甘肅省蘭州一中2022屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬試題理

蘭州一中2022-2022學(xué)年度高三第一學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題（理）注意：該試卷總分150分，考試時(shí)間120分鐘，交卷時(shí)只交答題卡．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)把答案直接涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋（1＋i）2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（） A．在處連續(xù) B． C． D．3．下列命題中錯(cuò)誤的是（） A．如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 B．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 C．如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么直線平面4．已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前n項(xiàng)和，，則的值為（） A． B． C． D．5．若實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則稱a與b互補(bǔ)，記，那么是a與b互補(bǔ)的（） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件6．若，且，則下列不等式中，恒成立的是（） A． B． C． D．7．已知在平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定．若為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最大值為 （） A．3 B．4 C． D．8．的圖像經(jīng)過怎樣的平移后所得的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 （） A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位 C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位9．若是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的反函數(shù)的圖像大致是（）10．有6個(gè)座位連成一排，三人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的概率是（） A． B． C． D．11．已知圓O：，點(diǎn)P是橢圓C：上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線AB分別交軸、軸于點(diǎn)M、N，則的面積的最小值是（） A． B．1 C． D．12．已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，，，則棱錐S-ABC的體積為（） A． B． C． D．19二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．13．已知，，則與的夾角為．14．已知，且，則的值為．15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在P處的切線l交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是．16．函數(shù)的定義域?yàn)锳，若且時(shí)總有，則稱為單函數(shù)．例如，函數(shù)是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)是單函數(shù)；②若為單函數(shù)，且則；③若f：AB為單函數(shù)，則對(duì)于任意bB，它至多有一個(gè)原象；④函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是該區(qū)間上的單函數(shù)．其中的真命題是．（寫出所有真命題的編號(hào)）三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程．17．（本小題滿分10分）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，求及．18．（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合．（I）當(dāng)時(shí)，求證：；（II）設(shè)二面角的大小為，求的最小值．19．（本小題滿分12分）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0．6,0．5,0．5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（I）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（II）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)，（I）討論與的大小關(guān)系；（II）求的取值范圍，使得對(duì)任意成立．21．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（I）求證：為等比數(shù)列；（Ⅱ）求；（III）設(shè)，求證：參考答案由正弦定理，得．18．解法一：過E作于N，連結(jié)EF．（I）如圖1，連結(jié)NF、，由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC側(cè)面．又底面?zhèn)让?AC，且底面ABC，所以側(cè)面，∴NF為EF在側(cè)面內(nèi)的射影，在中，=1，則由，得NF//，又故，由三垂線定理知（II）如圖2，連結(jié)AF，過N作于M，連結(jié)ME，由（I）知側(cè)面，根據(jù)三垂線定理得,所以是二面角C—AF—E的平面角，即．設(shè)，在中，在故又，故當(dāng)即當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，，此時(shí)F與重合．解法二：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得于是故（II）設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，則由（I）得，于是由可得 取 又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面 的一個(gè)法向量為，于是由為銳角可得，∴，由，得，即故當(dāng)，即點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值19．解：（I）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件．因?yàn)?，．紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：，由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率（II）由題意知可能的取值為0，1，2，3．又由（I）知是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此， ， 由對(duì)立事件的概率公式得 所以的分布列為：0123P0．10．350．40．15 因此20．解：（I）∵，∴（c為常數(shù)），又∵，所以，即，∴，∴， 令得， 當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，是減函數(shù)，故（0,1）是的單調(diào)減區(qū)間。 當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，，是增函數(shù)，故（1,+∞）是的單調(diào)遞增區(qū)間， 因此，是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)， 所以的最小值為 ，設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，即． 當(dāng)時(shí)，，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，即; 當(dāng)時(shí)，，即（II）由（I）知的最小值