工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)復(fù)習(xí)參考資料

《工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)》復(fù)習(xí)參考資料——《線性代數(shù)》的復(fù)習(xí)尤其要求．．．．詳細(xì)閱讀人手一冊的《綜合練習(xí)題》授課教師：楊 峰（省函授總站高級講師）第一章行列式一、全排列及其逆序數(shù)（理解）把n個不同元素排成一列，叫做這n個元素的全排列。（也稱排列）對于n個不同元素，先規(guī)定元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序（例如，n個不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序），于是在這n個元素的任一排列中，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就說有一個逆序，一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。例題求排列32514的逆序數(shù)解3的逆序數(shù)為0；2的逆序數(shù)為1；5的逆序數(shù)為0；1的逆序數(shù)為3；4的逆序數(shù)為1；于是這個排列的逆序數(shù)為t010315二、n階行列式的定義（理解）定義設(shè)有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表，aa…a11 12 1naa…a 21 22 2n………………aa…an1 n2 nn作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的乘積，并冠以符號(1)t，得到形如(1)ta1pa2panp（1） 1 2 n的項，其中p1p2pn為自然數(shù)1,2,,n的一個排列，t為這個排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n！個，因而形如（1）式的項共有n！項，所有這n！項的代數(shù)和(1)ta1pa2panp 1 2 n稱為n階行列式，記作 a a a1112 1naaa D21 22 2n，aaa n1 n2 nn det(a)a det(a) a簡記為 ij，數(shù)ij稱為行列式 ij的元素。元素ij的第一個下標(biāo)i i j稱為行標(biāo)，表明該元素位于第 行，第二個下標(biāo) 稱為列標(biāo)，表明該元j素位于第 列，三、行列式的性質(zhì)（掌握）記 a a aa a a11121n1121n1aaaaaaD21 22 2nDT12 22 n2 ， a a aa a an1 n2 nn1n 2n nn行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式變號。推論如果行列式的兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式。i rk ck第 行（或列）乘以k，記作i （或i ）推論行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。第i行（或列）提出公因子k，記作rik（或cik）。性質(zhì)4行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素是兩數(shù)之和，例如aaaa/a11 12 1i 1i 1na a aa/aD21 22 2i 2i 2n ，a a aa/a n1 n2 ni ni nn則D等于下列兩個行列式之和： a a aa11 12 1i 1na a aaD21 22 2i 2n a a aan1 n2 ni nna a a/a11 12 1i 1na a a/a21 22 2i 2n a a a/a n1 n2 ni nn性質(zhì)6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。j i ckc以數(shù)k乘第 列加到第 列上，記作i j；j i rkr以數(shù)k乘第 行加到第 行上，記作i j；rkr計算行列式常用的一種方法就是利用運算ij把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。P16例7、8。（可以證明，對于上三角行列式D有： a a a11 12 1na a D22 2naaa0 1122 nnann當(dāng)然，把任意行列式化根據(jù)以上性質(zhì)為上三角形行列式需要一定的技巧。）四、行列式按行（列）展開（掌握）設(shè) a a a 11 12 1n a a a 21 22 2nD a a aa i1 i2 ij in a a a n1 n2 nn a i j 在n階行列式中，把ij所在的第 行和第 列劃去后，留下來的n-1 a M階行列式叫做元素ij的余子式，記作 ij；記A(1)ijMij ij，A aij叫做元素ij的代數(shù)余子式。i a引理一個n階行列式，如果其中第 行的元素除ij外都為零，那么這行列a式等于ij與它的代數(shù)余子式的乘積，即 a a a 11 12 1n a a a 21 22 2nDaA0 0a0ijijij a a a n1 n2 nn定理行列式等于它的任一行（列）的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)或Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即Dai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,ij，DaAaAaA0,ij或 1i1j 2i2j ninj 。五、四階行列式的計算（重點掌握）例1計算行列式1234123112211解：1234c22c110 0 0c3c111123c34c1111141(1)113561122356481121134811111cc100(1)3356c23c11323(1)112374811447(1412)2例2計算行列式12342341412123解：234c22c110 0 0c3c127341c434c112127(1)1128104123281071013123471013 2 744127r2r1(1)32810r237r110 4(1)114 4436 710130 36(144116)160五、克拉默法則（注意，計算量比較大）xx x設(shè)有n個未知數(shù)1、2、…、n的n個線性方程的方程組axaxaxba11x1a12x2a1nxnb1 211 222 2nn 2（1）an1x1an2x2annxnbn克拉默法則如果線性方程組（1）的系數(shù)筆列式不等于零，即 a a11 1nD 0a a n1 nn那么，方程組（1）有唯一解D D Dx1x2 xn1 D，2 D，…，n D。其中D(j1,2,,n)是把第數(shù)行列式中第j列的元素用方程組右端的常j數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即aa ba aD aa ba a 11 1,ji 1 1,j1 1nj n1 n,j1 n n,j1 nn第二章矩陣及其運算一、矩陣的概念（理解）ij表a11a21am1a 12a 22a m2a1na2namn1、由mn個數(shù)a(i1,2,,m;j1,2,,n)組成的m行n列的數(shù)mn稱為m行n列矩陣，簡稱 矩陣，記作 a a a 11 12 1n a a a A21 22 2n am1am2amnA也常記作mn。mn a(i,j)這個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱元，數(shù)ij稱為元。a(i,j)a(a)以數(shù)ij為元的矩陣可簡記作（ij）或ijmn。2、行數(shù)和列數(shù)都等于n的矩陣A稱為n階矩陣或n階方陣，n階方陣A也記作An。3、只有一行的矩陣Aaaa 1 2 n稱為行矩陣，又稱行向量。為避免元素間的混淆，行矩陣也記作A(a,a,,a) 1 2 n只有一列的矩陣b1bB2bm稱為列矩陣，又稱列向量。Aa與Bb是同4、兩個矩陣的行數(shù)相等，就稱它們是同型矩陣，如果 ij ij型矩陣，并且它們的對應(yīng)元素相等，即ab(i1,2,,m;j1,2,,n)ij ij 那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作AB元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O。注意不同型的零矩陣是不同的。單位矩陣簡記作E，即100 010En 0017、對角矩陣簡記作Adiag(11,2,,n)即00 1 00 A2 00n二、矩陣的運算與性質(zhì)（掌握）1、矩陣的加法mnAa、Bb，那么矩陣A與B的和記作設(shè)有兩個矩陣 ij ijA+B，規(guī)定為ab11 11abAB2121ab12 12ab22 22ab 1n 1nnab 2n 2nam1bm1am2bm2amnbmn注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進(jìn)行加法運算。矩陣加法滿足下列運算規(guī)律：設(shè)A、B、C都是m×n矩陣，則ABBA（1） ；(AB)CA(BC)（2） ABA(B)（3）設(shè)設(shè)矩陣Aaij，記Aaij—A稱為矩陣A的負(fù)矩陣。2、數(shù)與矩陣相乘數(shù)λ與矩陣A的乘積記作λA或Aλ，規(guī)定為a11AAa21am1a12a22aa1na2nam2 mn數(shù)乘矩陣滿足下列運算規(guī)律：設(shè)A、B、為m×n矩陣，λ、μ為數(shù)，則()A(A)()AAA；；(AB)AB。3、矩陣與矩陣相乘設(shè)Aaij是一個ms矩陣，Bbij是一個sn矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個mn矩陣Ccij,其中cabababij i11j i22j issj并把此乘積記作C=AB必須注意：只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘。ABBA矩陣的乘法不滿足交換律，即一般情況下 ，但仍滿足下列結(jié)合律和分配律（假設(shè)運算都是可行的）：(AB)CA(BC)（1） （2）(AB)(A)BA(B),（其中λ為數(shù)）A(BC)ABAC(BC)ABACA（3） （重要）例1已知矩陣 1311 16 A013B25 001， 04求AB。解： 113(2)110 1635114 AB01(1)(2)3006(1)534010(2)(1)00605(1)4565 2 7044、方陣的行列式、伴隨矩陣定義由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素位置不變），稱為方陣A的A行列式。記作。 A A行列式的各個元素的代數(shù)余子式ij所構(gòu)成的如下矩陣Aa112nAaA12 22A aan1an2a 1n 2n nnA稱為方陣A的伴隨矩陣．．．．，記