2016最高考實(shí)戰(zhàn)演練數(shù)學(xué)答案

實(shí)戰(zhàn)演練?高三數(shù)學(xué)參考答案與解析

南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第一次模擬考試(一)

1.1解析：由NM知1GM,則x=l.本題考查了集合的子集的概念.本題屬于容易

題.

a+i

2.-1解析：z=-=l-ai的實(shí)部與虛部相等，則1=-a.本題主要考查復(fù)數(shù)的實(shí)部

與虛部的概念及除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí).本題屬于容易題.

3.1解析:環(huán)數(shù)9,10,9,7,10的平均數(shù)為9,S2=2歲一⑺？+2(*―9)-+(7-9)2

=2本題考查了方差的概念及計(jì)算公式.本題屬于容易題.

4.0.3解析：P(乙獲勝)=1-P(甲獲勝)一P(甲、乙和棋)=1-0.2—05=0.3.本題考查了

對(duì)立事件和互斥事件的概率.本題屬于容易題.

5.坐解析：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),則雙曲線X?—y2=a2(a>0)的右焦點(diǎn)為(1,

0),即c=l,則a?+a2=l.而a>0,則a=^.本題考查拋物線與雙曲線方程與及其焦點(diǎn)等基

礎(chǔ)知識(shí).本題屬于容易題.

6.42解析：由題設(shè)可知，循環(huán)體執(zhí)行3次，從而有S=0+8+14+20=42.本題考查了

算法語(yǔ)句的基本概念.本題屬于容易題.

7.8解析：由題設(shè)可知線性規(guī)劃的可行域的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0),(0,1.5),(1,

2).從而(x+y)ma、=1+2=3.則2*+丫的最大值為8.本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用.本題屬于容

易題.

8...解析：圓錐的底面面積為口，側(cè)面積是2n=；1X2n,則1=2,又底面半徑

為1,可得h=,,則丫=卜卜=殍.本題考查圓錐的基本概念，側(cè)面與底面的關(guān)系及面積

與體積的計(jì)算.本題屬于容易題.

5nnT2n(nAJI

9.解析：/=5，則T=冗=—,得o)=2,sin(2xo+%J=O,則2乂()+不=n,

xo=".本題考查三角函數(shù)圖象的周期性以及對(duì)稱性，屬于容易題.

,3x2+y2x2-2xy+y2+2xy(x-y)2+4

10.4角窣析：由log2x+log2y=],得xy=2,=----------------=------------=

4x2+y2

x-y+—^4,則一匕的最小值為4.本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及基本不等式的運(yùn)用.本題屬

JX—yx-y

于中等題.

11.必要不充分解析：a〃b可得sin2。=cos2。=2sin。cos。，則cos。=0,或cos

0=2sin0,即cos0=0(tan0不存在)，或tan。=]；由tan。=；,得cos。=2sin。,cos2

o=2sinocoso,則4%.因此“a〃b”是“tan0必要不充分條件.本題考查必要不充

分的概念、向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算以及同角三角函數(shù)的關(guān)系及正弦的二倍角公式運(yùn)用.本題屬

于中等題.

12.y[\0解析：6C2=(^|OA+^OB^=y1dA2+2-^OA?1dB+^dB2,即/=磊2+學(xué)

r2cosZAOB+，整理化簡(jiǎn)得cosNAOB=一5，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線交AB于D,則cos

ZAOB=2cos2ZAOD-l=-g,得cos2/AOD=g.又圓心到直線的距離為OD=g=[L所

icr)27

以cos2/AOD=：=翠=f,所以*=10,r=E.本題考查了直線與圓、向量的數(shù)量積、二

倍角公式，點(diǎn)到直線的距離公式等內(nèi)容.本題屬于難題.

13.[-5,-2]解析：xG(O,2]時(shí)，f(x)=2*-l為增函數(shù)，值域?yàn)?0,3],因?yàn)閒(x)是

定義在[-2,2]上的奇函數(shù),所以f(x)在[-2,2]上的值域?yàn)閇-3,3],函數(shù)g(x)=x2—2x+m

在xG[—2,2]上的值域?yàn)閇m—1,m+8].因?yàn)閷?duì)任意的X]G[—2,2],都存在X2d[—2,2],

使得g(X2)=f(xi),所以f(x)在[-2,2]上的值域是g(x)=x2—2x+m在xG[—2,2]上的值域

的子集，所以，m-lW—3且m+823,即[-5,-2].本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

性、最值、值域，以及任意性，存在性等內(nèi)容.本題屬于難題.

(—2,)11—1

14.j解析：(方法1)先采用列舉法得a1=-1,a2=l,a?=-3,a4=5,

n+ln

=-11,a6=21,…，然后從數(shù)字的變化上找規(guī)律，得an+1-an=(-l)2,再利用累加法

即可.

(方法2)因?yàn)閍2n+|-a2n=±22n,a2n-a2n-l=±22nT,所以兩式相加，得a2n+1—22「1二士??”

±22n-1,而卜2廣|｝遞減，所以a2n+l-a2n-l<0，故a2n+|-a2n=-22%同理，由｛a2n｝遞增，得

a2n-a2n-i=22nT及a2>a”所以斯+1_詼=(_1)-+時(shí),以下同上.本題主要考查數(shù)列的單調(diào)

性、列舉法和累加法.本題屬于難題.

15.解：(1)由題意，得yi=sina,y2=sin(a+/~)=cosa,(4分)

所以f(a)=sina+cosa=gsin(a+w).(6分)

因?yàn)閍G(0,9，所以a+：-G傳，

故f(a)6(l,煙.(8分)

(2)因?yàn)镼C)=6sin仔+。=卜,又Ce(0,yj,所以C=?.(10分)

解得b=1.(14分)

(說(shuō)明：第(2)小題用正弦定理處理的，類似給分)

16.證明：⑴連結(jié)BC”設(shè)BC|DB|C=F,連結(jié)OF,(2分)

因?yàn)?、F分別是BQ與B|C的中點(diǎn)，所以O(shè)F〃DC,5.OF=|DC.

又E為AB中點(diǎn)，所以EB〃DC,且EB=；DC,

。二

從而OF〃EB,OF=EB,即四邊形OEBF是平行四邊形，

所以O(shè)E〃BF.（6分）

又OE平面BCC|B|,BF平面BCC|B|,所以O(shè)E〃平面BCC1B].（8分）

（2）因?yàn)镈C_L平面BCCIBI，BC,平面BCQB”

所以BCi_LDC.（10分）

XBC1±B,C,且DC,B,C平面B|DC,DCCIB|C=C,

所以BG，平面BQC.（12分）

而BCi〃OE,所以O(shè)E_L平面BiDC.

又0E平面BQE,所以平面BQC_L平面BQE.(14分)

17.解：(1)由題意知，直線1的方程為y=2(x—a),即2x—y—2a=0,(2分)

右焦點(diǎn)F到直線1的距離為國(guó)^=乎，a—c=1.(4分)

2V2

又橢圓C的右準(zhǔn)線為x=4,即氏=4,???c=亍，將此代入上式解得a=2,c=l,b2

=3,b=小.

22

橢圓C的方程為亍+3=1.(6分)

(2)由(1)知B(0,小)，F(xiàn)(l,0),

，直線BF的方程為丫=一小(x-l),(8分)

y=一正(X—1),

聯(lián)立方程組，孑_]

智,（12分）

直線1的斜率k=.（14分）

18.解：(1)因?yàn)镃D=50-t=30,解得t=20.(2分)

此時(shí)圓E：x2+(y-20)2=302,令y=0,得人0=1帖，

所以O(shè)D=AD-AO=24小一1附=14小，將點(diǎn)C(14小，30)代入y=-ax2+50(a>0)

中，

解得a=49.(4分)

(2)因?yàn)閳AE的半徑為50-t,所以CD=50-t,在丫=-a*2+50中令y=50—t,得OD

=yjl，則由題意知FD=50—1+也W75對(duì)tG(0,25]恒成立，(8分)

所以+新成立，而當(dāng)g關(guān)，即t=25時(shí)，/+,取最小值10,

故、gw10,解得a2焉.(10分)

(3)當(dāng)a==時(shí)，OD=5，i,又圓E的方程為x2+(y-t)2=(50—tR令y=0,得x=±

叭25-t,所以AO=10\/25—t.

從而AD=f(t)=l"25—t+5Vi(0vtW25).(12分)

因?yàn)椤涪?5.告+龍=”第字)，

令f(t)=O,得t=5,(14分)

當(dāng)te(o,5)時(shí),f'(t)>0,f(t)單調(diào)遞增；當(dāng)te(5,25)時(shí),f'(t)vo,f(t)單調(diào)遞減,從而

當(dāng)t=5時(shí)，f(t)取最大值為25小.

答：當(dāng)t=5m時(shí)，AD的最大值為25小m.(16分)

(說(shuō)明：本題還可以運(yùn)用三角換元，或線性規(guī)劃等方法來(lái)解決，類似給分)

19.(1)解:，：數(shù)列｛aj是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，

??a]a5=a：=64,■?a?=8.

2

S5-S3=48,a4+a5=8q+8q=48,q=2,

an=8-2n3=214分)

(2)證明：(i)必要性：設(shè)5a”am，為這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，

①若2-5ak=am+a”則102k=2m+2l,

10=2m-k+2Hk,5=2m-k_l+2|_|!~,,

k-i=],]m=k+l,

???1.k-j?.?]l=k+3.母分)

②若2am=5ak+a“則2?2m=5-2k+*；.2m+,-k-21-k=5,左邊為偶數(shù)，等式不成立.

③若2ai=5ak+am，同理也不成立.

綜合①②③，得01=1<+1,l=k+3,必要性成立.(8分)

(ii)充分性：設(shè)m=k+l,l=k+3,

則由這三項(xiàng)為即調(diào)整順序后易知

5ak，am,5ak，ak+i，ak+3，5ak，2ak,8ak,2ak，5ak,

8ak成等差數(shù)列，所以充分性也成立.

綜合(i)(ii),原命題成立.(10分)

(3)解：因?yàn)閍ibn+a2bn-i+a3bn-2+…+2加1=3,2""-4n—6,

即23nn+l

2'bn+2bn-|+2bn-2^----F2bi=3,2—4n-6,(*)

當(dāng)時(shí)，23nn

n222'bn-I+2bn^+2bn-3H------F2^b,=3-2-4n-2,(**)

則(**)式兩邊同乘以234nn+1

2,2bn-1+2bn-2+2bn-34------l-2b,=3-2-8n-4,(***)

(*)-(***),得2bn=4n—2,即bn=2n—l(n)2).

又當(dāng)時(shí),即適合

n=l2b1=322—10=2,5=],bn=2n-l(n22),bn=2n-1.(14

分)

?bn2n-1.bn_bn-i2n-12n—35—2n

?,.=2n，?,.―京=2n_=2n'

bn]

/.n=2時(shí),->0,即黔;

An3n-l32a1

...n)3時(shí)，<0,此時(shí)單調(diào)遞減,

a113n-lldnj

又近—L壇—3￡也—Z_?_L<1ziz-/k\

X-,-,-,-,<<A(16

a12a24a38a416**16^2-

20.(1)解：①由題意,得h(x)=(f(x)—g(x)y=(e、-mx—ny=eX—m,

所以函數(shù)h(x)在x=0處的切線斜率k=1—m.(2分)

又h(0)=l—n,所以函數(shù)h(x)在x=0處的切線方程y—(1—n)=(l—m)x,

將點(diǎn)(1,0)代入，得m+n=2.(4分)

②當(dāng)n=0,可得h<x)=(eX—mx)，=eX—m,

因?yàn)閤>—l,所以

當(dāng)mW、時(shí),hr(x)=ex—m>0,函數(shù)h(x)在(一1,+8)上單調(diào)遞增，而h(0)=L

所以只需h(—l)=1+meo,解得m2一

從而-FwmW±(6分)

當(dāng)m>：時(shí)，由h，(x)=eX—m=0,解得x=lnm￡(—1,+°°),

當(dāng)x￡(—1,Inm)時(shí)，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x￡(lnm,+°°)0'1,hr(x)>0,h(x)

單調(diào)遞增.

所以函數(shù)11依)在(一1,+8)上有最小值為h(lnm)=m—mlnm,

令m-mlnm>0,解得m〈e,所以9Vm<e.

綜上所述，me—I，e).(10分)

n

⑵證明：由題意,《)=合+曲=/+受=%+島,

ox+-

m

14x

而r(x)=6+《3》l等價(jià)于ex(3x-4)+x+4^0,

令F(x)=e、(3x—4)+x+4,(12分)

則F(0)=0,且F(x)=eX(3x—l)+l,F'(0)=0,

令G(x)=F/(x),則G'(x)=ex(3x+2),

因?yàn)閤20,所以G，(x)>0,

所以導(dǎo)數(shù)F(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增,于是F(x)2F(0)=0,(14分)

從而函數(shù)F(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，即F(x)》F(0)=0.

從而，當(dāng)x》0時(shí)，r(x)2l.(16分)

南通市2015屆高三第一次調(diào)研測(cè)試(二)

1.{-1}解析：本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于容易題.

113—4i3—4iI

2.2解析：2=出=c仆=次，z的模為"本題主要考查復(fù)數(shù)的概

,3十41(3十41)(3-41)2D3

念及四則運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí).本題屬于容易題.

3.93解析：高二年級(jí)應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為930X盜=93.本題主要考查了分層抽樣的

ZoUU

概念，屬于容易題.

4.(-1,3)解析：由一X2+2X+320,得定義域?yàn)?-1,3).本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)

的定義域和一元二次不等式的解法，屬于容易題.

5.59解析：由題設(shè)流程圖的循環(huán)體執(zhí)行如下：第1次循環(huán)x=3,y=7,第2次循環(huán)x

=13,y=33,第3次循環(huán)x=59,y=151,則輸出的x=59.本題考查流程圖基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)鍵

把握每一次循環(huán)體執(zhí)行情況.本題屬于容易題.

31

6.法解析：基本事件數(shù)共36種，兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積小于4的基本事件有(1,1),(1,2),

(1,3),(2,1),(3,1)五種，不小于4的有31種，兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積不小于4的概率為H.本題

考查了古典概型求法，主要是用列舉法列出基本事件總數(shù).本題屬于容易題.

7.4啦解析：底面邊長(zhǎng)為2,高為1,則側(cè)棱長(zhǎng)為小，側(cè)面的上斜高為小，一個(gè)側(cè)面

的面積為啦，則正四棱錐的側(cè)面積為4啦.本題考查了正四棱錐的側(cè)面積，邊長(zhǎng)，高，側(cè)棱，

斜高.本題屬于容易題.

8.x2-^=l解析：設(shè)雙曲線的方程為4x2—y2=入，經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)(1,0),則

入=4,所以雙曲線的方程為x2-1=l.本題考查了拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲線漸近線、雙曲線

方程.本題屬于容易題.

9.-3或一4解析：y=2x一/(mGR,m￥-2)在x=1處的切線斜率為m+2,切點(diǎn)為

(1.2-m),切線方程為(m+2)x—y—2m=0,在兩坐標(biāo)軸上的截距為、粗-2m=12,化簡(jiǎn)得

m2+7m+12=0,m的值為一3或一4.本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，直線在兩坐標(biāo)

軸上的截距等概念.本題屬于中等題.

Jr(nA,nJi

10.j解析：f(x—(P)=sin(2x—2(p+司是偶函數(shù)，則一2中+不=5+1<n,而<p是銳角，

則q)=T>.本題考查了三角函數(shù)的奇偶性，誘導(dǎo)公式等內(nèi)容.本題屬于中等題.

11.200解析：由ai+a2W60,az+asWlOO得2ai+dW60,2ai+3d<100,ai>0,d>0.由

線性規(guī)劃的知識(shí)得5a】+a5=6ai+4d,過(guò)點(diǎn)(20,20)時(shí)，取最大值為200.本題考查了等差數(shù)

列的通項(xiàng)公式，線性規(guī)劃等內(nèi)容.本題屬于中等題.

9

12.解析：函數(shù)y=aX+b(b>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,3),得a+b=3,即a—l+b=2,

411A41A1「4b1~|1Q

1+b)=]4+1+UJ+H(a—1)2](5+4)=2.本題考查了函數(shù)

的圖象，1的代換，基本不等式等內(nèi)容.本題屬于中等題.

13.幣解析:取AC的中點(diǎn)N,則最)=4而+R6,ONXAC,則最)?AC=(AN+Nd)AC

=；|京|?同理n.AB—2)AB|-XAO,AM=4,則Ab,AM^^AO,(AB+AC)=||XB|2+

||AC|2=4.得AB=，^.本題考查了向量的分解、垂徑定理、數(shù)量積等內(nèi)容?本題屬于中等

題.

lWx<2,

14.11解析：作出函數(shù)f（x）=的圖象，函數(shù)y=2xf（x）—3的零

3.3

點(diǎn)為方程f（x）=A的解，即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=公圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)圖象可

得零點(diǎn)為尹2口nWN",令015,得IWnWIL本題考查了分段函數(shù)、函數(shù)的

圖象、零點(diǎn)、指數(shù)等內(nèi)容的綜合運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.本題屬于難題.

-4-rt----------------------------------------------------——

15.解：（1）（解法1）在AABC中，由正弦定理，及bcosC+ccosB=2acosA,

得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,即sinA=2sinAcosA,（3分）

因?yàn)锳￡（0,n），所以sinAWO,所以cosA=g,（6分）

所以A=].（8分）

（解法2）在AABC中，由余弦定理，及bcosC+ccosB=2acosA,

卜2+2—2.

所以a2=b2+c2—be,所以cosA=----詆-=》（6分）

因?yàn)锳W（0,冗）,所以A=4（8分）

（2）由AB?AC=ebeosA=y[3,得bc=25,（11分）

所以4ABC的面積為S=/bcsinA=/X2"\/5sin60°=,（14分）

16.（1）證明：因?yàn)锳BCAiBiCi是直三棱柱,

所以CC」平面ABC.

因?yàn)锽C平面ABC,所以CC』BC.（2分）

因?yàn)锳C_LBC,CC|CAC=C,CCpAC平面ACGA1，

所以BC，平面ACC1A1.（4分）

因?yàn)锳M平面ACC1A1，所以BC_LAM.（6分）

（2）解：（解法1）如圖1,取AB1的中點(diǎn)P,連結(jié)NP,PM.

因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以NP〃BB|.（8分）

因?yàn)镃M〃BB”所以NP〃CM,

所以NP與CM共面.（10分）

因?yàn)镃N〃平面AB|M,平面CNPMC1平面AB|M=MP,

所以CN〃MP.（12分）

所以四邊形CNPM為平行四邊形，

所以CM=NP=%G=2.（14分）

（解法2）如圖2,設(shè)NC與CG確定的平面交AB|于點(diǎn)P,

連結(jié)NP,PM.

因?yàn)镃N〃平面ABjM,CN平面CNPM,平面AB|MCl平面CNPM=PM,

所以CN〃MP.（8分）

因?yàn)锽Bi〃CM,BB|平面CNPM,CM平面CNPM,

所以BB|〃平面CNPM.（10分）

又BB|平面ABB”平面ABB〕C平面CNPM=NP,

所以BBi〃NP,所以CM〃NP,所以四邊形CNPM為平行四邊形.（12分）

因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，

所以CM=NP=；BB|=1CG=2.（14分）

（解法3）如圖3,取BBI的中點(diǎn)Q,連結(jié)NQ,CQ.

因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，

所以NQ〃AB1.

因?yàn)镹Q平面AB|M,AB,平面AB|M,

所以NQ〃平面AB）M.（8分）

因?yàn)镃N〃平面AB〕M,NQDNC=N,NQ,NC平面NQC,

所以平面NQC〃平面AB|M.（10分）

因?yàn)槠矫鍮CCBC平面NQC=QC,平面BCCBH平面AB1M=MB1,所以

CQ〃MB|.（12分）

因?yàn)锽Bi〃CG，所以四邊形CQB|M是平行四邊形，

所以CM=B,Q=1CC1=2.（14分）

（解法4）如圖4,分別延長(zhǎng)BC,B|M,設(shè)交點(diǎn)為S,連結(jié)AC.

圖4

因?yàn)镃N〃平面AB]M,CN平面ABS,

平面ABSC平面AB|M=AS,

所以CN〃AS.（IO分）

由于AN=NB,所以BC=CS.

又CM〃BB1,同理可得SM=MB”

所以CM=；BBi=；CC|=2.（14分）

2

17.解：（1）由題意，得a=2c=2,b2=a2-c2=3,所求橢圓的方程為點(diǎn)+、v=1.（4分）

（2）設(shè)B到直線AC的距離為h,由于S|=2S2,

所以料2?h=2X；F2c?h,即AF2=2FZC,

所以AF2=2F2c.（6分）

（解法1）設(shè)A（x「y,）,CM，y2））又F2（l,0）,

X|=3—2x2,

則（1—X|,—yi）=2（X2_1,ya）,即（8分）

yi^—2y2.

=1,

由22解得,

（3-2X2）（~2y2）

1,

4「3

±3—

所以直線1的斜率1<=盧=±坐.（14分）

4-

（解法2）由⑴知，xi=3—2x2.（8分）

22

設(shè)點(diǎn)A（xi，y）到橢圓于+、=1右準(zhǔn)線x=4的距離為d,

則4所以AF2=2—gxi，同理CFz=2一支.

由AF2=2F2C,得2-1XI=2（2一1X2），

即X2=2+1XI.（10分）

所以X2=：7（以下同解法1）.（12分）

（解法3）橢圓的右準(zhǔn)線為直線x=4,

分別過(guò)A,C作準(zhǔn)線的垂線，

過(guò)C作CHLAA，，垂足為H.（如圖）

CFAF

由于?22（10分）

CC'一AA

又AF2=2F2C,在RtACAH中，

AC=3F2C,AH=2F2C,所以CH=V5F2C,

所以tanZCAH=^.（12分）

18.解：（1）（解法1）如圖1,過(guò)B作圓C的切線BE,切點(diǎn)為E,設(shè)圓C所在平面上入口

中點(diǎn)為A,連結(jié)CA,CE,CB,則CE_LBE,CA±AB,則攝像水平視角為NABE時(shí)、水平

4

攝像視角最小，在RtZkABC中，AB=10,AC=8,tanNABC=：（2分）

在RtZ\BCE中，CE=2A/LBE=NCB2—CE2=12,

tan/CBE=乎，(4分)

所以tanZABE=tan(ZABC+ZCBE)=

=1+童

—1十10'

所以最小攝像視角的正切值為1+嗜.（8分）

（解法2）如圖2,過(guò)B作圓C的切線BE,切點(diǎn)為E,設(shè)圓C所在平面上入口中點(diǎn)為A,

連結(jié)CA,CE,CB,貝l」CE_LBE,CA±AB,

則攝像視角為/ABE時(shí)，攝像視角最小.

在平面ABC內(nèi)，以B為原點(diǎn)，BA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C（10,8）,設(shè)直線BE的

方程為y=kx,

由圓C與直線BE相切，得2小=耳胃k（4分）

y/k+1

解得k=l土靖（其中k=l-嗜不合題意，舍去）.

答：所以最小攝像視角的正切值為1+需.（8分）

（2）（解法1）當(dāng)NABE=60。時(shí)，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大.

在平面ABC內(nèi)，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

所以直線BE的方程為y=45x,（12分）

所以CE=f^￡]=5S-4,則圓C的最大半徑為5小一4m.（16分）

（解法2）設(shè)圓盤的最大半徑為r,當(dāng)NABE=60。時(shí)，若直線BE與圓C相切，則圓C的

半徑最大.

4

在RtZXABC中，AB=10,AC=8,tan/ABC=§.

在RtZiBCE中，CE=r,BE=^CB2-CE2=Ay164-r2,

3/08￡=而鼻.（10分）

164—rr-

由tan/ABE=tan(/ABC+/CBE),得-------------=小，(12分)

1-TX

5J164-?

即164—r2+5r=y[3(5\]164—r2—4r),

所以(54§-4)\164—*=(5+4小)1',即”=91一4麗=(5小一4)2,

所以r=5小一4.(15分)

答：圓C的最大半徑為5小一4m.(16分)

19.解：(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3xlnx,所以P(x)=3(lnx+1).(2分)

令股)=0,得x=:，

當(dāng)xG((),§時(shí)，f((x)<0；當(dāng)xcg，+8)時(shí)，f'(x)>0,

所以f(x)在(0,§上單調(diào)遞減，在Q，+8)上單調(diào)遞增.(4分)

所以，當(dāng)x=：時(shí)，*x)有極小值0=一譽(yù)(6分)

(2)(解法1)設(shè)g(x)=P(x)=3(ax2+l+lnx),D=(；,e)

由題意，g(x)在D上有且只有一個(gè)零點(diǎn)Xo，且Xo兩側(cè)g(x)異號(hào).

①當(dāng)a20時(shí)，g(x)在D上單調(diào)遞增，且g(x)>gQ)》O,

所以g(x)在D上無(wú)零點(diǎn)；(8分)

②當(dāng)aVO時(shí)，在(0,+8)上考察g(x)：

6alx+

gz(x)=^—，令g(x)=0,得xi=

g(x)在(0,X1)上單調(diào)遞增，在(X1，+8)上單調(diào)遞減.(10分)

(i)當(dāng)g(e)-gQ)<0,即畫+2)看<0，即一"a<0時(shí)，g(x)在D上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

Xo,且在Xo兩側(cè)異號(hào).(13分)

(ii)令g(：)=0,得||=0,不可能.

(iii)令g(e)=O,得a=一1所以\^^=養(yǎng)口，

g(V-S)=g?=3H+1+ln8

=咆+嚙)>0.

又g(E)=尋所以g(x)在D上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x(p且在xo兩側(cè)g(x)異號(hào).

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［一10).(16分)

(解法2)令f(x)=3(ax2+1+lnx)=0,得一”.(8分)

1+lnx,1+21nx./口1(\\

設(shè)h(x)=x?，由h，(x)=——?—,令h<x)=O,得x()=e—ej,

當(dāng)x￡(xo,e),h'(x)V0,所以h(x)在(x(),e)上為減函數(shù)；

當(dāng)xeg,Xo),h'(x)>0,所以h(x)在Q,Xo)上為增函數(shù)，所以Xo為h(x)的極大值點(diǎn).(11

又h⑥=0,h(e)=1,h(x0)=1e,

2121

所以0V—aW最或一a=/e,即一/WaVO或a=1]e.(13分)

當(dāng)a=—ge時(shí)，F(xiàn)(x)=3(—；ex?+1+lnx).

1、

設(shè)m(x)=—/ex.+l+lnx,

令m，(x)=O,得x=e一

當(dāng)xe(±,e—g),m'(x)>0,所以m(x)在g,e?)上為增函數(shù)；

當(dāng)xG(e—e),m,(x)<0,所以m(x)在(e—/e)上為減函數(shù).

所以m(x)Wm(e—：)=0,即f(x)W0在g,e)上恒成立，

所以f(x)在Q,e)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)a=—；e時(shí);f(x)在(%e)上不存在極值點(diǎn).

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［—表0).(16分)

2

20.(1)證明：由數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和Sn=1(n+3n)(neN,),

1,11=1,

Si,n—1,11*

得an=/+/Q2可+剃6).Q分)

Sn—Sn-i，n、2

4(n+1)

aa22n+2

所以:n+L.Eg分)

20+2

111Q

因?yàn)閷?duì)任意MN*，。<干V，即1<1+EV，

所以1<手=1+±忘,，

ann+12

所以9即㈤｝是“緊密數(shù)列”.(6分)

乙an

(2)解：(解法1)由數(shù)列｛%｝是公比為q的等比數(shù)列,得口=手，

dn

因?yàn)椋?｝是“緊密數(shù)列"，所以1WqW2.(8分)

①當(dāng)q=l時(shí)，Sn=na1，所以;W1V^ii=^^=l+；W2.

Of|nnNOnnn

故q=l時(shí)，數(shù)列｛Sn｝為“緊密數(shù)列"，故q=l滿足題意.(10分)

,ai(1—q11)n|Sn+i1—qn1

②當(dāng)q*l時(shí)，Sn=[_q>則K=]_qn-

因?yàn)閿?shù)列｛S0｝為“緊密數(shù)列”，所以:?滬=\冬忘2對(duì)于任意nGN*恒成立.

NDn1q

11..[qn(2q—1)Wl,*

(i)當(dāng);WqV]時(shí)，5(l-qn)<l-qn+l<2(l-qn),即0,八、對(duì)于任意nGN

乙乙[q(q—2)￡—1

恒成立.

3

因?yàn)镺VqnWqVl,0^2q-l<l,—1Wq—2V—1,

所以qn(2q—l)<q<l,qn(q—2)>q(q—2)^^X1)=—)

1fqn(2q-l)Wl,*

所以，當(dāng)太q<l時(shí)，n,、、對(duì)于任意n￡N恒成立.(13分)

/lq(q—2)3―1

1[qn(2q—1)21,*

(ii)當(dāng)l<qW2時(shí),5(qn-l)^qn+l-l<2(qn-l),即：，八”,對(duì)于任意nWN

/lq(q—2)￡—1

恒成立.

[q(2q—1)21,

因?yàn)閝n2q>l,2q-l>l,-Kq-2^0,所以,解得q=l.

[q(zq—2)W—1,

又l<q<2,此時(shí)q不存在.

n-i

綜上所述，q的取值范圍是仁，1](16分)

(解法2)因?yàn)椋鸻j是“緊密數(shù)列”，所以;WqW2.(8分)

①當(dāng)q=l時(shí)，Sn=na1，所以1十;W2,

Opnn/Opnri

故q=l時(shí)，數(shù)列｛Sn｝為“緊密數(shù)列"，故q=l滿足題意.(10分)

n1

e*HI葉?ai(1—q“),Sn-nl-q

②當(dāng)q#l時(shí)，Sn-———,貝啜-Lq"?

因?yàn)閿?shù)列｛SJ為“緊密數(shù)列”，所以寺W寺iu-T*WZ對(duì)于任意ndN*恒成立.

乙，1q

11..fq11(2q—1)WL

(i)當(dāng)；<q<l時(shí)，5(l-qn)^l-qn+,^2(l-qn),即_i、一對(duì)于任意nGN

//lq(2—q)

q(2q—1)<1,i

恒成立，所以…、1解得/WqVl.(13分)

q(2—q)W1,乙

Ifq(2q—1)21,

(ii)當(dāng)：Wq<l時(shí)，同理可得無(wú)解.

乙lq(2—q)

綜上所述，q的取值范圍是修，1](16分)

蘇州市2015屆高三調(diào)研測(cè)試(三)

1.(-2,1］解析：本題考查集合概念及基本運(yùn)算.本題屬于容易題.

2.1解析：2+3i=ai—b,則a=3,b=—2,a+b=l.本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.本題

屬于容易題.

3.6解析：丁=牛=?，則k=6.本題主要考查了三角函數(shù)周期性求法.本題屬于容易

題.

4.3解析：乙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為6Xm=3.本題主要考查了分層抽樣的概念，屬于

容易題.

5.2解析：S5=5ai+10d=5,a44-a6=10=2ai+8d,則d=2.本題考查了等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了方程(組)的思想.本題屬于容易題.

6.9解析：由題設(shè)流程圖的循環(huán)體執(zhí)行如下：第1次循環(huán)a=3,b=2；第2次循環(huán)a

=5,b=2；第3次循環(huán)a=7,b=2；第4次循環(huán)a=9,b=2；本題考查流程圖基礎(chǔ)知識(shí)，

關(guān)鍵把握每一次循環(huán)體執(zhí)行情況.本題屬于容易題.

7.x2—4=1解析：a=l,e=￡=2,得c=2,則b?=c2—a?=3,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

Da

X2—1=1.本題考查了拋物線的焦點(diǎn)以及雙曲線的有關(guān)概念和標(biāo)準(zhǔn)方程求法.本題屬于容易

題.

8.1解析：以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)有(-1,-2),(-1,0),(—1,2),(1,-2),(1,0),

(1,2),滿足x+2y2l的點(diǎn)有(-1,2),(1,0),(1,2),所以所求的概率為:.本題考查了古典

概型求法，主要是用列舉法列出基本事件總數(shù).本題屬于容易題.

9.啦解析：由1—去>0,得2、>a,則x>k>ga2，而x>g,則k>ga2=；,得@=也.本題考

查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化.本題屬于容易題.

10.R解析：側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓面，半圓弧長(zhǎng)為2n=2nr,則r=l,

圓錐的高為小，圓錐的體積為坐幾本題主要考查空間幾何體的體積.本題屬于容易題.

11.4解析：DE=AE-AD=|AC-|AB,BF=BD+DF=-1AB+|DE=-1AB+1

—1ABj=1AC—^AB,BF*DE=QAC—^ABj*QAC—=^AC2+§AB2-3?辰

=2+6-^X4X6XT=4.本題主要考查平面向量的有關(guān)運(yùn)算以及化簡(jiǎn)變形的能力.本題屬于

中等題.

12.(1,2］解析：函數(shù)g(x)=f(x)—2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即為f(x)=2x恰有三個(gè)不

4,x?m,

同的零點(diǎn)，就是函數(shù)f(x)=,、與y=2x的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).由圖象

x2十4x—3,x<m

可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1,2］,本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系以及函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.本

題屬于難題.

13.［1,5］解析：圓M：(x-iy+(y-l)2=4上存在兩點(diǎn)B,C,使得NBAC=60。，

說(shuō)明點(diǎn)A(x,y)到M(1,1)的距離小于等于4,即(x—l)2+(y—1)2W16,而y=6—X,得X?

一6x+5W0,即1WXW5.點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為［1,5］,本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，

一元二次不等式的解法等知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.本題屬于難題.

3+2地a2+2b2,2,b2-l+l,2,,1,12,11.2

解析：—+^7=3+-+-^-=3+-+6-1+-=-+—=-(-

14.2

卜dr)(a+b+l)=；［2+l+"^-+島■］出+也.本題考查了代數(shù)式的變形，基本不等

DI1/dDI1乙

式的綜合運(yùn)用（1的代換）.本題屬于難題.

15.解：（1）：%,sin0—2cos0=0,即tan0=2.（4分）

（吟1+tan91+2

tan"彳尸廠嬴『廠工3.（7分）

（2）由（1）知tan。=2,又。￡（0,

/.sin。=邛^，cos。=乎,（9分）

5cos（9—q））=3小cos小，

5（cos。cos<l>+sin6sin小）=3小cos<b,

即小cose+2小sin6=3^/5cos@,

cos4>=sin4>,即tan?=1.（12分）

itn

又0<（p<-p小=彳.（14分）

16.證明：（1）連結(jié)ADi，

,/E,F分別是AD和DD|的中點(diǎn)，，EF〃AD1.（2分）

在正方體ABCDA1B1CQ1中，AB〃D〕C|,AB=D1C1,

四邊形ABCQi為平行四邊形，即有ADi〃BG，（4分）

，EF〃BG.

又EF平面C|BD,BC|平面C,BD,

EF〃平面C|BD.（7分）

（2）連結(jié)AC,則ACJ_BD.

在正方體ABCDAiBiCiD,中，AA|_L平面ABCD,

，AA]±BD.

又AA]DAC=A,

BDJ_平面AAiC,

?.A|C_LBD.（11分）

同理可證A|CJ_BC|.

又BDPBC|=B,A]CJ_平面C|BD.（14分）

17.解：設(shè)AP=x米，AQ=y米.

（l）x+y=200,AAPQ的面積S=1xysinl20。=^xy.（3分）

...SW半甘3=250岫.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時(shí)取“.（6分）

（注：不寫“=”成立條件扣1分）

⑵由題意得100X（1-x+1.5?y）=20000,即x+1.5y=200.（8分）

要使竹籬笆用料最省，只需其長(zhǎng)度P