2019-2020學(xué)年黑龍江省鶴崗市第一高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年黑龍江省鶴崗市第一高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．若直線，互相平行，則實數(shù)m的值為（）A．1或-2 B．1 C．-2 D．不存在【答案】A【解析】先判斷兩條直線的斜率都存在，再根據(jù)兩條直線平行的關(guān)系，得到的方程，從而解得的值.【詳解】因為直線，互相平行則兩直線的斜率都應(yīng)存在，所以由兩直線平行得到，解得或，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)兩直線的平行求參數(shù)的值，屬于簡單題.2．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則p的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】根據(jù)圓與拋物線準(zhǔn)線相切，得到關(guān)于的方程，得到答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，而根據(jù)題意得，圓與相切，所以，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線，直線與圓的位置關(guān)系，屬于簡單題.3．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】根據(jù)，則即可求解.【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，所以，，…，的方差為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方差的概念及求法，屬于容易題.4．已知與之間的幾組數(shù)據(jù)如表：則與的線性回歸方程必過點(diǎn)（）01230257A． B． C． D．【答案】C【解析】求出樣本平均數(shù)，即可得到結(jié)論．【詳解】，即與的線性回歸方程必過點(diǎn)，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸直線方程的性質(zhì)，求出樣本中心點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．5．要從已編號(1～50)的50枚最新研制的某型導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取5枚來進(jìn)行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5枚導(dǎo)彈的編號可能是()A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32【答案】B【解析】對導(dǎo)彈進(jìn)行平均分組，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的基本原則可得結(jié)果.【詳解】將枚導(dǎo)彈平均分為組，可知每組枚導(dǎo)彈即分組為：，，，，按照系統(tǒng)抽樣原則可知每組抽取枚，且編號成公差為的等差數(shù)列由此可確定正確本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查抽樣方法中的系統(tǒng)抽樣，屬于基礎(chǔ)題.6．已知雙曲線,點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線C的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將點(diǎn)代入雙曲線方程，得到，關(guān)系，然后得到雙曲線的漸近線方程，得到答案.【詳解】將點(diǎn)代入，得到，整理得，所以雙曲線的漸近線方程為：，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)的齊次關(guān)系求漸近線方程，屬于簡單題.7．若曲線與直線始終有公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出兩個函數(shù)的圖象，觀察圖象，利用直線與圓相切可得b的一個臨界值，進(jìn)而求得結(jié)論.【詳解】∵y表示在x軸上方的部分（包括x軸上的點(diǎn)），作出函數(shù)y與y＝x+b圖象，由圖可知：當(dāng)直線與圓相切時，，即得,結(jié)合圖像可知，又當(dāng)直線過（1，0）時，b=-1，若曲線與直線始終有公共點(diǎn)，則﹣1.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．8．點(diǎn)A、B分別為圓M：x2＋(y－3)2＝1與圓N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的動點(diǎn)，點(diǎn)C在直線x＋y＝0上運(yùn)動，則|AC|＋|BC|的最小值為()A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根據(jù)題意，算出圓M關(guān)于直線對稱的圓P方程，當(dāng)點(diǎn)C位于線段NM上時，線段AB就是|AC|＋|BC|的最小值.【詳解】解：設(shè)M(0，3)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為P(－3，0)，且N(3，8)∴故選A.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于圓的方程的題目，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出|AC|＋|BC|在什么情況下取得最小值.9．已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則雙曲線離心率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由是銳角三角形可得，從而得到關(guān)于離心率的不等式，求得答案.【詳解】在雙曲線中，令，得，所以兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，由是銳角三角形，可得，即，所以有，而在雙曲線中有所以，即，同除得，，解得，又，所以，故，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)幾何性質(zhì)求雙曲線的離心率的范圍，屬于中檔題.10．已知點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足過點(diǎn)P的直線l與圓C：x2＋y2＝14相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值是()A．2 B．4 C． D．2【答案】B【解析】根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，設(shè)點(diǎn)P到圓心的距離為d，則求最短弦長，等價于求到圓心的距離最大的點(diǎn)，即為圖中的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為(1，3)，則d＝＝，此時|AB|min＝2＝4，故選B.11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，可得，由雙曲線的定義可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可得到所求方程．【詳解】因為，所以得到，即有，由雙曲線的定義可得，根據(jù)題意，在等腰三角形中，，所以，即，整理得，而，所以得到，即，根據(jù)選項可知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和方程、性質(zhì)，考查向量數(shù)量積的性質(zhì)，以及三角形的余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)E在射線上，線段EF的垂直平分線為直線m，若m與l交于點(diǎn)，m與拋物線C交于點(diǎn)P，則的面積為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出的坐標(biāo)，利用和垂直求得的值，則、的方程可求，求出的長度，求出的坐標(biāo)，由三角形的面積公式求得的面積．【詳解】如圖，由拋物線方程為，得，設(shè)，，則中點(diǎn)為，，又，所以，由，得，解得.所以，則，直線的方程為，整理得，聯(lián)立，得，即，所以到直線的距離為，則的面積為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查了拋物線的與平面解析式的綜合應(yīng)用．考查了考生的基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用和知識遷移的能力，屬于中檔題．二、填空題13．設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是________.【答案】0【解析】畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知當(dāng)平移到過點(diǎn)時，.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力.14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為4，為的中點(diǎn)，則的值等于______．【答案】3【解析】連結(jié)，易得為三角形的中位線，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，連結(jié)，因為為的中點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，由橢圓定義可得，又，所以，因此.故答案為3【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義，熟記定義即可求解，屬于?？碱}型.15．已知圓與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】根據(jù)題意，兩圓有公共點(diǎn)為兩圓位置關(guān)系為外切、相交、內(nèi)切，從而得到兩圓心之間的距離與半徑之間的關(guān)系，從而得到關(guān)于的不等式，從而解得的范圍.【詳解】因為圓與圓有公共點(diǎn)，所以兩圓位置關(guān)系為外切、相交、內(nèi)切，所以得到，因為，故解得，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)兩圓位置關(guān)系求參數(shù)的范圍，屬于簡單題.16．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足，已知為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，的外接圓半徑為______.【答案】【解析】分析：根據(jù)拋物線的定義可知，解得，得，作拋物線的焦點(diǎn)，關(guān)于拋物線準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)得，連接交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，使得取得最小值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，分別應(yīng)用正、余弦定理，即可求解結(jié)果.詳解：由拋物線的方程可知，設(shè)，又由，根據(jù)拋物線的定義可知，解得，代入拋物線的方程，可得，即，作拋物線的焦點(diǎn)，關(guān)于拋物線準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)得，連接交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，此時能使得取得最小值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，，由余弦定理得，則，由正弦定理得，所以，即三角形外接圓的半徑為.點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義的應(yīng)用，以及正弦定理和余弦定理解三角形問題，其中解答中根據(jù)拋物線的定義和直線的對稱性，得到點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.三、解答題17．已知三點(diǎn)，，，D是BC中點(diǎn)．（1）求直線AD的方程；（2）求過C與AB垂直的直線方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)是中點(diǎn)，得到坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式寫出直線方程，整理得到答案；（2）根據(jù)與垂直，得到所求直線的斜率，再由直線過點(diǎn)，點(diǎn)斜式寫出直線方程，整理得到答案.【詳解】（1）因為，，且是中點(diǎn)，所以，而，所以由兩點(diǎn)式可得的直線方程為，整理得；（2）直線的斜率，所以與垂直的直線的斜率，所以過與AB垂直的直線為，整理得.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程中的兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式，兩直線垂直的斜率關(guān)系，屬于簡單題.18．若直線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，圓C以線段AB為直徑．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)且圓心C到l的距離為1，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意得到A，B的坐標(biāo)，然后得到圓心的坐標(biāo)，再求出半徑，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）研究直線斜率不存在是否滿足題意，再研究當(dāng)直線斜率存在時，利用圓心到直線的距離公式，得到斜率的方程，求出斜率，從而得到答案.【詳解】（1）直線，令得，故，令得，故，所以根據(jù)題意中點(diǎn)，圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）當(dāng)直線斜率不存在，即，滿足圓心到的距離為，符合題意，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)為，則，即，根據(jù)圓心到的距離為，得，解得，故直線，整理得，所以滿足題意的直線的方程為：或【點(diǎn)睛】本題考查通過圓心和半徑求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求直線方程，屬于中檔題.19．過去大多數(shù)人采用儲蓄的方式將錢儲蓄起來，以保證自己生活的穩(wěn)定，考慮到通貨膨脹的壓力，如果我們把所有的錢都用來儲蓄，這并不是一種很好的方式，隨著金融業(yè)的發(fā)展，普通人能夠使用的投資理財工具也多了起來，為了研究某種理財工具的使用情況，現(xiàn)對年齡段的人員進(jìn)行了調(diào)查研究，將各年齡段人數(shù)分成5組：，，，，，并整理得到頻率分布直方圖：（1）求圖中的a值；（2）采用分層抽樣的方法，從第二組、第三組、第四組中共抽取8人，則三個組中，各抽取多少人；（3）由頻率分布直方圖，求所有被調(diào)查人員的平均年齡．【答案】（1）（2）三個組依次抽取的人數(shù)為2，4，2（3）被調(diào)查人員的平均年齡為47歲【解析】（1）根據(jù)頻率之和為，將每組對應(yīng)的縱坐標(biāo)相加后，再乘以組距等于，得到的值；（2）根據(jù)第二、三、四組的頻率之比得到分層抽樣的比例，再得到每組所抽取的人數(shù)，得到答案；（3）利用每組中間值和每組的頻率得到所有被調(diào)查人員的平均年齡.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，解得；（2）第二組、第三組、第四組的頻率比為，因為共抽取人，所以三個組依次抽取的人數(shù)為，，；（3）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，每組的中間值乘以對應(yīng)的頻率再相加，得到總體的平均值∴被調(diào)查人員的平均年齡為歲．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)計算頻率、平均數(shù)，分層抽樣比和每層數(shù)量的計算，屬于簡單題.20．已知拋物線過點(diǎn)的直線L交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且，求拋物線的方程．【答案】【解析】直線，代入拋物線方程，得到和，再得到，然后表示出的坐標(biāo)形式，得到關(guān)于的方程，得到的值，從而得到所求的拋物線的方程.【詳解】解：設(shè)直線，代入，得．（）設(shè)，，則，，則．因為，所以，即，得，所以拋物線的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系求拋物線方程，屬于中檔題.21．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)P，，求直線的斜率．【答案】（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)題意得到，將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合，得到關(guān)于的方程組，解出，得到答案；（2）根據(jù)得到，從而得到，根據(jù)對稱性得到與橢圓的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)與的關(guān)系，從而得到，得到，再結(jié)合直線與橢圓聯(lián)立后得到的，，從而得到關(guān)于的斜率的方程，得到答案.【詳解】解（1）因為橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，所以，把點(diǎn)代入橢圓方程，得到而在橢圓中，解得，所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)交橢圓于另一點(diǎn)M，因為，，所以，所以，所以，根據(jù)對稱性可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以所以得到，設(shè)，所以，設(shè)直線，代入橢圓方程得，，，所以有所以，解得，由，可知，故.所以的斜率為1．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的對稱性，根據(jù)的值求橢圓方程，直線與橢圓的交點(diǎn)，屬于中檔題.22．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一動點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），若的周長為，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上兩動點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的斜率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）通過2a+2c=且，計算即得結(jié)論；（2）當(dāng)直線AB的斜率k＝0時，|OP|，當(dāng)直線AB的斜率k≠0時，可令A(yù)B的方程為：x＝my+t，由可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，求得p（，）．由，?2t2＝m2+4，代入|OP|2的運(yùn)算中，化簡得|OP|2∈（，2]即可．【詳解】（1）由題知，的周長為2a+2c=且，∴，c=∴橢圓C的方程為：；（2）當(dāng)直線AB的斜率k＝0時，此時k1，k2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），滿足，k1＝-k2=﹣．可令OB的方程為：y，（xB＞0）由可得B（，），此時|OP|