滲流數(shù)學(xué)模型

滲流數(shù)學(xué)模型第一頁，共42頁。第二章油氣滲流的數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型的原則運(yùn)動(dòng)方程狀態(tài)方程質(zhì)量守恒方程數(shù)學(xué)模型的初邊值條件第二頁，共42頁。第一節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的原則建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)油氣滲流數(shù)學(xué)模型的一般結(jié)構(gòu)建立數(shù)學(xué)模型的步驟

第三頁，共42頁。

二、油氣滲流數(shù)學(xué)模型的一般結(jié)構(gòu)(l)運(yùn)動(dòng)方程（所有數(shù)學(xué)模型必須包括的組成部分）。(2)狀態(tài)方程（在研究彈性可壓縮的多孔介質(zhì)或流體時(shí)需要包括）。(3)質(zhì)量守恒方程（又稱連續(xù)性方程，它可以將描述滲流過程各個(gè)側(cè)面的諸類方程綜合聯(lián)系起來，是數(shù)學(xué)模型必要的部分）。以上三類方程是油氣滲流數(shù)學(xué)模型的基本組成部分。(4)能量守恒方程（只有研究非等溫滲流問題時(shí)才用到）。(5)其它附加的特性方程（特殊的滲流問題中伴隨發(fā)生的物理或化學(xué)現(xiàn)象附加的方程。如物理化學(xué)滲流中的擴(kuò)散方程等）。(6)有關(guān)的邊界條件和初始條件（是滲流數(shù)學(xué)模型必要的內(nèi)容）。第一節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的原則第四頁，共42頁。三、建立數(shù)學(xué)模型的步驟1.確定建立模型的目的和要求解決的問題:①壓力P的分布②速度v的分布（包括求流量）③飽和度S的分布④分界面移動(dòng)規(guī)律。自變量：空間和時(shí)間，(x,y,z)或(r,θ,z)和時(shí)間t因變量：壓力P和速度v；兩相或多相流S分布其它參數(shù)：地層物性參數(shù)(如滲透率K、孔隙度ф、彈性壓縮系數(shù)C、導(dǎo)壓系數(shù)?等)和流體的物理參數(shù)（如粘度μ、密度ρ、體積系數(shù)B等)第一節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的原則第五頁，共42頁。2.研究各物理量的條件和狀況過程狀況：是等溫過程還是非等溫過程；系統(tǒng)狀況：是單組分系統(tǒng)還是多組分系統(tǒng)，甚至是凝析系統(tǒng)；相態(tài)狀況：是單相還是多相甚至是混相；流態(tài)狀況：是服從線性滲流規(guī)律還是服從非線性滲流規(guī)律，是否物理化學(xué)滲流或非牛頓液體滲流。

第一節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的原則第六頁，共42頁。3.確定未知數(shù)和其它物理量之間的關(guān)系運(yùn)動(dòng)方程：速度和壓力梯度的關(guān)系狀態(tài)方程：物理參數(shù)和壓力的關(guān)系連續(xù)性方程：滲流速度v和坐標(biāo)及時(shí)間的關(guān)系或飽和度與坐標(biāo)和時(shí)間的關(guān)系：確定伴隨滲流過程發(fā)生的其它物理化學(xué)作用的函數(shù)關(guān)系（如能量轉(zhuǎn)換方程、擴(kuò)散方程等等）Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T)v=f(x，y，z，t，A，B)(對單相流體)S=f(x，y，z，t，A，B)(對兩相流體)

第一節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的原則第七頁，共42頁。4.寫出數(shù)學(xué)模型所需的綜合微分方程(組)用連續(xù)性方程做為綜合方程，把其它方程都代入連續(xù)性方程中，最后得到描述滲流過程全部物理現(xiàn)象的統(tǒng)一微分方程或微分方程組。5.根據(jù)量綱分析原則檢查所建立的數(shù)學(xué)模型量綱是否一致6.確定數(shù)學(xué)模型的適定性:解的存在、唯一、穩(wěn)定性問題7.給出問題的邊界條件和初始條件第一節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的原則第八頁，共42頁。

第二節(jié)運(yùn)動(dòng)方程滲流服從線性規(guī)律時(shí)，滲流速度為:

其微分形式為：將上式從均質(zhì)地層的穩(wěn)定滲流推廣到非均質(zhì)地層的不穩(wěn)定滲流或?qū)懗桑旱诰彭?，?2頁。第三節(jié)狀態(tài)方程

液體的狀態(tài)方程

氣體的狀態(tài)方程

巖石的狀態(tài)方程

滲流是一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，而且也是一個(gè)狀態(tài)不斷變化的過程，由于和滲流有關(guān)的物質(zhì)（巖石、液體、氣體）都有彈性。因此，隨著狀態(tài)變化，物質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)會發(fā)生變化。所以，描述由于彈性而引起力學(xué)性質(zhì)隨狀態(tài)而變化的方程式稱為“狀態(tài)方程”。第十頁，共42頁。一、液體的狀態(tài)方程液體具有壓縮性，隨著壓力降低，體積膨脹，其特性可用壓縮系數(shù)來描述：根據(jù)質(zhì)量守恒原理，在壓縮或膨脹時(shí)液體質(zhì)量M不變,即微分上式得：將VL、dVL代入(1)式得：

(1)(2)(3)(4)第三節(jié)狀態(tài)方程

第十一頁，共42頁。分離變量，CL取常數(shù)，并設(shè)P=P0時(shí)，ρ=ρ0積分(4)式：將(5)式按麥克勞林級數(shù)展開，取其前兩項(xiàng)已具有足夠的精確性：CL值是一個(gè)變量，它隨溫度和壓力不同略有改變;在地下滲流中，油氣層溫度大致不變，可把CL值看成常數(shù)，數(shù)量級在10-4(1/MPa)左右。滲流過程若是彈性液體，應(yīng)將液體狀態(tài)方程列入描述滲流力學(xué)過程的數(shù)學(xué)模型。(5)(6)大氣壓力(或初始壓力)P0下流體的密度

第三節(jié)狀態(tài)方程

第十二頁，共42頁。二、氣體狀態(tài)方程理想氣體(分子無體積、分子間無作用力)狀態(tài)方程為真實(shí)氣體的狀態(tài)方程P—?dú)怏w壓力V—壓力P時(shí)的氣體總體積T—絕對溫度R—?dú)怏w常數(shù)n—?dú)怏w摩爾數(shù)z—壓縮因子，z=f(P，T)，在給定溫度壓力下實(shí)際氣體占有的體積與同條件下理想氣體占有體積之比。第三節(jié)狀態(tài)方程

第十三頁，共42頁。三、巖石的狀態(tài)方程

巖石的壓縮性對滲流的影響：①壓力變化會引起孔隙大小發(fā)生變化，故孔隙度是隨壓力而變化的狀態(tài)函數(shù)；②由于孔隙大小變化引起滲透率的變化。巖石的壓縮性用壓縮系數(shù)描述：分離變量，Cf取常數(shù)，并設(shè)P=P0時(shí)，φ

=φ0積分不同巖石的壓縮系數(shù)是不同的，一般在1.5×10-4~3×10-41/MPa之間。在彈性變形外，會產(chǎn)生塑性變形，此時(shí)應(yīng)考慮塑性變形狀態(tài)方程

△φ—當(dāng)壓力變化ΔP時(shí)的孔隙度的改變量

第三節(jié)狀態(tài)方程

第十四頁，共42頁。第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

單相滲流的連續(xù)性方程兩相滲流的連續(xù)性方程

滲流過程必須遵循質(zhì)量守恒定律(又稱連續(xù)性原理）。即：在地層中任取一微小單元體,在單元體內(nèi)若沒有源和匯存在,那么包含在單元體封閉表面之內(nèi)的液體質(zhì)量變化應(yīng)等于同一時(shí)間間隔內(nèi)液體流入質(zhì)量與流出質(zhì)量之差。用質(zhì)量守恒原理建立起來的方程叫連續(xù)性方程。在穩(wěn)定滲流時(shí),單元體內(nèi)質(zhì)量應(yīng)為常數(shù)。第十五頁，共42頁。一、單相滲流的連續(xù)性方程微分法（無窮小單元分析法）：地層中取微小六面體單元，其中M點(diǎn)質(zhì)量速度在各坐標(biāo)上分量為ρvx、ρvy、ρvz。第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第十六頁，共42頁。1.流入流出質(zhì)量差dt時(shí)間經(jīng)a'b'面流入的質(zhì)量流量應(yīng)為：dt時(shí)間經(jīng)a"b"面流出的質(zhì)量流量為：六面體在dt時(shí)間x方向流入流出的流量差為：第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第十七頁，共42頁。同理，可求得沿y方向、z方向流入流出的流量差分別為：dt時(shí)間內(nèi)六面體內(nèi)流入與流出的總的質(zhì)量流量差為：

第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第十八頁，共42頁。2.單元體內(nèi)質(zhì)量變化經(jīng)過六面體流入與流出的質(zhì)量之所以會不一樣，是因?yàn)樵诹骟w內(nèi)巖石和液體彈性能量的作用下，釋放或儲存一部分質(zhì)量的結(jié)果(巖石的彈性表現(xiàn)為孔隙度的變化，液體的彈性表現(xiàn)為液體密度的變化)六面體內(nèi)的孔隙體積：流體質(zhì)量：單位時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)量變化率：dt時(shí)間流體質(zhì)量總的變化為：第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第十九頁，共42頁。顯然dt時(shí)間內(nèi)六面體總的質(zhì)量變化應(yīng)等于六面體在dt時(shí)間內(nèi)流入與流出的質(zhì)量差，即：或上式可寫成：

散度，M點(diǎn)單位體積單位時(shí)間向包圍曲面外流出的流體體積上式即為單相均質(zhì)可壓縮流體在彈性孔隙介質(zhì)中的質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）

第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第二十頁，共42頁。如果是不可壓縮流體(即ρ=常數(shù))在剛性孔隙介質(zhì)中流動(dòng)(φ=常數(shù))，則

連續(xù)性方程為：物理意義：六面體流出流入質(zhì)量差為零，即流入六面體的質(zhì)量與流出的質(zhì)量相等。它仍然是一個(gè)質(zhì)量守恒方程式。這是不考慮彈性力作用的連續(xù)性方程，由于和時(shí)間無關(guān)，所以又稱穩(wěn)定滲流的連續(xù)性方程。

第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第二十一頁，共42頁。二、兩相滲流的連續(xù)性方程1．油水兩相滲流的連續(xù)性方程

假設(shè)：兩相都是不可壓縮的液體，且彼此不互相溶解和發(fā)生化學(xué)作用，取一個(gè)單元六面體dxdydz可對油水兩相分別寫出質(zhì)量守恒的連續(xù)性方程。對油相來說，在dt時(shí)間內(nèi)單元六面體流出流入的質(zhì)量差為(1)第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第二十二頁，共42頁。油相經(jīng)過六面體之所以會發(fā)生質(zhì)量變化，是因?yàn)榱骟w內(nèi)油被水驅(qū)替所引起的結(jié)果。若在t時(shí)刻六面單元體內(nèi)油的飽和度為So，t+dt時(shí)刻油的飽和度為dt時(shí)間內(nèi)飽和度變化為飽和度變化引起的油相質(zhì)量變化為

(2)第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第二十三頁，共42頁。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，(1)、(2)式應(yīng)該相等

可以寫為對水相來講，同樣可以得出：

第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第二十四頁，共42頁。2．油、氣兩相滲流的連續(xù)性方程

在油、氣兩相滲流時(shí)，溶有氣體的石油經(jīng)過單元地層，由于壓力降低而分出氣體，因此，油的質(zhì)量發(fā)生變化，在dt時(shí)間內(nèi)流入流出的質(zhì)量差為：由于氣體分離出來，在單元體內(nèi)油被氣相替代，因此，油相飽和度也將發(fā)生變化，在單元體孔隙內(nèi)油相質(zhì)量隨時(shí)間變化為：

在壓力P下溶有氣體的地下原油密度

地下單位體積原油中溶解氣質(zhì)量

第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第二十五頁，共42頁。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，上面兩式應(yīng)該相等，得到油、氣兩相滲流時(shí)，油相的連續(xù)性方程：對于氣相應(yīng)包括溶解氣及已分離出的自由氣，在dt時(shí)間內(nèi)這兩部分氣體流過單元六面體地層的質(zhì)量變化為：自由氣：溶解氣：第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第二十六頁，共42頁。氣相通過單元地層，質(zhì)量發(fā)生了變化必然使單位地層內(nèi)的氣相飽和度發(fā)生變化，因而單元地層六面體內(nèi)經(jīng)dt時(shí)間的質(zhì)量變化為：根據(jù)質(zhì)量守恒定律，得或第四節(jié)質(zhì)量守恒方程

第二十七頁，共42頁。第五節(jié)典型油氣滲流數(shù)學(xué)模型建立單相不可壓縮液體穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型彈性多孔介質(zhì)單相微可壓縮液體不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型

第二十八頁，共42頁。一、單相不可壓縮液體穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型假設(shè)：單相均質(zhì)液體符合線性運(yùn)動(dòng)規(guī)律，忽略多孔介質(zhì)及液體的壓縮性(不需要建立狀態(tài)方程)，等溫、穩(wěn)定滲流。運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)性方程：將(1)式代入(2)式由于K/μ為常數(shù)，故

(1)(2)第五節(jié)典型油氣滲流數(shù)學(xué)模型建立第二十九頁，共42頁。上式是一個(gè)二階橢圓形微分方程，又稱Laplace方程。除用直角坐標(biāo)表示外，也可以轉(zhuǎn)換為圓柱坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系。Laplace算子第五節(jié)典型油氣滲流數(shù)學(xué)模型建立第三十頁，共42頁。二、彈性多孔介質(zhì)單相微可壓縮液體不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型

假設(shè)：單相微可壓縮液體線性滲流，地層巖石均質(zhì)微可壓縮，等溫彈性不穩(wěn)定滲流。模型由運(yùn)動(dòng)方程、狀態(tài)方程和連續(xù)性方程組成。

運(yùn)動(dòng)方程：狀態(tài)方程：對彈性孔隙介質(zhì)：對彈性液體：單相液體質(zhì)量守恒方程：(1)(2)(3)(4)第五節(jié)典型油氣滲流數(shù)學(xué)模型建立第三十一頁，共42頁。將(1)(2)(3)代入(4)，第一項(xiàng)中因?yàn)镃L、Cf都是很小的數(shù)，可略去含CL×Cf項(xiàng)得：式中綜合壓縮系數(shù)，單位巖石體積在降低單位壓力時(shí),由孔隙收縮和液體膨脹共排擠出來的液體體積,可看成是常數(shù)

,故第五節(jié)典型油氣滲流數(shù)學(xué)模型建立第三十二頁，共42頁。(4)式第二項(xiàng)由三部分組成:(5)第五節(jié)典型油氣滲流數(shù)學(xué)模型建立第三十三頁，共42頁。同理可得：由此可得：

(6)第五節(jié)典型油氣滲流數(shù)學(xué)模型建立第三十四頁，共42頁。(5)、(6)代入(4)式導(dǎo)壓系數(shù)，它表征了地層壓力波傳導(dǎo)的速率。當(dāng)滲透率K單位為μm2，液體粘度μ單位為mPa.s，綜合壓縮系數(shù)Ct單位為10-1MPa-1時(shí)，導(dǎo)壓系數(shù)?的單位為cm2/s，其物理意義為單位時(shí)間內(nèi)壓力波傳播的地層面積。

二階拋物線型偏微分方程(或稱熱傳導(dǎo)方程)第五節(jié)典型油氣滲流數(shù)學(xué)模型建立第三十五頁，共42頁。第六節(jié)邊界條件和初始條件

數(shù)學(xué)模型是對同類物理現(xiàn)象作的一般定性描述，它本身并不包括涉及描述一個(gè)具體情況下的定量數(shù)據(jù)。所以任何一個(gè)方程都可能有無窮多個(gè)解。要從許多解中得到所需要的具體情況的解，就需要補(bǔ)充方程中沒有包括的數(shù)據(jù)，要確定一個(gè)具體問題需要包括的條件有：發(fā)生這個(gè)物理現(xiàn)象的區(qū)域和幾何形狀；影響這個(gè)物理現(xiàn)象的物理參數(shù)和系數(shù)；描述所研究系統(tǒng)的初始狀況的條件；問題區(qū)域的邊界條件。完整的數(shù)學(xué)模型必須包括微分方程(組)和它的初始條件、邊界條件，使數(shù)學(xué)模型具體化，從定性研究提升到