《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)》示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版教學(xué)設(shè)計(jì)】

第四章數(shù)列《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并會(huì)應(yīng)用其解決相關(guān)問題；2.體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程；3.借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．難點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入情境：如圖，這是某倉(cāng)庫(kù)堆放的一堆鋼管，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)呢？直接列式計(jì)算：4+5+6+7+8+9=39.追問：如果總數(shù)較大如何計(jì)算呢？有沒有更簡(jiǎn)便的求和的方法？ 4，5，6，7，8，9是等差數(shù)列，這節(jié)課我們一起來(lái)研究等差數(shù)列的求和問題.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際情境引入本節(jié)課要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的求和問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲．二、新知探究問題1：這堆鋼管一共有幾層？它的橫截面是什么形狀？答案：共有6層；橫截面是等腰梯形.問題2：假設(shè)在這堆鋼管旁邊再倒放上捆扎著的同樣一堆鋼管，如圖所示，則這樣共有多少根鋼管？追問1：每一層的鋼管數(shù)均為：4+9=13(根).答案：(4+9)×6=78(根).追問2：原來(lái)有多少根鋼管？答案：6×4+9追問3：從上面的求和過(guò)程中你能得到什么啟示？答案：等差數(shù)列可以通過(guò)“倒序相加”的方法求和.問題3：上述方法可以推廣到求等差數(shù)列{an}的前n一般地，對(duì)于數(shù)列an，把a(bǔ)1+a2+a3答案：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為dSn=a1把各項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)，SnSn=①+②，得2S由此可得等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式S公式表明：等差數(shù)列前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)和的一半的n倍.思考：如果已知等差數(shù)列首項(xiàng)a1，公差d可以求得前n項(xiàng)和S答案：將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n?1)d代入Sn歸納：等差數(shù)列的求和公式為Sn=n交流：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共涉及哪幾個(gè)相關(guān)量？這幾個(gè)量分別表示什么？這幾個(gè)相關(guān)量中，已知幾個(gè)可以求出其他幾個(gè)？答案：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量：首項(xiàng)a1，公差d，項(xiàng)數(shù)n，末項(xiàng)an，前n項(xiàng)和Sn，這五個(gè)量可以“設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問題探究讓學(xué)生了解等差數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．三、應(yīng)用舉例設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n（1）已知a1=3，a50（2）已知a1=3，公差d=解：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得S50（2）S10例2在等差數(shù)列an中，已知公差d=12，an=32，列前n解：由題意得a由②，得a1=代入①后化簡(jiǎn)，得n2解得n=10或?3(舍去)，例3在等差數(shù)列an解：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d.S10即10解得a所以a21=a21即第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和為1510.思考：還有其它的方法能解決上面的問題嗎？分析：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，公差為dS10=aS20?SS30?由上可得②?①=③?②=100所以S10，S20?S10，S由S10=310，S所以S30即第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和為1510.思考：通過(guò)上面的方法，你能得到什么結(jié)論？結(jié)論：若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d.則Sn，S2n?Sn設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，進(jìn)一步熟悉等差數(shù)列的求和公式，并能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式解決相關(guān)問題．四、課堂練習(xí)1.已知數(shù)列an是等差數(shù)列（1）若a1=7，（2）若a1=2，2.某商店的售貨員想在貨架上用三角形排列方式展示一種罐頭飲料，底層放置15個(gè)罐頭，第2層放置14個(gè)罐頭，第3層放置13個(gè)罐頭……頂層放置1個(gè)罐頭，這樣的擺法需要多少個(gè)罐頭？3.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S8=100參考答案：1.解：（1）S（2）由a1=2，a22.解：設(shè)貨架上的罐頭從底層到頂層，各層的罐頭數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn，根據(jù)題意得a1=S所以，這樣的擺法需要120個(gè)罐頭3.解：（方法1）S8=100，S168a1所以a24=S24方法2：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SS8，S16?S因?yàn)镾8=100，S則新數(shù)列的公差為：292?所以S24所以S24五、課堂小結(jié)求數(shù)列的基本量的基本方法是構(gòu)建方程或方程組