《勾股定理的應(yīng)用》示范公開課教學(xué)設(shè)計【北師大數(shù)學(xué)八年級上冊】

第一章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.會靈活運用勾股定理求解立體圖形上兩點之間路線最短的問題.體會勾股定理在代數(shù)問題和幾何問題中的應(yīng)用.2.能正確運用勾股定理及直角三角形的判別方法解決簡單的實際問題.3.能夠運用勾股定理解決實際生活中的問題，熟練運用勾股定理進行計算，增強數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識.4.在將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.二、教學(xué)重難點重點：會用勾股定理求解立體圖形上兩點之間路線最短的問題.難點：能正確運用勾股定理及直角三角形的判別方法解決簡單的實際問題.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【復(fù)習(xí)回顧】教師活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧勾股定理，并通過簡單的提問，回顧勾股定理逆定理以及勾股數(shù)的內(nèi)容，接著通過小情境引入本節(jié)課要講解的內(nèi)容.勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2.如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2b2c2，那么這個三角形是.預(yù)設(shè)答案：直角三角形.滿足a2b2c2的三個正整數(shù)，稱為.預(yù)設(shè)答案：勾股數(shù).觀察思考：小明要去野外郊游，走哪條路最近呢？為什么呢？教師活動：教師提出問題，觀察學(xué)生如何思考，再讓學(xué)生說明理由.關(guān)注學(xué)生能否都認(rèn)真看題積極思考，能否立刻利用兩點之間線段最短確定最短路徑.答案：線路③.學(xué)生回憶所學(xué)知識認(rèn)真思考，舉手回答認(rèn)真思考，舉手回答：線路三，因為兩點之間線段最短.通過復(fù)習(xí)回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的勾股定理相關(guān)內(nèi)容，為本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容作準(zhǔn)備.通過觀察線路圖，讓學(xué)生思考如何走哪條路徑最短，激發(fā)學(xué)生興趣.通過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生回顧以前學(xué)過的知識：明確兩點之間線段最短.環(huán)節(jié)二探究新知【問題探究】有一個圓柱，它的高等于12cm，底面上圓的周長等于18cm.在圓柱下底面的點A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側(cè)面螞蟻怎么爬行的路程最短呢？做一做自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？教師活動：讓學(xué)生說出自己規(guī)劃的螞蟻的路線，然后用課件展示.①A→B的路線長為：AA′+A′B；②A→B的路線長為：AA′+曲線A′B；③A→B的路線長為：曲線AP+曲線PB；④A→B的路線長：曲線AB．將圓柱側(cè)面剪開展成一個長方形，從點A到點B的最短路線是什么？你畫對了嗎？教師活動：對照圓柱上的線路，用課件展示側(cè)面剪開圖，讓學(xué)生觀察并說出哪條線路最近.教師活動：將圓柱的側(cè)面展開，把曲線分別轉(zhuǎn)化為對應(yīng)線段，然后結(jié)合兩點之間線段最短，得出結(jié)論：第（4）種方案路程最短．追問：螞蟻從點A出發(fā)，想吃到點B上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？該如何計算呢？答案：在Rt△A′AB中，利用勾股定理，得AB2=AA′2+A′B2．其中AA′是圓柱體的高，A′B是底面圓周長的一半(πr)．已知圓柱體高為12cm，底面周長為18cm，則AB=15cm.做一做如圖，在棱長為10cm的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1cm/s，且速度保持不變，問螞蟻能否在20s內(nèi)從A爬到B？教師活動：先由學(xué)生獨立完成，教師及時給予指導(dǎo)，在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生能否進一步理解螞蟻最近線路該如何走.多媒體展示答題過程解：將正方體展開得到如下圖形，由勾股定理得，.20×1=20(cm).∵202<500．∴螞蟻不能在20s內(nèi)從A爬到B．【思考探究】教師活動：多媒體演示課件，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？提示：連接BD,如果能算出AD2+AB2=BD2,就可以說明邊AD和邊BC分別垂于底邊AB.提示：連接AC,如果能算出AB2+BC2=AC2,就可以說明邊BC垂于底邊AB.問題：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.李叔叔量得邊AD長是30cm，邊AB長是40cm，邊BD長是50cm.邊AD垂直于邊AB嗎？教師活動：引導(dǎo)學(xué)生通過勾股定理證得BC垂直于AB得出結(jié)論.巡視同學(xué)做題過程，對于有困難的學(xué)生給予指導(dǎo)，然后用多媒體展示答題過程.解:連接BD∵AD=30,AB=40,BD=50又∵AD2+AB2=302+402=502=BD2∴ΔABD為直角三角形,∠A=90°∴AD⊥AB同理可證得：BC⊥AB.問題：小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗邊AD是否垂直于邊AB嗎？解:在AD上取點M,使AM=9,在AB上取點N，使AN=12,92+122=152測量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.認(rèn)真思考用提前做好的一個圓柱，從A點到B點沿圓柱側(cè)面畫出螞蟻走的幾條路線.認(rèn)真觀察、探究交流并說一說.最短路程是AB，AB與圓柱的高和底面圓周長的一半構(gòu)成了一個直角三角形，利用勾股定理即可以求出AB的長.在教師的引導(dǎo)下，認(rèn)真思考并在作業(yè)本上作答.由有趣的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.讓學(xué)生經(jīng)歷把曲面上兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間線段最短更為直觀，再次利用勾股定理解決生活中較為復(fù)雜的實際問題，使所學(xué)的知識得到充分運用.通過將一個問題設(shè)計成多問，難度循序漸進，鍛煉學(xué)生勇于克服困難的思維品質(zhì)、靈活解決問題的能力，使學(xué)生有足夠的信心去關(guān)注后面的問題.同時讓學(xué)生體驗運用所學(xué)知識解決實際問題的成功.本題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側(cè)面到棱柱側(cè)面，都是將空間問題平面化.通過先尋找“關(guān)鍵點”，再找到“最短距離”，最終在直角三角形內(nèi)利用勾股定理計算最短距離這一過程，使學(xué)生再次領(lǐng)悟任何一個幾何圖形都是由基本元素“點”，“線”，“面”構(gòu)成，回歸幾何的本真！在解決這個問題時，讓學(xué)生充分思考檢驗的方法.運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學(xué)生學(xué)會分析問題，利用允許的工具靈活處理問題.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨立思考，解答.然后再在小組內(nèi)交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點撥，最終教師展示答題過程.典型例題【例1】如圖是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長．已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長．分析：根據(jù)題意可的AC=AB，可設(shè)AC為xm,從而AE是（x-1）m,而△AEC是直角三角形，由勾股定理可得AC的值.解：設(shè)滑道AC的長度為xm，則AB的長度為xm，AE的長度為(x－1)m．在Rt△AEC中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2，解得x=5．故滑道AC的長度為5m．【例2】在一次臺風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？教師根據(jù)題干分析題中提供的已知條件，并畫出圖形.解：根據(jù)題意可以構(gòu)建一直角三角形模型，如圖.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得AB=10米.∴這棵樹在折斷之前的高度是10+6=16（米）.思考問題，嘗試回答問題，明確例題的做法思考問題，嘗試回答問題明確例題的做法初步運用勾股定理解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力；體會勾股定理的應(yīng)用價值，鞏固所學(xué)知識.讓學(xué)生在探究過程中進一步加深對從實際問題中抽象出直角三角形這一模型的認(rèn)識和理解，強化轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，為后面學(xué)生獨立解題打下一定的基礎(chǔ).環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習(xí)，隨時觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.小華和小剛兄弟兩個同時從家去同一所學(xué)校上學(xué)，速度都是每分鐘走50米.小華從家到學(xué)校走直線用了10分鐘，而小剛從家出發(fā)先去找小明再到學(xué)校（均走直線），小剛到小明家用了6分鐘，小明家到學(xué)校用了8分鐘，小剛上學(xué)走了個（）A.銳角彎B.鈍角彎C.直角彎D.不能確定教師畫示意圖：∴所以小剛上學(xué)走了個直角彎.答案：C2.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長是.教師提示：因為DE是折痕，所以E為AB的中點，AE=BE=AB，只要根據(jù)勾股定理求出Rt△ABC斜邊AB的長，就可求出BE的長.答案：5cm.3.如圖，某探險隊的A組由駐地O點出發(fā)，以12km/h的速度前進，同時，B組也由駐地O出發(fā)，以9km/h的速度向另一個方向前進，2h后同時停下來，這時A、B兩組相距30km.此時，A，B兩組行進的方向成直角嗎？請說明理由.解：2小時后，A組行駛的路程為：12×2=24（km）；B組行駛的路程為：9×2=18（km）；又因為A，B兩組相距30km，且有242+182=30