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第四章數(shù)列《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,并會(huì)應(yīng)用其解決相關(guān)問(wèn)題;2.體會(huì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程;3.借助等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn):等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.難點(diǎn):等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入情境:國(guó)際象棋起源于古印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者,問(wèn)他想要什么.發(fā)明者說(shuō):“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒,第2個(gè)格子里放上2顆麥粒,第3個(gè)格子里放上4顆麥?!来晤愅?,每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍,直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國(guó)王覺(jué)得這個(gè)要求不高,就欣然同意了.國(guó)王一共應(yīng)該給發(fā)明者多少顆麥粒?分析:設(shè)國(guó)王一共應(yīng)該給的麥粒顆數(shù)為S64S64=11,提問(wèn):如何進(jìn)行等比數(shù)列的求和呢?設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)實(shí)際情境引入等比數(shù)列的求和問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲.二、新知探究問(wèn)題1:如何計(jì)算S64呢分析:S1S2S3S4……S64猜想:S64追問(wèn)1:將“S64=1+2+答案:將等式的兩邊各項(xiàng)分別乘以2.因?yàn)镾64=1+所以2S64=追問(wèn)2:觀察①式和②式,發(fā)現(xiàn)什么共同點(diǎn)了嗎?答案:兩個(gè)等式的右邊除首項(xiàng)與末項(xiàng)不同外,其余各項(xiàng)均相同.追問(wèn)3:如何能消去這些相同的項(xiàng)呢?答案:用②式減去①式可以將這些相同的項(xiàng)全部消掉.快去試一試吧?、冢?,得S64問(wèn)題2:能否將上述方法推廣到一般的等比數(shù)列求和問(wèn)題的解決過(guò)程中?答案:對(duì)于首項(xiàng)為a1,公差為q(q≠0)的等比數(shù)列aSn=①式的兩邊同乘q,得qSn①-②,得Sn即Sn追問(wèn):要想求出Sn,能否將上式的兩邊同時(shí)除以1答案:不能,要分情況討論.當(dāng)1?q≠0即q≠1時(shí),等比數(shù)列anSn很明顯,當(dāng)1?q=0即q從而,等比數(shù)列an的前nSn公式變形:當(dāng)q≠1時(shí),Sn思考:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共涉及哪幾個(gè)相關(guān)量?這幾個(gè)量有什么實(shí)際意義?這幾個(gè)相關(guān)量中,已知幾個(gè)可以求出其他幾個(gè)?答案:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量:首項(xiàng)a1,公比q,項(xiàng)數(shù)n,末項(xiàng)an,前n項(xiàng)和Sn,這五個(gè)量可以“練一練:在等比數(shù)列an中(1)已知a1=?4,q(2)已知a1=1,a分析:根據(jù)已知條件選擇合適的求和公式計(jì)算即可.解:(1)根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,得S10(2)根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,得Sk=思考:如何選擇公式能讓運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)便呢?答案:當(dāng)q≠1時(shí),已知首項(xiàng)a1,公比q,項(xiàng)數(shù)n,選擇公式S已知首項(xiàng)a1,公比q,末項(xiàng)an,選擇公式當(dāng)q=1時(shí),選擇公式Sn設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題探究讓學(xué)生了解等比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).三、應(yīng)用舉例例1已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=72分析:先根據(jù)等比數(shù)列的求和公式列方程(組)求出a1和q,再求a解:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.若q=1,則S6=2S3,這與已知S3=從而S3S6=將上面兩個(gè)等式的兩邊分別相除,得1+解得q=2,由此可得因此an例2求數(shù)列1+12,2+思考1:觀察這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)有什么特征?答案:這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和.思考2:如何求這種數(shù)列的和呢?答案:分組求和.解:S=1+2+3=n(n+1)=n(n+1)2例3已知等比數(shù)列an的公比q≠?1,前n項(xiàng)和為Sn證明:(方法1)當(dāng)q=1時(shí),SnS3n所以Sn,S當(dāng)q≠1時(shí),Sn=S3n所以S因?yàn)楫?dāng)n確定時(shí),qn所以Sn,S(方法2)因?yàn)镾nS2nS3n所以S因?yàn)楫?dāng)n確定時(shí),qn所以Sn,S小結(jié):等比數(shù)列an的公比q≠?1,前n項(xiàng)和為Sn,則設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)例題,進(jìn)一步熟悉等差數(shù)列的求和公式,掌握利用等比數(shù)列的求和公式解決相關(guān)問(wèn)題.四、課堂練習(xí)1.在等比數(shù)列an(1)S2=30,(2)a1+a32.已知等比數(shù)列an中,a1=2,S3.等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠?1),則數(shù)列a3,a6,…,aA.a(chǎn)11?C.a(chǎn)31?4.等比數(shù)列an中,前5項(xiàng)和S5=10,前10項(xiàng)和S10=參考答案:1.解:(1)由題意知a解得a1=5從而Sn=1(2)由(a得q3=1又因?yàn)閍1+a所以a1=82.解:若q=1,則S3=若q≠1時(shí),則S3=a解得q=?2綜上a3的值為2或3.解:等比數(shù)列中,序號(hào)成等差數(shù)列,項(xiàng)仍成等比數(shù)列,則a3,a6,…,a3n…是等比數(shù)列,且首項(xiàng)為再用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解,得a314.解:由等比數(shù)列性質(zhì)知S5,S10?又S5=10所以S15所以S15五、課堂小結(jié)求數(shù)列的基本量的基本方法是構(gòu)建方程或方程組或運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行處理,1.“
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