工程流體力學(xué)課件

第四章不可壓縮流體的有旋流

動(dòng)和二維無(wú)旋流動(dòng)第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析第二節(jié)有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)第三節(jié)無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)第四節(jié)二維平面流動(dòng)的流函數(shù)第五節(jié)基本的平面有勢(shì)流動(dòng)第六節(jié)平面勢(shì)流的疊加流動(dòng)歡迎進(jìn)入第四章的學(xué)習(xí)

流體由于具有易變形的特性（易流動(dòng)性），因此流體的運(yùn)動(dòng)要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)是指的流動(dòng)。實(shí)際上，黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風(fēng)等等。但在更多的情況下，流體運(yùn)動(dòng)的有旋性并不是一眼就能看得出來(lái)的，如當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在物體表面附近形成的速度梯度很大的薄層內(nèi)，每一點(diǎn)都有旋渦，而這些旋渦肉眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng)，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。

流體的無(wú)旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但無(wú)旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單得多，因此，對(duì)二維平面勢(shì)流在理論研究方面較成熟。對(duì)工程中的某些問(wèn)題，在特定條件下對(duì)黏性較小的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無(wú)旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí)踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此，本章先闡述有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì)，然后再介紹二維平面勢(shì)流理論。

第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但與剛體一樣可以移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式圖4-1分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)用圖

剪切變形速率、、、、、，引入記號(hào)，并賦予運(yùn)動(dòng)特征名稱：線變形速率、、，、、，（4-1）（4-2）于是可得到表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式為旋轉(zhuǎn)角速度、、，（4-3）（4-4）二、流體微團(tuán)團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解解為進(jìn)一步分析析流體微團(tuán)的的分解運(yùn)動(dòng)及及其幾何特征征，對(duì)式(4-4)有較較深刻的理解解，現(xiàn)在分別別說(shuō)明流體微微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)過(guò)程中所呈現(xiàn)現(xiàn)出的平移運(yùn)運(yùn)動(dòng)、線變形形運(yùn)動(dòng)、角變變形運(yùn)動(dòng)和旋旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)化分析，，僅討論在平平面面上流體微團(tuán)團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。假假設(shè)在時(shí)刻，，流體體微團(tuán)ABCD為矩形，，其上各點(diǎn)的的速度分量如如圖4-2所所示。由于微微團(tuán)上各點(diǎn)的的速度不同，，經(jīng)過(guò)時(shí)間，，勢(shì)必必發(fā)生不同的的運(yùn)動(dòng)，微團(tuán)團(tuán)的位置和形形狀都將發(fā)生生變化，現(xiàn)分分析如下。1．平移運(yùn)運(yùn)動(dòng)圖4-2分析流流體微團(tuán)平平面運(yùn)動(dòng)用用圖a2．線變形形運(yùn)動(dòng)b圖4-3流流體微微團(tuán)平面運(yùn)運(yùn)動(dòng)的分解解(a)返回圖4-3流流體微微團(tuán)平面運(yùn)運(yùn)動(dòng)的分解解(b)返回圖4-3流流體微微團(tuán)平面運(yùn)運(yùn)動(dòng)的分解解(c)返回圖4-3流流體微微團(tuán)平面運(yùn)運(yùn)動(dòng)的分解解(d)返回3．角變形形運(yùn)動(dòng)c4．旋轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)d綜上所述，，在一般情情況下，流流體微團(tuán)的的運(yùn)動(dòng)總是是可以分解解成：整體體平移運(yùn)動(dòng)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)、線變變形運(yùn)動(dòng)及及角變形運(yùn)運(yùn)動(dòng)，與此此相對(duì)應(yīng)的的是平移速速度、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角速度、、線變形速速率和剪切切變形速率率。第二節(jié)有有旋流動(dòng)動(dòng)和無(wú)旋流流動(dòng)一、有旋流流動(dòng)和無(wú)旋旋流動(dòng)的定定義二、速度環(huán)環(huán)量和旋渦渦強(qiáng)度一、有旋流流動(dòng)和無(wú)旋旋流動(dòng)的定定義流體的流動(dòng)動(dòng)是有旋還還是無(wú)旋，，是由流體體微團(tuán)本身身是否旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)來(lái)決定的的。流體在在流動(dòng)中，，如果流場(chǎng)場(chǎng)中有若干干處流體微微團(tuán)具有繞繞通過(guò)其自自身軸線的的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，則稱為為有旋流動(dòng)動(dòng)。如果在在整個(gè)流場(chǎng)場(chǎng)中各處的的流體微團(tuán)團(tuán)均不繞自自身軸線的的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，則稱為為無(wú)旋流動(dòng)動(dòng)。這里需需要說(shuō)明的的是，判斷斷流體流動(dòng)動(dòng)是有旋流流動(dòng)還是無(wú)無(wú)旋流動(dòng)，，僅僅由流流體微團(tuán)本本身是否繞繞自身軸線線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)來(lái)決定定，而與流流體微團(tuán)的的運(yùn)動(dòng)軌跡跡無(wú)關(guān)，在在圖4-4(a)中，雖然然流體微團(tuán)團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡跡是圓形，，但由于微微團(tuán)本身不不旋轉(zhuǎn)，故故它是無(wú)旋旋流動(dòng)；在在圖4-4(b)中，雖然然流體微團(tuán)團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡跡是直線，，但微團(tuán)繞繞自身軸線線旋轉(zhuǎn)，故故它是有旋旋流動(dòng)。在在日常生活活中也有類類似的例子子，例如兒兒童玩的活活動(dòng)轉(zhuǎn)椅，，當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞繞水平軸旋旋轉(zhuǎn)時(shí)，每每個(gè)兒童坐坐的椅子都都繞水平軸軸作圓周運(yùn)運(yùn)動(dòng)，但是是每個(gè)兒童童始終是頭頭向上，臉臉朝著一個(gè)個(gè)方向，即即兒童對(duì)地地來(lái)說(shuō)沒(méi)有有旋轉(zhuǎn)。圖4-4流流體微團(tuán)團(tuán)運(yùn)動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)動(dòng)有旋流動(dòng)動(dòng)判斷流體體微團(tuán)無(wú)無(wú)旋流動(dòng)動(dòng)的條件件是：流流體中每每一個(gè)流流體微團(tuán)團(tuán)都滿足足根據(jù)式（（4-3），則則有（4-8）二、速度度環(huán)量和和旋渦強(qiáng)強(qiáng)度1．速度度環(huán)量為了進(jìn)一一步了解解流場(chǎng)的的運(yùn)動(dòng)性性質(zhì)，引引入流體體力學(xué)中中重要的的基本概概念之一一——速速度環(huán)量量。在流場(chǎng)中中任取封封閉曲線線k，如如圖4-5所示。速速度沿沿該該封閉曲曲線的線線積分稱稱為速度度沿封閉閉曲線k的環(huán)量量，簡(jiǎn)稱稱速度環(huán)環(huán)量，用用表表示，，即式中————在封閉閉曲線上上的速度度矢量；；——速度度與該點(diǎn)點(diǎn)上切線線之間的的夾角。。速度環(huán)量量是個(gè)標(biāo)標(biāo)量，但但具有正正負(fù)號(hào)。。（4-9）圖4-5沿沿封閉曲曲線的速速度環(huán)量量在封閉曲曲線k上上的速度度矢量速度與與該該點(diǎn)上切切線之間間的夾角角速度環(huán)量量的正負(fù)負(fù)不僅與與速度方方向有關(guān)關(guān)，而且且與積分分時(shí)所取取的繞行行方向有有關(guān)。通通常規(guī)定定逆時(shí)針針?lè)较驗(yàn)闉镵的正正方向，，即封閉閉曲線所所包圍的的面積總總在前進(jìn)進(jìn)方向的的左側(cè)，，如圖4-5所所示。當(dāng)當(dāng)沿順時(shí)時(shí)針?lè)较蛳蚶@行時(shí)時(shí)，式（（4-9）應(yīng)加加一負(fù)號(hào)號(hào)。實(shí)際際上，速速度環(huán)量量所表征征的是流流體質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)沿封閉閉曲線K運(yùn)動(dòng)的的總的趨趨勢(shì)的大大小，或或者說(shuō)所所反映的的是流體體的有旋旋性。由于和和，，則代入式（（4-9），得得（4-10）2．旋渦渦強(qiáng)度沿封閉曲曲線Ｋ的速度環(huán)環(huán)量與有有旋流動(dòng)動(dòng)之間有有一個(gè)重重要的關(guān)關(guān)系，現(xiàn)現(xiàn)僅以平平面流動(dòng)動(dòng)為例找找出這個(gè)個(gè)關(guān)系。。如圖4-6所所示，在在平面上上取取一微元元矩形封封閉曲線線，其面面積，流體在A點(diǎn)的速度度分量為和，則B、C和D點(diǎn)的的速度分量分別為為：圖4-6沿微微元矩形的速度環(huán)環(huán)量于是，沿封閉曲線線反時(shí)針?lè)较駻BCDA的速度環(huán)環(huán)量將、、、和和、、、、各各值代入上式，，略去高于一階的的無(wú)窮小各項(xiàng)，再再將式（4-3））的第三式代入后后，得然后將式（4-11）對(duì)面積積分分，得（4-11）（4-12）于是得到速度環(huán)量量與旋轉(zhuǎn)角速度之之間關(guān)系的斯托克克斯定理：沿封閉閉曲線的速度環(huán)量量等于該封閉周線線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角角速度的面積積分分的二倍，稱之為為旋渦強(qiáng)度I，即即和式中———在微元元面積的的外法線上上的分量。（4-13）由式（4-11））可導(dǎo)出另一個(gè)表表示有旋流動(dòng)的量量，稱為渦量，以以表示之。。它定義為單位面面積上的速度環(huán)量量，是一個(gè)矢量。。它在Z軸方向的的分量為對(duì)于流體的空間流流動(dòng)，同樣可求得得X和Y軸方向渦渦量的分量和和。于是是得即（4-14）（4-15）也就是說(shuō)，在有旋旋流動(dòng)中，流體運(yùn)運(yùn)動(dòng)速度的的旋度稱為渦量。。由此可見(jiàn)，在流體體流動(dòng)中，如果渦渦量的三個(gè)分量中中有一個(gè)不等于零零，即為有旋流動(dòng)動(dòng)。如果在一個(gè)流流動(dòng)區(qū)域內(nèi)各處的的渦量或它的分量量都等于零，也就就是沿任何封閉曲曲線的速度環(huán)量都都等于零，則在這這個(gè)區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)動(dòng)一定是無(wú)旋流動(dòng)動(dòng)。下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的的例子來(lái)說(shuō)明速度度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度度的物理意義，以以及有旋流動(dòng)和無(wú)無(wú)旋流動(dòng)的區(qū)別。?！纠?-1】一個(gè)以角速速度按反時(shí)時(shí)針?lè)较蜃飨駝傮w體一樣的旋轉(zhuǎn)的流流動(dòng)，如圖4-7所示。試求在這個(gè)個(gè)流場(chǎng)中沿封閉曲曲線的速度環(huán)量，，并證明它是有旋旋流動(dòng).(解)【例4-2】一個(gè)流體繞繞O點(diǎn)作同心圓的的平面流動(dòng)，流場(chǎng)場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速速度的大小與該點(diǎn)點(diǎn)半徑成成反比，即，，其中C為常數(shù)數(shù)，如圖4-8所示。試求在流場(chǎng)場(chǎng)中沿封閉曲線的的速度環(huán)量，并分分析它的流動(dòng)情況況。(解)【解】在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑徑和的的圓周速度度各為和和，，沿圖中中畫(huà)斜線扇形部分分的周界ABCDA的速度環(huán)量可見(jiàn)，在這個(gè)區(qū)域域內(nèi)是有旋流動(dòng)。。又由于扇形面積積于是上式正是斯托克斯斯定理的一個(gè)例證證。以上結(jié)論可推廣適適用于圓內(nèi)任意區(qū)區(qū)域內(nèi)。返回例題圖4-7有旋旋流動(dòng)中速度環(huán)量量的計(jì)算圖4-8無(wú)旋旋流動(dòng)中速度環(huán)量量的計(jì)算返回例題【解】沿扇形面積積周界的速度環(huán)量量可見(jiàn)，在這區(qū)域內(nèi)內(nèi)是無(wú)旋流動(dòng)。這這結(jié)論可推廣適用用于任何不包圍圓圓心O的區(qū)域內(nèi)，，例如。。若若包有圓心()，該處處速度等于無(wú)限大大，應(yīng)作例外來(lái)處處理?，F(xiàn)在求沿半半徑的圓周周封閉曲線的速度度環(huán)量上式說(shuō)明，繞任何何一個(gè)圓周的流場(chǎng)場(chǎng)中，速度環(huán)量都都不等于零，并保保持一個(gè)常數(shù)，所所以是有旋旋流動(dòng)。但凡是是繞不包括圓心在在內(nèi)的任何圓周的的速度環(huán)量必等于于零，故在圓心O點(diǎn)處必有旋渦存存在，圓心是一個(gè)個(gè)孤立渦點(diǎn)，稱為為奇點(diǎn)。返回例題第三節(jié)無(wú)旋旋流動(dòng)的速度勢(shì)函函數(shù)如前所述，在流場(chǎng)場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋旋轉(zhuǎn)角速度在在任意時(shí)刻處處處為零，即滿足足的的流動(dòng)為為無(wú)旋流動(dòng)，無(wú)旋旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)勢(shì)流動(dòng)。一、速度勢(shì)函數(shù)引引入二、速度勢(shì)函數(shù)的性性質(zhì)一、速度勢(shì)函數(shù)引引入由數(shù)學(xué)分析可知，，是是成成為某一一標(biāo)量函數(shù)全全微微分的充分必要條條件。則函數(shù)稱稱為速度勢(shì)函函數(shù)。因此，也可可以說(shuō)，存在速度度勢(shì)函數(shù)的的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。根根據(jù)全微分理論，，勢(shì)函數(shù)的的全微分可寫(xiě)成于是得（4-16）按矢量分析對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，，則有于是從以上分析可知，，不論是可壓縮流流體還是不可壓縮縮流體，也不論是是定常流動(dòng)還是非非定常流動(dòng)，只要要滿足無(wú)旋流動(dòng)條條件，必然存在速速度勢(shì)函數(shù)。（4-17）（4-18）二、速度勢(shì)函數(shù)的的性質(zhì)（1）不可壓縮流流體的有勢(shì)流動(dòng)中中，勢(shì)函數(shù)滿滿足拉普拉斯方方程，勢(shì)函數(shù)是是調(diào)和函數(shù)。。將式（4-16））代入到不可壓縮縮流體的連續(xù)性方方程（3-28））中，則有式中為為拉拉普拉斯算子，式式（4-19）稱稱為拉普拉斯方程，所以在不不可壓流體的有勢(shì)勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)勢(shì)必定滿足拉普拉拉斯方程，而凡是是滿足拉普拉斯方方程的函數(shù)，在數(shù)數(shù)學(xué)分析中稱為調(diào)調(diào)和函數(shù)，所以速速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)個(gè)調(diào)和函數(shù)。(4-19)從上可見(jiàn)，在不可可壓流體的有勢(shì)流流動(dòng)中，拉普拉斯斯方程實(shí)質(zhì)是連續(xù)續(xù)方程的一種特殊殊形式，這樣樣把求解無(wú)旋流動(dòng)動(dòng)的問(wèn)題，就變?yōu)闉榍蠼鉂M足一定邊邊界條件下的拉普普拉斯方程的問(wèn)題題。（2）任意曲線上上的速度環(huán)量等于于曲線兩端點(diǎn)上速速度勢(shì)函數(shù)值值之差。而與曲曲線的形狀無(wú)關(guān)。。根據(jù)速度環(huán)量的定定義，沿任意曲線線AB的線積分這樣，將求環(huán)量問(wèn)問(wèn)題，變?yōu)榍笏俣榷葎?shì)函數(shù)值之差的的問(wèn)題。對(duì)于任意意封閉曲線，若A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，，速度勢(shì)函數(shù)是單單值且連續(xù)的，則則流場(chǎng)中沿任一條條封閉曲線的速度度環(huán)量等于零，即即。。第四節(jié)二維維平面流動(dòng)的流函函數(shù)一、流函數(shù)的引入入對(duì)于流體的平面流流動(dòng)，其流線的微微分方程為,將其改寫(xiě)成下列列形式（4-20）在不可壓縮流體的的平面流動(dòng)中，速速度場(chǎng)必須滿足不不可壓縮流體的連連續(xù)性方程，即或（（4-21））由數(shù)學(xué)分析可知，，式（4-21））是（））成為某函數(shù)全微微分的充分必要條條件，以表表示該函數(shù)，，則有（4-22）函數(shù)稱為流場(chǎng)的流流函數(shù)。由式（4-22）可得（4-23）由式(4-22)，令，，即常常數(shù)，可得流流線微分方程式(4-20)。由由此可見(jiàn),常常數(shù)的曲曲線即為流線，若若給定一組常數(shù)值值，就可得到流線線簇?；蛘哒f(shuō)，只只要給定流場(chǎng)中某某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)（））代入流函數(shù)數(shù)，便可可得到一條過(guò)該點(diǎn)點(diǎn)的確定的流線。。因此，借助流函函數(shù)可以形象地描描述不可壓縮平面面流場(chǎng)。對(duì)于極坐標(biāo)系，可可寫(xiě)成（4-24）（4-25）在已知速度分布的的情況下，流函數(shù)數(shù)的求法與速度勢(shì)勢(shì)函數(shù)一樣，可由由曲線積分得出。。至此可看到，在不不可壓縮平面流動(dòng)動(dòng)中，只要求出了了流函數(shù)，，由式（4-23）或式（4-24）就可求求出速度分布。反反之，只要流動(dòng)滿滿足不可壓縮流體體的連續(xù)性方程，，不論流場(chǎng)是否有有旋，流動(dòng)是否定定常，流體是理想想流體還是黏性流流體，必然存在流流函數(shù)。。這里需說(shuō)明，等流流函數(shù)線與流線等等同，僅在平面流流動(dòng)時(shí)成立。對(duì)于于三維流動(dòng)，不存存在流函數(shù)，也就就不存在等流函數(shù)數(shù)線，但流線還是是存在的。二、流函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)（1）對(duì)于不可壓壓縮流體的平面流流動(dòng)，流函數(shù)永永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。將式（4-23））代入式（4-21）得即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿足足連續(xù)性方程。（2）對(duì)于不可壓壓縮流體的平面勢(shì)勢(shì)流，流函數(shù)滿滿足拉普拉斯方程，流函數(shù)數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。。對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)動(dòng)，，，則將式（4-23）代代入上式因此，不可可壓縮流體體平面無(wú)旋旋流動(dòng)的流流函數(shù)也滿滿足拉普拉拉斯方程，也也是一個(gè)調(diào)調(diào)和函數(shù)。。因此，在平平面不可壓壓縮流體的的有勢(shì)流場(chǎng)場(chǎng)中的求解解問(wèn)題，可可以轉(zhuǎn)化為求求解一個(gè)滿滿足邊界條條件的的的拉普拉斯斯方程.（3）平面面流動(dòng)中，，通過(guò)兩條條流線間任任一曲線單位厚厚度的體積積流量等于于兩條流線線的流函數(shù)之差差。這就是是流函數(shù)的的物理理意義。如圖4-9所示，在在兩流線間間任一曲線線AB，則通通過(guò)單位厚厚度的體積積流量為（4-26）由式（4-26）可可知，平面面流動(dòng)中兩兩條流線間通過(guò)的流流量等于這這兩條流線線上的流函函數(shù)之差。圖4-9說(shuō)說(shuō)明流函函數(shù)物理意意義用圖三、和和的的關(guān)系（1）滿足足柯西-黎黎曼條件如果是不可可壓縮流體體的平面無(wú)無(wú)旋流動(dòng)，，必然同時(shí)時(shí)存在著速速度勢(shì)和流函函數(shù)，比較較式（4-16）和和式（4-23），，可得到速速度勢(shì)函數(shù)和流流函數(shù)之間間存在的如如下關(guān)系（4-27）（4-28）這是一對(duì)非非常重要的的關(guān)系式，，在高等數(shù)數(shù)學(xué)中稱作作柯西-黎黎曼條件。因此此，和和互互為共軛調(diào)調(diào)和函數(shù)，，這就有可可能使我們們利用復(fù)變函數(shù)數(shù)這樣一種種有力的工工具求解此此類問(wèn)題。。當(dāng)勢(shì)函數(shù)和和流流函數(shù)二二者知其一一時(shí)，另一一個(gè)則可利利用式（4-27）的關(guān)關(guān)系求出，，而至多相相差一任意意常數(shù)。（2）流線線與等勢(shì)線線正交。式（4-28）是等等勢(shì)線簇[常常數(shù)]和流流線簇[常常數(shù)數(shù)]互相正正交的條件，若在同同一流場(chǎng)中中繪出相應(yīng)應(yīng)的一系列流線和和等勢(shì)線，，則它們必必然構(gòu)成正交網(wǎng)格格，稱為流流網(wǎng)，如圖圖4-10所示。圖4-10流網(wǎng)網(wǎng)【例4-3】有一一不可壓流流體平面流流動(dòng)的速度度分布為。。①①該平面流流動(dòng)是否存存在流函數(shù)數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)；②②若存在，，試求出其其表達(dá)式；；③若在流流場(chǎng)中A（1m，1m）處的絕對(duì)壓壓強(qiáng)為1.4×105Pa，，流體的密密度1.2kg/m3，則B（2m，，5m）處的絕對(duì)壓壓強(qiáng)是多少少？【解】（1）由不可可壓流體平平面流動(dòng)的的連續(xù)性方方程該流動(dòng)滿足足連續(xù)性方方程，流動(dòng)動(dòng)是存在的的，存在流流函數(shù)。由于是平面面流動(dòng)該流動(dòng)無(wú)旋旋，存在速速度勢(shì)函數(shù)數(shù)。（2）由流流函數(shù)的全全微分得：：積分由速度勢(shì)函函數(shù)的全微微分得：積分（3）由于于，，因此，，A和B處處的速度分分別為由伯努里方方程可得第五節(jié)基基本的的平面有勢(shì)勢(shì)流動(dòng)流體的平面面有勢(shì)流動(dòng)動(dòng)是相當(dāng)復(fù)復(fù)雜的，很很多復(fù)雜的的平面有勢(shì)勢(shì)流動(dòng)可以以由一些簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的有勢(shì)勢(shì)流動(dòng)動(dòng)疊加而成成。所以，，我們首先先介紹幾種種基本的平平面有勢(shì)流流動(dòng)，它包包括均勻直線流動(dòng)動(dòng)，點(diǎn)源和點(diǎn)匯、點(diǎn)渦等一、均勻直線線流動(dòng)流體作均勻直直線流動(dòng)時(shí)，，流場(chǎng)中各點(diǎn)點(diǎn)速度的大小小相等，方向相同，即和和。。由式（4-16））和式（4-23）），得于是速度勢(shì)和和流函數(shù)各為為以上兩式中的的積分常數(shù)和和可可以任任意選取，而而不影響流體體的流動(dòng)圖形（（稱為流譜））。若令，，即得均勻直直線流動(dòng)的速速度勢(shì)和流函函數(shù)各為（4-29））（4-30））由式（4-29））和式（4-30））可知，等勢(shì)線線簇（常常數(shù)）和流線簇簇（=常數(shù)）互相相垂直，如圖4-11所示。各流線線與軸的夾角等于。。由于流場(chǎng)中各各點(diǎn)的速度都都相等，根據(jù)據(jù)伯努里方程程（3-41），得常數(shù)如果均勻直線線流動(dòng)在水平平面上，或流流體為氣體，，一般可以忽忽略重力的影響響，于是常數(shù)即流場(chǎng)中壓強(qiáng)強(qiáng)處處相等。。圖4-11均均勻直線流流的流譜二、平面點(diǎn)源源和點(diǎn)匯如果在無(wú)限平平面上流體不不斷從一點(diǎn)沿沿徑向直線均均勻地向各方流出，則則這種流動(dòng)稱稱為點(diǎn)源，這這個(gè)點(diǎn)稱為源源點(diǎn)（圖4-12，a）；若流體不斷斷沿徑向直線線均勻地從各各方流入一點(diǎn)點(diǎn)，則這種流動(dòng)稱為點(diǎn)點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)（圖4-12，b）。顯然，這兩兩種流動(dòng)的流線線都是從原點(diǎn)點(diǎn)O發(fā)出的的放射線，即即從源點(diǎn)流出出和向匯點(diǎn)流入都都只有徑向速速度?！，F(xiàn)將極坐坐標(biāo)的原點(diǎn)作作為源點(diǎn)或匯點(diǎn)，則圖4-12點(diǎn)點(diǎn)源和點(diǎn)匯匯的流譜點(diǎn)源點(diǎn)匯back根據(jù)流動(dòng)的連連續(xù)性條件，，流體每秒通通過(guò)任一半徑徑為的的單位長(zhǎng)度圓圓柱面上的流量都都應(yīng)應(yīng)該相等，即即常數(shù)由此得（4-31））式中是是點(diǎn)源或點(diǎn)匯匯在每秒內(nèi)流流出或流入的的流量，稱為為點(diǎn)源強(qiáng)度或點(diǎn)匯強(qiáng)度度。對(duì)于點(diǎn)源源，與同同向，取取正號(hào)；對(duì)對(duì)于點(diǎn)匯，與與異向，取取負(fù)號(hào)，于是是積分得式中積分常數(shù)數(shù)是任任意給定的，，現(xiàn)令。。又由于于，，于是是得速度勢(shì)（4-32））當(dāng)時(shí)時(shí)，速速度勢(shì)和和速速度都變變成無(wú)窮大，，源點(diǎn)和匯點(diǎn)點(diǎn)都是奇點(diǎn)。。所以速度勢(shì)和和速度度的的表達(dá)式（4-31）和和式（4-32）只有在在源點(diǎn)和匯點(diǎn)點(diǎn)以外才能應(yīng)用用。現(xiàn)在求流函數(shù)數(shù)，由式（4-25）積分得(令式式中的積分常常數(shù)為零)（4-33））等勢(shì)線簇（常常數(shù)，即常常數(shù)數(shù)）是同心圓圓簇（在圖4-12中用虛線表示））與流線簇（（常常數(shù)，即常常數(shù)數(shù)）成正交。。而且除源點(diǎn)或匯匯點(diǎn)外，整個(gè)個(gè)平面上都是是有勢(shì)流動(dòng)。。如果平平面是是無(wú)限水平面面，則根據(jù)伯伯努里方程（（3—41））式中為為在在處處的流體壓強(qiáng)強(qiáng)，該處的速速度為零。將式（4-31）代入上上式，得（4-34））由式（4-34）可知，，壓強(qiáng)隨隨著半徑的的減減小而降低。。當(dāng)時(shí)，。。圖4-13表示當(dāng)時(shí)時(shí)，點(diǎn)匯沿半徑的的壓強(qiáng)分布。。圖4-13點(diǎn)點(diǎn)匯沿半徑徑的壓強(qiáng)分布布三、點(diǎn)渦設(shè)有一旋渦強(qiáng)強(qiáng)度為的的無(wú)限長(zhǎng)直直線渦束，該該渦束以等角角速度繞繞自身軸旋旋轉(zhuǎn)，并帶動(dòng)動(dòng)渦束周圍的的流體繞其環(huán)環(huán)流。由于直線渦束為為無(wú)限長(zhǎng)，所所以可以認(rèn)為為與渦束垂直直的所有平面面上的流動(dòng)情況況都一樣。也也就是說(shuō)，這這種繞無(wú)限長(zhǎng)長(zhǎng)直線渦束的的流動(dòng)可以作為平面面流動(dòng)來(lái)處理。由由渦束所誘導(dǎo)出的的環(huán)流的流線是許多同心圓，，如圖4-14所示。根據(jù)斯托克克斯定理可知，沿任一同心圓周流流線的速度環(huán)量等等于渦束的旋渦強(qiáng)強(qiáng)度，即常數(shù)于是（4-35）因此渦束外的速度度與半徑成反比。。若渦束的半徑，，則成為一條渦線，這這樣的流動(dòng)稱為點(diǎn)點(diǎn)渦，又稱為純環(huán)環(huán)流。但當(dāng)時(shí)，，，所以以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)點(diǎn)。圖4-14點(diǎn)渦渦的流譜現(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度度勢(shì)和流函數(shù)。由由于由積分后得速度勢(shì)（4-36）又由于由積分后得流函數(shù)（4-37）當(dāng)時(shí)時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針針?lè)较?，如圖4-14所示；當(dāng)時(shí)時(shí)，環(huán)流為順時(shí)針?lè)较?。由式?-36））和式（4-37）可知，點(diǎn)渦的的等勢(shì)線簇是經(jīng)過(guò)過(guò)渦點(diǎn)的放射線，而流線簇是同同心圓。而且除渦渦點(diǎn)外，整個(gè)平面面上都是有勢(shì)流動(dòng)動(dòng)。設(shè)渦束的半徑為，，渦束束邊緣上的速度為為，，壓強(qiáng)為；；時(shí)時(shí)的速度顯然為零零，而壓強(qiáng)為。。代入入伯努里方程（3-41）），得渦束外區(qū)域域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為（4-38）由式（4-38））可知，在渦束外外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨隨著半徑的減小而降低，渦束外緣緣上的壓強(qiáng)為或（4-39）所以渦束外區(qū)域內(nèi)內(nèi)從渦束邊緣到無(wú)無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降降是一個(gè)常數(shù)。又由式（4-38）可知，在在處處，壓強(qiáng)，，顯然這是不可能的。所以以在渦束內(nèi)確實(shí)存存在如同剛體一樣樣以等角速度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域域，稱為渦核區(qū)。。由式（4-39）可得渦核的半徑由于渦核內(nèi)是有旋旋流動(dòng)，故流體的的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程求得。平面面定常流動(dòng)的歐拉拉運(yùn)動(dòng)微分方程為為將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的的速度和和代代入入上兩式，得以和分分別乘以上兩式式，然后相加，得得或積分得在處處，，，代代入上式，得最后得渦核區(qū)域內(nèi)內(nèi)的壓強(qiáng)分布為（4-40）或（4-40a）于是渦核中心的壓壓強(qiáng)而渦核邊緣的壓強(qiáng)強(qiáng)所以可見(jiàn)，渦核內(nèi)、外外的壓強(qiáng)降相等，，都等于用渦核邊邊緣速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。渦核核內(nèi)、外的速度分分布和壓強(qiáng)分布如如圖4-15所示。圖5-14渦渦流中渦核內(nèi)、外外的速度和壓強(qiáng)分分布第六節(jié)平平面勢(shì)流的疊加流流動(dòng)從上節(jié)可以看到，，只有對(duì)一些簡(jiǎn)單單的有勢(shì)流動(dòng)，才能求出它們流函函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，但但當(dāng)流動(dòng)較復(fù)雜時(shí)時(shí)，根據(jù)流動(dòng)直接求解解流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)數(shù)往往十分困難。。我們可以將一些些簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)動(dòng)進(jìn)行疊加，得得到較復(fù)雜的流動(dòng)，這樣樣一來(lái)，為求解解流動(dòng)復(fù)雜的流流場(chǎng)提供了一個(gè)有力的工工具。因此，本本節(jié)先介紹勢(shì)流流的疊加原理，然后再介介紹幾種典型的的有實(shí)際意義的的疊加流動(dòng)。一、勢(shì)流疊加原原理前面我們知道，，速度勢(shì)函數(shù)和和流函數(shù)都滿足足拉普拉斯方程。凡是滿足拉拉普拉斯方程的的函數(shù)，在數(shù)學(xué)學(xué)分析上都稱為為調(diào)和函數(shù)，所以速速度勢(shì)函數(shù)和流流函數(shù)都是調(diào)和和函數(shù)。根據(jù)調(diào)調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)，即即若干個(gè)調(diào)和函函數(shù)的線性組合合仍然是調(diào)和函函數(shù)，可將若干個(gè)個(gè)速度勢(shì)函數(shù)(或流函數(shù))線線性組合成一個(gè)個(gè)代表某一有勢(shì)流動(dòng)的的速度勢(shì)函數(shù)(或流函數(shù))?！，F(xiàn)將若干個(gè)速速度勢(shì)函數(shù)、、、、、…疊加，得（4-41）而（（4-42））顯然，疊加后新新的速度勢(shì)函數(shù)數(shù)也滿足拉普拉拉斯方程。同樣樣，疊加后新的流函函數(shù)也滿足拉普普拉斯方程，即即（4-43）這個(gè)疊加原理方方法簡(jiǎn)單，在實(shí)實(shí)際應(yīng)用上有很很大意義，可以應(yīng)用這個(gè)原理理把上一節(jié)所討討論的幾個(gè)簡(jiǎn)單單的基本平面有有勢(shì)流動(dòng)疊加成所需需要的復(fù)雜有勢(shì)勢(shì)流動(dòng)。將新的速度勢(shì)函函數(shù)分別別對(duì)、、和取取偏導(dǎo)數(shù)，就就等于新的有勢(shì)流動(dòng)的的速度分別在、、和和軸軸方向上的的分量：（4-44）或（4-45）即（4-46）由此可見(jiàn)，疊加加后所得的復(fù)雜雜有勢(shì)流動(dòng)的速度為疊加前原原來(lái)的有勢(shì)流動(dòng)動(dòng)速度的矢量和。由此，可得出一一個(gè)重要結(jié)論：：疊加兩個(gè)或多多個(gè)不可壓平面勢(shì)流流流動(dòng)組成一個(gè)新新的復(fù)合流動(dòng)，，只要把各原始流動(dòng)的勢(shì)勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)數(shù)簡(jiǎn)單地代數(shù)相相加，就可得到該復(fù)合流流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或或流函數(shù)。該結(jié)結(jié)論稱為勢(shì)流的疊加原理理。二、螺旋流螺旋流是點(diǎn)渦和和點(diǎn)匯的疊加。。將式（4-36）和式（4-32）相加以及將式（（4-37）和和式（4-33）相加即得新新的有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)和流函函數(shù)（4-47）（4-48）式中取反反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。于是得等?shì)勢(shì)線方程常數(shù)或（4-49）流線方程為常常數(shù)或（4-50）顯然，等勢(shì)線簇簇和流線簇是兩兩組互相正交的的對(duì)數(shù)螺旋線簇簇（圖4-16）），稱為螺旋流。。流體從四周向向中心流動(dòng)。圖4-16螺螺旋流的流譜譜研究螺旋流在工工程上有重要意意義。例如旋流流燃燒室、旋風(fēng)除塵設(shè)備及多多級(jí)離心泵反導(dǎo)導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣氣流即可看成是是這種螺旋流。螺旋流的速度分分布為（4-51）（4-52）（4-53）代入伯努里方程程（3-41）），得流場(chǎng)的壓壓強(qiáng)分布（4-54）三、偶極流將流量各為的的點(diǎn)源源和的的點(diǎn)匯相距2a距離放在X軸上，疊加后的流流動(dòng)圖形如圖4-17所示，它的速度度勢(shì)和流函數(shù)各為（4-55）（4-56）由流線方程（4-56）常常數(shù)數(shù)，得常常數(shù)，所所以流線是經(jīng)過(guò)源點(diǎn)A和匯點(diǎn)點(diǎn)B的圓簇，而而且從源點(diǎn)流出出的流量全部流流入?yún)R點(diǎn)。圖4-17點(diǎn)點(diǎn)源和點(diǎn)匯的的疊加常數(shù)現(xiàn)在分析一種在在點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)無(wú)限接近的同時(shí)時(shí)，流量無(wú)限增增大（即）），以至使保保持持一個(gè)有限常數(shù)數(shù)值的極限情況。在這這種極限情況下下的流動(dòng)稱為偶偶極流，稱稱為偶極矩或偶極強(qiáng)度度。偶極流是有有方向的，一般般規(guī)定由點(diǎn)源指指向點(diǎn)匯的方向?yàn)檎颉Ｈ鐖D4-18所示，偶極流指指向軸軸方向，這時(shí)的偶極矩取取正值值。偶極流的速度勢(shì)勢(shì)可由式（4-55）根據(jù)上上述極限條件求求得，將式（4-55）改寫(xiě)成常數(shù)常數(shù)圖4-18偶偶極流的流譜譜從圖4-19中可知，當(dāng)A點(diǎn)點(diǎn)和B點(diǎn)向原點(diǎn)點(diǎn)O無(wú)限接近時(shí)，，，而且當(dāng)當(dāng)，，時(shí)時(shí)，，，，，又由于當(dāng)為無(wú)窮窮小時(shí)，可以略略去高階項(xiàng)，得得。。因此，偶極流的速速度勢(shì)或（4-57）圖4-19推推導(dǎo)偶極流用用圖在圖4-19中中，BC為從B點(diǎn)向AP所作作的垂線，則又當(dāng)，，，，，，所以，，代入式式（4-56）得偶極流的流函函數(shù)或（4-58）令式（4-58）等于于常數(shù)，，于于是得流流線方程程（4-59）即流線簇簇是半徑徑為、、圓心為為（0，，）），且且與軸在在原點(diǎn)相切的的圓簇，，如圖4-18中實(shí)線線所示。。又令式（（4-57）等等于常數(shù)數(shù)，得等等勢(shì)線方方程（4-60）即等勢(shì)線線簇是半半徑為、、圓心心為（，，0）且與與軸在原原點(diǎn)相切的的圓簇，，如圖4-18中虛線線所示。。四、繞圓圓柱體無(wú)無(wú)環(huán)量流流動(dòng)將均勻直直線流與與偶極流流疊加，，可以得得到繞圓圓柱體無(wú)無(wú)環(huán)量流動(dòng)。設(shè)設(shè)有一在在無(wú)窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)處速度度為、、平行行于X軸軸、由左左向右流的均勻勻直線流流，與在在坐標(biāo)原原點(diǎn)O上上偶極矩矩為M、、方向與與X軸相反的偶偶極流疊疊加，如如圖4-20所示，組組合流動(dòng)動(dòng)的流函函數(shù)為（4-61）流線方程程（4-62）選取不同同的常數(shù)數(shù)值，，可得得到如圖圖4-20所示示的流動(dòng)動(dòng)圖形。。對(duì)的所謂零零流線的的方程為為或，圖4-20均均勻流流繞圓柱柱體無(wú)環(huán)環(huán)量流動(dòng)動(dòng)由此可知知，零流流線是一一個(gè)以坐坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)為圓心心、半徑徑的的圓周與正正負(fù)X軸軸和和所所構(gòu)構(gòu)成的圖圖形。該該流線到到A點(diǎn)處處分為兩段，沿沿上、下下兩個(gè)半半圓周流流到B點(diǎn)點(diǎn)，又重重新匯合合。這個(gè)個(gè)平面組合流流動(dòng)的流流函數(shù)為為(4-63)同樣，也也可得到到它的速速度勢(shì)(4-64)以上兩式式中，≥≥，，這這是因?yàn)闉榈牡膱A圓柱體內(nèi)內(nèi)的流動(dòng)動(dòng)沒(méi)有實(shí)實(shí)際意義。。流場(chǎng)中任任一點(diǎn)的的速度分分量為(4-65)在，，處處，，，，。。這表表示，在在離開(kāi)圓圓柱體無(wú)無(wú)窮遠(yuǎn)處是速速度為的的均勻勻直線流流動(dòng)。在在圖4-20中的A點(diǎn)點(diǎn)（，，0）和B點(diǎn)(，，0)處，，，，A點(diǎn)點(diǎn)為前駐駐點(diǎn)，B點(diǎn)為后后駐點(diǎn)。用極坐標(biāo)標(biāo)表示的的速度分分量為（4-66）沿包圍圓圓柱體圓圓周的速速度環(huán)量量為所以，均均勻直線線流繞圓圓柱體的的平面流流動(dòng)是沒(méi)沒(méi)有速度度環(huán)量的的。因此，一一個(gè)速度度為的的均勻勻直線流流繞半徑徑為的的圓柱體體無(wú)環(huán)量的平面面流動(dòng)，可可以用由這這個(gè)均勻直直線流與偶偶極矩的偶極流疊疊加而成的的平面組合合流動(dòng)來(lái)代代替。當(dāng)，，在在圓柱面上上（4-67）這說(shuō)明，流流體在圓柱柱面上各點(diǎn)點(diǎn)的速度都都是沿切線線方向的