雙曲線的定義及其標準方程

雙曲線及其標準方程

當前1頁，總共39頁。1.橢圓的定義和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|>0)的點的軌跡.平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的2.引入問題：差等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的復習|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0)

當前2頁，總共39頁。①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=常數(shù)②如圖(B)，上面兩條合起來叫做雙曲線由①②可得：||MF1|-|MF2||=常數(shù)

（差的絕對值）|MF2|-|MF1|=常數(shù)當前3頁，總共39頁。雙曲線在生活中☆.☆當前4頁，總共39頁。當前5頁，總共39頁。當前6頁，總共39頁。①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a<|F1F2|

；oF2F1M

平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.（2）2a>0；雙曲線定義思考：（1）若2a=|F1F2|,則軌跡是？（2）若2a>|F1F2|,則軌跡是？說明（3）若2a=0,則軌跡是？

||MF1|-|MF2||

=2a(1)兩條射線(2)不表示任何軌跡(3)線段F1F2的垂直平分線當前7頁，總共39頁。如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担吭瓌t：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)?探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxy方案一Oxy(對稱、“簡潔”)Oxy方案二當前8頁，總共39頁。F2F1MxOy求曲線方程的步驟：雙曲線的標準方程1.建系.以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系2.設點．設M（x,y）,則F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化簡當前9頁，總共39頁。此即為焦點在x軸上的雙曲線的標準方程當前10頁，總共39頁。F2F1MxOyOMF2F1xy若建系時,焦點在y軸上呢?當前11頁，總共39頁。看前的系數(shù)，哪一個為正，則在哪一個軸上2、雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有何區(qū)別與聯(lián)系?1、如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？問題當前12頁，總共39頁。雙曲線定義雙曲線圖象標準方程焦點a.b.c

的關系

||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)F(0,±c)當前13頁，總共39頁。定義

方程

焦點a.b.c的關系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）當前14頁，總共39頁。1.過雙曲線的焦點且垂直x軸的弦的長度為

.2.y2-2x2=1的焦點為

、焦距是

.練習鞏固:3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示雙曲線的充要條件是

.-2<<-1當前15頁，總共39頁。方程表示的曲線是雙曲線方程表示的曲線是雙曲線的右支方程表示的曲線是x軸上分別以F1和F2為端點，指向x軸的負半軸和正半軸的兩條射線。練習鞏固:當前16頁，總共39頁。例2題型二利用雙曲線的定義求軌跡問題動圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝1內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．當前17頁，總共39頁。當前18頁，總共39頁?！久麕燑c評】利用定義法求雙曲線的標準方程，首先找出兩個定點(即雙曲線的兩個焦點)；然后再根據(jù)條件尋找動點到兩個定點的距離的差(或差的絕對值)是否為常數(shù)，這樣確定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，進而求雙曲線的方程．當前19頁，總共39頁。當前20頁，總共39頁。課本例2當前21頁，總共39頁。使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.

例3.(課本第54頁例)已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標系xOy,設爆炸點P的坐標為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為當前22頁，總共39頁。答:再增設一個觀測點C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置.這是雙曲線的一個重要應用.當前23頁，總共39頁。例2:如果方程表示雙曲線，求m的取值范圍.解:方程可以表示哪些曲線？_____________.思考：當前24頁，總共39頁。例3當前25頁，總共39頁。當前26頁，總共39頁。【名師點評】雙曲線的定義是解決與雙曲線有關的問題的主要依據(jù)，在應用時，一是注意條件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)的使用，二是注意與三角形知識相結合，經(jīng)常利用正、余弦定理，同時要注意整體運算思想的應用．當前27頁，總共39頁。跟蹤訓練當前28頁，總共39頁。當前29頁，總共39頁。方法感悟1．對雙曲線定義的理解雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了絕對值符號，當2a＝|F1F2|時表示兩條射線．解題時，也要注意“絕對值”這一個條件，若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支．當前30頁，總共39頁。2．雙曲線方程的求法求雙曲線的標準方程包括“定位”和“定量”．“定位”是指除了中心在原點之外，判斷焦點在哪個坐標軸上，以便使方程的右邊為1時，確定方程的左邊哪一項為正，哪一項為負，“定量”是指確定a2，b2的值，即根據(jù)條件列出關于a2和b2的方程組，解得a2和b2的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標準方程．當前31頁，總共39頁。精彩推薦典例展示易錯警示雙曲線定義運用中的誤區(qū)例4當前32頁，總共39頁。【常見錯誤】(1)利用雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝8求|PF2|時，易忽略絕對值號，而錯選A.(2)根據(jù)雙曲線的定義可得到答案C，但由于雙曲線上的點到雙曲線焦點的最小距離是c－a＝6－4＝2，而|PF2|＝1＜2，不合題意，所以應該舍去，造成錯誤的原因是忽略雙曲線的相關性質(zhì)，沒有檢驗|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|造成的．當前33頁，總共39頁?！窘馕觥侩p曲線的實軸長為8，由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因為|F1F2|＝12，當|PF2|＝1時，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，不符合公理“兩點之間線段最短”，應舍去．所以|PF2|＝17.【答案】B當前34頁，總共39頁。【失誤防范】運用雙曲線的定義解決相關問題時，(1)不能忽略“絕對值”號，以免造成漏解，(2)求出解后，要注意檢驗根的合理性，以免出現(xiàn)增根．當前35頁，總共39