2023年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊(cè)第六章平面向量及其應(yīng)用綜合測(cè)試卷Word版含解析

第六章平面向量及其應(yīng)用綜合測(cè)試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)、，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，,整理得.故選：A2．如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】在中由向量加法的三角形法則得：，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,所以.在中由向量加法的三角形法則得：又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點(diǎn)，所以所以.故選：B.3．如圖所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B4．向量在向量上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得：，，向量在向量上的投影向量為.故選：D.5．在中，D為BC上一點(diǎn).若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng).故選：C6．如圖，A，B兩地相距，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機(jī)的機(jī)身上，則飛機(jī)的高度約為（結(jié)果精確到整數(shù)部分，參考數(shù)據(jù)：）（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)飛機(jī)高度為米，則，即，解得.故選：B.7．已知中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，若，則的值為（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】因?yàn)椋约?，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得：，所以故選：C8．點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)楣簿€，所以，解得，所以，，則，由，得，即，所以，所以，所以.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．設(shè)向量，，則（）A． B．C． D．與的夾角為【答案】CD【解析】由題意，，，則，，故A錯(cuò)誤；易知，由，所以與不平行，故B錯(cuò)誤；又，即，故C正確；因?yàn)?，又，所以與的夾角為，故D正確．故選：CD．10．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，若邊BC的中線，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．△ABC的面積為【答案】ACD【解析】根據(jù)正弦定理，由，因?yàn)?，所以，因此，因?yàn)?，所以，因此選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；因?yàn)槭侵芯€，所以由，或舍去，因此，所以選項(xiàng)C正確；△ABC的面積為，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列命題中正確的有（）A．若，則△ABC一定是等邊三角形B．若，則△ABC一定是等腰三角形C．是成立的充要條件D．若，則△ABC一定是銳角三角形【答案】AC【解析】對(duì)于A，由正弦定理可得，故，而為三角形內(nèi)角，故，故三角形為等邊三角形，故A正確.對(duì)于B，由正弦定理可得，故，故或，而，故或即或，故三角形為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，等價(jià)于，而后者等價(jià)于，即，其中為三角形外接圓半徑，故的充要條件為，故C正確.對(duì)于D，由可得，故為銳角，但不能保證三角形為銳角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面積最小值是【答案】ABD【解析】由題意得：，由角平分線以及面積公式得，化簡(jiǎn)得，所以，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；由余弦定理所以，即的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)：由得：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；故選：ABD．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知在中，，，，為中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_(kāi)_．【答案】【解析】，，，，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以故答案為：．14．已知，若滿足且，則___________.【答案】【解析】設(shè)，，由于且，所以，解得，所以.故答案為：15．在中，、、所對(duì)邊分別為、、，若，的面積為6，則______．【答案】【解析】∵，∴可得，∵的面積為，∴，∵，∴由余弦定理，可得：∴解得：故答案為：16．在中，為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】因?yàn)槭堑闹芯€，所以，故，因?yàn)椋O(shè)，則，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)或3時(shí)，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）已知非零向量，不共線．(1)如果，，，求證：，，三點(diǎn)共線；(2)欲使和共線，試確定實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）證明：，，，，，且有公共點(diǎn)，故，，三點(diǎn)共線；（2）和共線，存在實(shí)數(shù)，使得，且，可得．18．（12分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)從條件①；條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的面積.【解析】（1）（1）因?yàn)?，由正弦定理．因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．?）選條件①：；因?yàn)椋桑?）得，所以根據(jù)余弦定理得，可得，解得．所以的面積，選條件②：；由（1）知且，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以的面積．19．（12分）如圖所示，是△ABC的一條中線，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線分別與射線，射線交于，兩點(diǎn).(1)若，求的值；(2)設(shè)，，，，求的值；【解析】（1）因，所以，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，又，所以；（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點(diǎn)共線，所以，即.20．（12分）某公園有三個(gè)警衛(wèi)室A?B?C，互相之間均有直道相連，千米，千米，千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室B，同時(shí)保安乙沿BA從警衛(wèi)室B出發(fā)前往警衛(wèi)室A，甲的速度為2千米/小時(shí)，乙的速度為1千米/小時(shí).(1)保安甲從C出發(fā)1.5小時(shí)后達(dá)點(diǎn)D，若，求實(shí)數(shù)x?y的值；(2)若甲乙兩人通過(guò)對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離不超過(guò)2千米，試問(wèn)有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話？【解析】（1）因?yàn)?，所以，因此建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)保安甲從C出發(fā)小時(shí)后達(dá)點(diǎn)D，所以有，設(shè)，由，即，當(dāng)時(shí)，，由；（2）設(shè)保安乙從B出發(fā)小時(shí)后達(dá)點(diǎn)E，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為，于是有，因?yàn)閷?duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離超過(guò)2千米，兩人不能通話，所以有，所以解之：或，又所以兩人約有小時(shí)不能通話.21．（12分）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的嚴(yán)格減區(qū)間；(2)在中，所對(duì)應(yīng)的邊為，且，求面積的最大．【解析】（1）方法1：則：，即：，當(dāng)k=0時(shí)，∴∴在區(qū)間上的嚴(yán)格減區(qū)間為.方法2：∵，∴∵在區(qū)間上嚴(yán)格單減∴∴∴在區(qū)間上的嚴(yán)格減區(qū)間為.（2）由（1）知：，即：又∵∴∴方法1：由余弦定理得：，∴①又∵，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)去等號(hào).②由①②得：，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)去等號(hào).∴△ABC的面積最大值為；方法2：由正弦定理得：，∵∴，∴∴當(dāng)時(shí)，即：時(shí)，取得最大值為1，∴，∴，∴△ABC的面積最大值為.22．（12分）在①，其中為角的平分線的長(zhǎng)(與交于點(diǎn))，②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答，在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、、______