000000□.□□□□□□J0.9S42721E-0S0.000000RowSlackorSurplusDualPricei0.3140000E-04-1.00000020.000000□.□□□□DO3□.□□□□□□□.□□□□□□40.000000□.□□□□□□5Q.3QQQQQQE-010.00000060.000000-0.3140004E-0270.0000000.00000080.000000-0.3140004E-0290.1000000E-01□.□□□□□□100.000000-0.3140000E-03圖3-6求解結(jié)果窗口3.3實(shí)訓(xùn)2——壓桿的最優(yōu)化設(shè)計(jì)3.3.1問題描述圖3-5所示的空心壓桿兩端受軸向外載荷P。軸的內(nèi)徑為d，外徑為d，支承間距12

尺寸為1。試確定壓桿的結(jié)構(gòu)尺寸d、d和l，以保證在壓桿不產(chǎn)生屈服并且不破壞壓桿穩(wěn)12定性條件下，壓桿的體積和重量最小。該問題的分析過程如下：壓桿為細(xì)長直桿，承受軸向壓力，會因軸向壓力達(dá)到臨界值時(shí)突然彎曲而失去穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)壓桿，除應(yīng)使其壓力不超過材料的彈性極限外，還必須使其承受的軸向壓力小于壓桿的臨界載荷。壓桿在機(jī)械裝置中應(yīng)用的例子較多，例如在液壓機(jī)構(gòu)中當(dāng)活塞的行程足夠大時(shí)，會導(dǎo)致活塞桿足夠長，這種細(xì)長的活塞桿便是壓桿。根據(jù)歐拉壓桿公式，對與兩端均為鉸支的壓桿，其臨界載荷為兀2P=EJcl2式中E為壓桿材料的彈性模量;J為壓桿橫截面的最小慣性矩，EJ為抗彎剛度；L為壓桿長度。將歐拉公式推廣到端部不同約束的壓桿，則上式變?yōu)镋J式中卩為長度折算系數(shù)，其值將隨壓桿兩端約束形式的不同而異。當(dāng)兩端鉸支時(shí)取卩=1EJ式中卩為長度折算系數(shù)，其值將隨壓桿兩端約束形式的不同而異。當(dāng)兩端鉸支時(shí)取卩=1；一端固支時(shí)取卩=0.75；兩端均固定時(shí)，取卩=0.5。圖3-5壓桿機(jī)構(gòu)簡圖由歐拉公式可知，P與J圖3-5壓桿機(jī)構(gòu)簡圖c分布，就能使J增大而提高壓更的抗彎剛度EJ,增大臨界載荷P。所以在相同截面面積的c條件下，管狀壓桿比實(shí)心壓桿有更大的臨界載荷。以管狀壓桿的內(nèi)徑d，外徑d，長度1作為設(shè)計(jì)變量，以其體積或重量作為目標(biāo)函數(shù)，12以壓桿不產(chǎn)生屈服和不破壞軸向穩(wěn)定性以及其尺寸約束條件，則管狀壓桿最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為

min,d,l)=上(一d2)l1 2 4 2 1g(d,dmin,d,l)=上(一d2)l1 2 4 2 1g(d,d)= (4^P―)—[c]<01 1 2k\d2—d2丿21g(d,d)=P— EJ<0,對圓管：J= 2」212 卩(山)2 64d<d<d1min11maxd<d<d2min22maxl<l<lminmax式中a,卩分別為大于1的安全系數(shù)；P為設(shè)計(jì)給定的外載荷。實(shí)訓(xùn)目的理解“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”的概念和方法；了解“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”的建模方法；了解“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”問題的解決過程；了解LINGO的編程、方法和求解過程。結(jié)果演示圖3-6是此問題的最優(yōu)化解。運(yùn)行LINGO程序。LINGO程序主界面如圖3-3所示。點(diǎn)擊下拉菜單，選擇或者單擊工具欄中的按鈕，新建一個(gè)優(yōu)化實(shí)例模型LINGOModel(*.lg4)。在“LINGOModel”窗口建立模型，輸入以下程序語句：Model:min=3.14*(d2A2-d1A2)*L/4;!目標(biāo)函數(shù)；!內(nèi)徑約束條件如下;d1min=0.02;d1max=0.03;d1>=dimin;d1<=d1max;!外徑約束條件如下;d2min=0.02;d2max=0.03;d2>=d2min;d2<=d2max;!長度約束條件如下;Lmin=0.1;Lmax=1;L>=Lmin;L<=Lmax;!定義安全系數(shù);

a=1.2;b=1.3;!外加載荷20kN;P=20*10人3;E=200*10人9;C=350*10人6;!彈性模量;!材料抗壓極限;(4*a*P)/(3.14*(d2!彈性模量;!材料抗壓極限;u=0.5; !長度折算系數(shù);J=3.14*(d2A4-d1A4)/64; !剛度系數(shù)；P<=(3.14A2*E*J)/(b*(u*L)A2);END圖