高數(shù)經(jīng)濟數(shù)學-微積分(第二版)公開課獲獎課件

一、概念引入二、極限描述性定義三、“函數(shù)值能變得‘無限趨近常數(shù)A’”描述四、數(shù)列極限定義五、數(shù)列極限性質(zhì)第一章數(shù)列極限第二節(jié)數(shù)列極限第1頁正六邊形面積正十二邊形面積正形面積一、概念引入

1、割圓術：第2頁二、數(shù)列極限描述性定義例1“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”放大《莊子·天下篇》這12個字實際上給出了一種數(shù)列,第一項是1（一尺之棰）,從第二項開始每一項都是前一項二分之一（日取其半）.第3頁數(shù)列項越來越小，它將無限地靠近于零，但永遠不會等于零（萬世不竭）。將這個數(shù)列寫出來就是第4頁例2數(shù)列可以看到伴隨n增大該數(shù)列無限靠近于1。數(shù)列一般項表達式為第5頁例1

當n無限增大時，總結一下它們有何共同點？它們共同點是:在自變量n無限增大過程中，對應數(shù)列值都無限靠近于一種常數(shù)A.總之，我們看到無限靠近于0；例2當n無限增大時，無限靠近于1；第6頁假如數(shù)列在自變量n無限增大過程中，對應數(shù)列值an無限趨近于常數(shù)A，就稱該數(shù)列在自變量n無限增大時以A為極限.例1

當n無限增大時，極限是0；例2當n無限增大時，極限是1；按照這種說法數(shù)列極限刻畫是數(shù)列值隨自變量n變化最終止果還是變化最終趨勢？第7頁這種論述顯然是不嚴格，僅僅是樸素語言描述.例如“無限趨近”是很模糊.——極限描述性定義要給出數(shù)列極限嚴謹定義，關鍵是怎樣用數(shù)學語言刻畫自變量n無限增大過程中,對應數(shù)列值“無限趨近于”一種常數(shù).假如數(shù)列在自變量n無限增大過程中，對應數(shù)列值an無限趨近于常數(shù)A，就稱該數(shù)列在自變量n無限增大時以A為極限.第8頁三、“數(shù)列值an能變得‘無限趨近常數(shù)A’”描述用|an-A|不不小于0.1可以嗎？不不小于0.01，0.001，0.000001等詳細數(shù)可以嗎？不可以，這樣體現(xiàn)不出“要多小就能有多小”，由于能不不小于一種詳細數(shù)(例如0.000001),卻不能說它還能不不小于更小數(shù)(例如0.00000001).該怎樣刻畫呢？可以用|an-A|大小來刻畫an與A靠近程度，所謂an能變得無限靠近于A，可以用|an-A|能變得無限趨于零，或說能變得任意小、要多小就能有多小來描述。第9頁只有闡明|an-A|可以不不小于任意給定正數(shù)，才能闡明這個距離能變得要多小有多小.為此用表示任意給定正數(shù)，|an-A|<任意給定小正數(shù)這樣顯然不是數(shù)學語言.這樣，就處理了刻畫“數(shù)列值an能變得‘無限趨近于常數(shù)A’”問題。需要注意是，對任意給定小正數(shù)，并不是對自變量任意取值n都能使得成立，上式就能夠表示為：|an-A|<第10頁例如：成立.對數(shù)列及并不是全部n都能使而只有當n增大到一定“程度”，比如n=9，從此之后(n>9)各項才能使成立.“某一程度之后”該怎樣描述呢？而是在自變量增大過程中，當變化到某一“程度”，從此之后所對應數(shù)列值an才能使這個不等式成立.一樣對于任意數(shù)列an也不是對自變量n全部取值都能使成立，第11頁對于數(shù)列來說，“某一程度之后”該怎樣描述呢？從數(shù)列無限趨于0談起.四、數(shù)列極限定義因為，需要說明：對任意給定，在n無限增大過程中，當n改變到某一“程度”之后，有恒成立.在n無限增大過程中，用n>N表達n變化到這個程度之后.存在“某一程度”，用來表示

(這是因為n一直取正整數(shù))，下面我們來看，對于給定，怎樣尋找這個“程度”N.第12頁我們先從詳細取值來看：對，可得到從第10項以后全部項與0距離都小于0.1；實際上，對于給定要使只需于是，取“程度”N=10，用n>N表達”從此之后”.恒成立.

即存在N=10，當n>N=10時，顯然從第15項起也不不小于0.1。這個N唯一嗎？從數(shù)列無限趨于0談起.第13頁再如對于給定要使只需于是，取“程度”N=100.成立.

即存在N=100，使得當n>N=100時，對，可得到從第100項以后全部項與0距離都小于0.01；顯然從第110項開始也小于0.01.第14頁任意給定正數(shù)，能夠找到一個正整數(shù)N,當n>N時恒成立.從圖中我們可以直觀看到實際上，對于任意給定要使只需成立.

即存在

使得當n>N時，于是，取“程度”這里

不取整行嗎？對任意給定正數(shù)第15頁更一般地可以得到極限定義數(shù)列以0為極限任給,總存在正整數(shù)N

,當n>N時,恒成立.總存在正整數(shù)N,對數(shù)列,若存在常數(shù)a，當n>N時，恒成立,對任意給定則稱以a為極限，記作或總之第16頁總存在正整數(shù)N,對數(shù)列,若存在常數(shù)a，當n>N時，恒成立,

對任意給定則稱以a為極限，記作或定義（數(shù)列極限定義）存在任意給定請注意這里N是不唯一.N觀測下圖，怎么理解數(shù)列極限幾何意義？任意給定都存在一個N，當n>N時，對應點都落在以直線為中心,寬為帶形區(qū)域里.當n>N時

恒

若不存在這么a,則稱數(shù)列極限不存在,或數(shù)列發(fā)散.上面極限定義中，哪幾種詞是最關鍵？怎樣理解這個“恒”字呢？第17頁例5證實數(shù)列以1為極限(例2).分析根據(jù)定義，需要證明對于任意給定正數(shù),存在N，滿足：當n>N時恒有證明關鍵就在于找N.證明對于任意給定正數(shù)，要使，由所以，只要，即為此取，當n>N時,就有恒成立.所以.為何可以放大？目是什么？對任意給定正數(shù)，該怎樣去找對應N呢？第18頁分析證明例6證實等比數(shù)列當時極限為0.需要證明對于任意給定正數(shù)，存在N，滿足：當n>N時恒有證明關鍵就在于找N.任給正數(shù)，怎樣去找N？對任給ε>0，要使則因為，所以，于是為此，取當n>N時，就有恒成立.所以.兩邊取對數(shù)，得通過這兩個例子中找N措施，您有何體會？第19頁證實假如則例7證實關鍵還是怎樣找對應N,請自己完成這個證實，提醒：反過來成立嗎？請舉出反例。第20頁1、唯一性四、數(shù)列極限性質(zhì)要證明這個“未知”，所能借助“已知”是什么?定理1假如數(shù)列收斂，那么極限是唯一。答：假如不唯一，那么至少有兩個不一樣樣點作為極限，這兩個點之間必有一種距離，它不也許同步無限趨近于兩個有一定距離點。因此極限是唯一。極限假如存在話，會不會存在兩個或兩個以上呢？即極限唯一嗎？ab定義第21頁證明設該數(shù)列同步以a,b(a≠b)為極限,不妨設a<b,取,因此存在正整數(shù)N1,當n>N1時根據(jù)極限定義，因此存在正整數(shù)N2,當n>N2時令N=max(N1,N2),則n>N時，同步有和矛盾，即極限假如存在，則必是唯一。采用反證法.由又即與同時成立,證明中找到了兩個N，從中你有什么收獲?ab矛盾第22頁2、有界性定理2收斂數(shù)列必定有界．或者說數(shù)集是有界.那么我們不禁要問:“數(shù)列有界嗎？”已知按照上面分析，有界;請問有限集有界嗎？有界嗎？我們發(fā)覺：對任意,從N之后各項都滿足第23頁證明由數(shù)列極限定義，對于給定存在N,也就是說該數(shù)列是有界.不用1用別正數(shù)(例如用2或1/2)可以嗎?對于無窮多項|a1|,|a2|,…,|aN|,…能找到它一種界嗎？定理2收斂數(shù)列必定有界．分析：因為對于任意，都有那么我們能夠給一個詳細值，比如1.取當n>N時,此時記則對任意n，都有第24頁存在正整數(shù)N，當時，

證明對于給定且(參見定理1證實)有及即存在正整數(shù)N，當時ab若且b>a,能否比較大小呢？由數(shù)列極限定義，當

n>N

時請注意：并不是全部都有這么大小關系.而是當時,推論存在正整數(shù)N，第25頁定理3存在正整數(shù)N，當時,3、保號性假如數(shù)列收斂于，而且從某項起恒有那么推論ab第26頁a14、有關子列性質(zhì)在數(shù)列中抽出其全部奇數(shù)項組成一個新數(shù)列,稱為原數(shù)列(奇)子數(shù)列,簡稱奇子列．這個子數(shù)列第項恰好是中第項．a(chǎn)1a2a3a4a5a6a7a9a8a1a3a7a9a5a2a4a6a8奇子列偶子列這個子數(shù)列第項恰好是中第項．在數(shù)列中抽出其全部偶數(shù)項組成一個新數(shù)列,稱為原數(shù)列(偶)子數(shù)列,簡稱偶子列．第27頁a1a1a2a3a4a5a6a7a9a8a2a3a7a9從中抽出無窮多項,并保持在本來數(shù)列中前后次序不變.aiai+1aj+1ajaiaj+1從上面例子可以看到：顯然一般地，設有數(shù)列：就得到一個新數(shù)列普通地，一個子列記作第28頁定理5

假如數(shù)列{an}收斂于a，則它任何一個子列也收斂于a.假如一種數(shù)列不一樣樣子數(shù)列收斂于不一樣樣值，那么該數(shù)列收斂嗎？數(shù)列子列和數(shù)列有下面關系：答：該數(shù)列一定發(fā)散.由于假如該數(shù)列收斂，例如a，由定理5可知，它子列一定收斂于同一種值a.第29頁這個定理最直接應用就是用來證明極限不存在.例8證實數(shù)列發(fā)散.證該數(shù)列奇子數(shù)列為顯然極限是1.該數(shù)列偶子數(shù)列為顯然極限是-1.根據(jù)定理5，該數(shù)列是發(fā)散.分析只要能找到兩個收斂于不一樣樣值子列就可以闡明該數(shù)列發(fā)散了.注：一種數(shù)列某子列收斂不能保證原數(shù)列也收斂.定理5

假如數(shù)列{an}收斂于a，則它任何一個子列也收斂于a.第30頁數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列性質(zhì):唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列收斂性.小結第31頁5、四則運算定理6假如則1.證任給要使由存在N,當n>N時,此時所以直接運用定義來計算極限是非