2021數(shù)學(xué)蘇教版一輪考點(diǎn)測試45直線的方程含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高考數(shù)學(xué)蘇教版一輪考點(diǎn)測試45直線的方程含解析第七章平面解析幾何考點(diǎn)測試45直線的方程高考概覽高考在本考點(diǎn)的?？碱}型為選擇題，分值5分,中、低等難度考綱研讀1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式2．能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直3．掌握確定直線位置的幾何要素4．掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系一、基礎(chǔ)小題1．直線xsineq\f（π，7)＋ycoseq\f(π,7）＝0的傾斜角α是()A．－eq\f(π,7) B．eq\f(π,7)C．eq\f（5π，7) D．eq\f（6π,7)答案D解析∵tanα＝－eq\f(sin\f(π，7),cos\f(π，7）)＝－taneq\f（π,7）＝taneq\f(6π，7)，α∈［0，π)，∴α＝eq\f(6π，7）。2．若直線l1：ax－(a＋1)y＋1＝0與直線l2：2x－ay－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝(）A．3 B．0C．－3 D．0或－3答案D解析∵直線l1與直線l2垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或3．傾斜角為120°，在x軸上的截距為－1的直線方程是（)A.eq\r(3)x－y＋1＝0 B．eq\r（3)x－y－eq\r（3）＝0C。eq\r（3）x＋y－eq\r（3）＝0 D．eq\r（3）x＋y＋eq\r（3)＝0答案D解析由于傾斜角為120°，故斜率k＝－eq\r（3）.又直線過點(diǎn)(－1，0)，所以直線方程為y＝－eq\r(3）(x＋1),即eq\r（3)x＋y＋eq\r(3)＝0。4．若過點(diǎn)P（1－a,1＋a）和Q(3，2a）的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)aA．(－2,1） B．（－1,2)C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案A解析∵過點(diǎn)P(1－a，1＋a)和Q（3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，∴直線的斜率小于0,即eq\f（2a－a－1，3－1＋a）<0,即eq\f(a－1，2＋a)〈0，解得－2〈a<1，故選A.5．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是（)答案B解析當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，兩直線在x軸上的截距符號相同．故選B。6．直線ax＋by＋c＝0同時(shí)要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足（）A．a(chǎn)b〉0,bc〈0 B．a(chǎn)b〉0，bc>0C．a(chǎn)b〈0，bc>0 D．a(chǎn)b<0，bc<0答案A解析由于直線ax＋by＋c＝0經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將直線方程變形為y＝－eq\f(a,b）x－eq\f（c，b)。易知－eq\f(a，b）〈0且－eq\f（c,b)>0，故ab〉0，bc<0.7．設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－eq\r（3）x＋eq\f(2,3)上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處切線的傾斜角α的取值范圍是(）A.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2)）)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π，6)，π）） B．eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2π,3），π）)C。eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)）)∪eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)，π)） D．eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，2），\f（5π，6）)）答案C解析因?yàn)閥′＝3x2－eq\r(3）≥－eq\r(3）,即切線斜率k≥－eq\r（3),所以切線傾斜角α的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2）））∪eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2π,3)，π）).8．直線x－2y＋b＝0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是()A．[－2,2] B．（－∞，－2]∪[2，＋∞）C．[－2，0)∪(0，2］ D．(－∞，＋∞）答案C解析令x＝0,得y＝eq\f（b，2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面積為eq\f(1,2)|eq\f(b，2）|｜－b｜＝eq\f(1,4）b2，且b≠0，eq\f（1，4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是［－2,0)∪（0，2］．9．若直線ax＋by＝ab（a>0，b>0)過點(diǎn)(1,1），則該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為()A．1 B．2C．4 D．8答案C解析因?yàn)橹本€ax＋by＝ab（a＞0，b＞0)過點(diǎn)（1，1)，所以a＋b＝ab，即eq\f（1,a)＋eq\f(1,b）＝1,所以a＋b＝(a＋b）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,a)＋\f(1，b）))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r（\f（b，a）·\f（a,b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)上式等號成立．所以直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為4.10．過點(diǎn)A(－1，－3），斜率是直線y＝3x的斜率的－eq\f（1，4）倍的直線方程為________．答案3x＋4y＋15＝0解析設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－eq\f(1，4）×3＝－eq\f（3，4）。又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3）,因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4）（x＋1），即3x＋4y＋15＝0.11．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等,則a的值是________．答案－2或1解析由題意可知a≠0.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＋2。當(dāng)y＝0時(shí)，x＝eq\f（a＋2,a）.所以eq\f（a＋2，a）＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.12．已知直線l1：ax－2y＝2a－4,l2:2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)答案eq\f（1,2）解析直線l1可寫成a（x－2)＝2(y－2），直線l2可寫成2(x－2)＝a2（2－y）,所以直線l1，l2恒過定點(diǎn)P（2,2)，直線l1的縱截距為2－a，直線l2的橫截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×（a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a－\f（1,2))）2＋eq\f(15,4).當(dāng)a＝eq\f(1，2)時(shí)，面積最小．二、高考小題13．(2014·四川高考)設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P（x，y)，則｜PA|·｜PB｜的最大值是________．答案5解析易知A(0，0）,B（1，3），且PA⊥PB，∴｜PA｜2＋｜PB|2＝|AB｜2＝10，∴｜PA|·|PB｜≤eq\f(|PA｜2＋｜PB｜2,2）＝5（當(dāng)且僅當(dāng)｜PA｜＝|PB|＝eq\r（5)時(shí)取“＝”)．14．(2013·四川高考)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1，2），B(1,5），C(3，6），D（7，－1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．答案（2，4)解析由已知得kAC＝eq\f(6－2,3－1)＝2，kBD＝eq\f(5－－1,1－7)＝－1，所以直線AC的方程為y－2＝2（x－1），即2x－y＝0，①直線BD的方程為y－5＝－(x－1）,即x＋y－6＝0,②聯(lián)立①②解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝4.）)所以直線AC與直線BD的交點(diǎn)為P（2，4)，此點(diǎn)即為所求點(diǎn)．因?yàn)椋黀A｜＋｜PB｜＋｜PC｜＋｜PD|＝｜AC｜＋|BD｜，取異于P點(diǎn)的任一點(diǎn)P′.則｜P′A｜＋｜P′B｜＋｜P′C|＋|P′D|＝（｜P′A|＋｜P′C|）＋（｜P′B|＋｜P′D|）>｜AC|＋|BD｜＝｜PA|＋｜PB|＋｜PC|＋｜PD|。故P點(diǎn)就是到點(diǎn)A，B，C，D的距離之和最小的點(diǎn)．故應(yīng)填(2,4）．三、模擬小題15．(2019·大連模擬）已知傾斜角為θ的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直,則cos2θ的值為(）A。eq\f(3,5) B．－eq\f(3，5）C．eq\f(1，5) D．－eq\f（1，5)答案B解析由題意得－eq\f（1,2)·tanθ＝－1,所以tanθ＝2,cos2θ＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f（1－4，1＋4)＝－eq\f(3,5），故選B.16．(2019·重慶模擬)兩直線eq\f(x,m)－eq\f（y，n)＝a與eq\f(x,n）－eq\f(y，m）＝a（其中a為不為零的常數(shù)）的圖象可能是()答案B解析直線方程eq\f(x，m)－eq\f(y,n)＝a可化為y＝eq\f（n，m）x－na，直線eq\f(x，n）－eq\f（y,m)＝a可化為y＝eq\f（m,n)x－ma，由此可知兩條直線的斜率同號．17．（2019·溫州模擬)已知點(diǎn)M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線的方程是（)A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0答案D解析直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)為M(2,0)．設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα＝2,則tan（α＋45°）＝eq\f(tanα＋tan45°,1－tanαtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3，故得到的直線的方程是y－0＝－3(x－2）,可化為3x＋y－6＝0，故選D。18．(2019·廣東惠州質(zhì)檢)直線l經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）,在x軸上的截距的取值范圍是（－3，3)，則其斜率k的取值范圍是（)A．－1＜k＜eq\f（1,5） B．－1＜k＜eq\f（1，2)C．k＞eq\f(1，5)或k＜－1 D．k＜－1或k＞eq\f(1,2)答案D解析設(shè)直線l的斜率為k,則直線方程為y－2＝k（x－1），直線l在x軸上的截距為1－eq\f（2,k）.令－3＜1－eq\f（2,k)＜3，解不等式得k＜－1或k＞eq\f（1，2).19．(2019·黃岡模擬）從點(diǎn)（2,3)射出的光線沿斜率為eq\f(1,2)的直線方向射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在直線的方程為()A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0答案A解析由題意可得，入射光線所在直線的方程為y－3＝eq\f（1,2）（x－2）,即y＝eq\f（1,2）x＋2，所以與y軸的交點(diǎn)(0，2)也在反射光線上，又反射光線所在直線的斜率為－eq\f（1,2)，故反射光線所在直線的方程為y＝－eq\f（1，2）x＋2，即x＋2y－4＝0。20．(2020·廣西南寧高三摸底考試）設(shè)點(diǎn)A（－1，0），B(1,0），直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________．答案[－2,2]解析b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距,如圖，當(dāng)直線y＝－2x＋b過點(diǎn)A（－1,0）和點(diǎn)B（1，0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值．所以b的取值范圍是［－2,2]．21．(2019·銀川二模)直線l的傾斜角是直線4x＋3y－1＝0的傾斜角的一半,若l不過坐標(biāo)原點(diǎn)，則l在x軸上與y軸上的截距之比為________．答案－eq\f（1，2）解析設(shè)直線l的傾斜角為θ.所以tan2θ＝－eq\f（4，3).eq\f（2tanθ,1－tan2θ)＝－eq\f(4,3)，所以tanθ＝2或tanθ＝－eq\f（1,2），由2θ∈［0°，180°)知,θ∈［0°,90°)．所以tanθ＝2.又設(shè)l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b。所以tanθ＝－eq\f（b，a）.即eq\f(a,b）＝－eq\f(1，tanθ）＝－eq\f（1，2）。一、高考大題本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型．二、模擬大題1．(2019·湖南六校模擬)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－3,0）,B(2，1），C（－2,3)，求：（1）BC邊所在直線的方程；（2)BC邊的垂直平分線DE的方程．解（1）因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2，3）兩點(diǎn)，所以直線BC的方程為eq\f（y－1，3－1)＝eq\f（x－2,－2－2），即x＋2y－4＝0。(2)由(1）知，直線BC的斜率k1＝－eq\f(1,2），則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.因?yàn)锽C邊的垂直平分線DE經(jīng)過BC的中點(diǎn)（0，2），所以所求直線方程為y－2＝2(x－0），即2x－y＋2＝0.2．（2019·北京西城期中)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2，1）．(1）若點(diǎn)Q(－1，－2）到直線l的距離為1，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線l的方程．解（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線l的方程為x＝－2,符合要求；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－1＝k（x＋2），整理得kx－y＋2k＋1＝0，Q(－1，－2)到直線l的距離d＝eq\f（｜－k＋2＋2k＋1|,\r（k2＋－12）)＝eq\f（｜k＋3｜,\r（k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f（4，3)，所以直線l的方程為4x＋3y＋5＝0.綜上，直線l的方程為x＝－2或4x＋3y＋5＝0。(2）由題知，直線l的斜率k一定存在且k≠0，故可設(shè)直線l的方程為kx－y＋2k＋1＝0,當(dāng)x＝0時(shí),y＝2k＋1，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－eq\f（2k＋1,k),所以2k＋1＝－eq\f（2k＋1,k)，解得k＝－1或－eq\f(1，2），即直線l的方程為x＋2y＝0或x＋y＋1＝0。3．（2019·河南鶴壁模擬)如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點(diǎn)P（1，0)作直線AB分別交OA,OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝eq\f（1,2）x上時(shí)，求直線AB的方程．解由題意可得kOA＝tan45°＝1,kOB＝tan（180°－30°)＝－eq\f(\r（3)，3)，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f（\r（3）,3)x。設(shè)A(m，m)，B（－eq\r（3)n,n)，所以AB的中點(diǎn)為Ceq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（m－\r(3)n，2），\f（m＋n，2)）)，由點(diǎn)C在直線y＝eq\f(1，2)x上,且A，P，B三點(diǎn)共線，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1，2)·\f(m－\r（3)n,2），,\f(m－0，m－1）＝\f(n－0,－\r(3）n－1),,)）解得m＝eq\r(3),所以A(eq\r(3），eq\r（3)）．又P（1，0），所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3）,\r(3)－1）＝eq\f(3＋\r（3）,2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r（3）,2)(x－1），即直線AB的方程為（3＋eq\r（3）)x－2y－3－eq\r(3)＝0。4．（2019·四川綿陽模擬)已知直線l:kx－y＋1＋2k＝0（k∈R)．(1)證明:直線l過定點(diǎn);（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．解（1)證明:直線l的方程可化為k(x＋2）＋(1－