2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅲ）

2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)IH）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={（x,y）|x2+y2=l}?B={（x,y）|y=x},則AHB中元素

的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

2.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i,則|z|=（）

A.LB.返C.&D.2

22

3.（5分）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理

了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制

2014年2015年2016年

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比

較平穩(wěn)

4.（5分）（x+y）（2x-y）§的展開(kāi)式中的x3y3系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

5.（5分）已知雙曲線C：4-專(zhuān)1（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=瓜,

aD2

22

且與橢圓—+二=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為（）

123

22

A.D.口-建1

810455443

6.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+工），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

3

A.f（x）的一個(gè)周期為-2n

B.y=f（x）的圖象關(guān)于直線x="L對(duì)稱(chēng)

3

C.f（x+n）的一個(gè)零點(diǎn)為x=—

6

D.f（x）在（2L,R）單調(diào)遞減

2

7.（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N

的最小值為（）

.

/輸入N/

r=W=100f=0

A.5B.4C.3D.2

8.（5分）已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球

面上，則該圓柱的體積為（）

A.nB.12Lc.2LD.2L

424

（分）等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差不為若成等比數(shù)列，則

9.5{aj1，0.a2,a3,a6

{aj前6項(xiàng)的和為（)

A.-24B.-3C.3D.8

22

（分）已知橢圓二+口（）的左、右頂點(diǎn)分別為且

10.5C：1a>b>0A1，A2,

a2,b2

以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）

A.返B.返C.返D.工

3333

11.（5分）已知函數(shù)f（x）=x2-2x+a（exl+ex+1）有唯一零點(diǎn)，則a=（）

A.-J-B.1.C.LD.1

232

12.（5分）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切

的圓上.若屈=入標(biāo)+|115，則入+目的最大值為（）

A.3B.2&C.遍D.2

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y）0

13.（5分）若x,y滿足約束條件<x+y-240，則z=3x-4y的最小值為.

（分）設(shè)等比數(shù)列｛滿足貝

14.5ajai+a2=-1，a1-a3=-3,Ua4=.

x+]X<0

15.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）='，則滿足f（x）+f（x-L）>1的x的取

2X,x>02

值范圍是.

16.（5分）a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊

AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與b成30。角；

②當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與b成60。角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最小值為60°；

其中正確的是.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。（一）必考題：60分。

17.（12分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+?cosA=0,

a=2、/7，b=2.

（1）求c；

（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD_LAC,求^ABD的面積.

18.（12分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4

元，售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根

據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫

不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25）,需求量為300

瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)

計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15）[15,20）[20,25）[25,30）[30,35）[35,40）

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一

天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

19.（12分）如圖，四面體ABCD中，^ABC是正三角形，Z\ACD是直角三角形，

ZABD=ZCBD,AB=BD.

（1）證明：平面ACD_L平面ABC；

（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩

部分，求二面角D-AE-C的余弦值.

20.（12分）已知拋物線C：y2=2x,過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線I交C與A,B兩點(diǎn),

圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P（4,-2）,求直線I與圓M的方程.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)20,求a的值；

(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n,(1+1)(l+_k)...(1+1_)<m,求

2222n

m的最小值.

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線II的參數(shù)方程為，x=2+t,"為參數(shù)），

ly=kt

x=-2+m

直線I2的參數(shù)方程為m,（m為參數(shù)）.設(shè)li與12的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí),

P的軌跡為曲線C.

（1）寫(xiě)出C的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)b：P（cos0+sin0）

-V2=0,M為I3與C的交點(diǎn)，求M的極徑.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f（x）=x+l|-lx-2.

（1）求不等式f（x）21的解集；

（2）若不等式f（x）NX?-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)IU）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）（2017?新課標(biāo)HI）已知集合A={（x,y）x2+y2=l},B={（x,y）y=x},

則APB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【考點(diǎn)】IE：交集及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】5J：集合.

【分析】解不等式組求出元素的個(gè)數(shù)即可.

22

x+y」,解得：

(y=x

.?.ACB的元素的個(gè)數(shù)是2個(gè),

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2017?新課標(biāo)III）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i,則|z|=（）

A.LB.返C.我D.2

22

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出.

【解答】解:V（i+i）z=2i,:.（1-i）（1+i）z=2i（1-i）,z=i+l.

則Iz=V2-

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2017?新課標(biāo)III）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)

質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比

較平穩(wěn)

【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；B9：頻率分布折線圖、密度曲線.

【專(zhuān)題】27：圖表型；2A：探究型；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】根據(jù)已知中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)

人）的數(shù)據(jù)，逐一分析給定四個(gè)結(jié)論的正誤，可得答案.

【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：

萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)可得：

月接待游客量逐月有增有減，故A錯(cuò)誤；

年接待游客量逐年增加，故B正確；

各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，故C正確；

各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平

穩(wěn)，故D正確；

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)據(jù)的分析，命題的真假判斷與應(yīng)用，難度不大，

屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)(2017?新課標(biāo)HI)(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中的x3y3系數(shù)為()

A.-80B.-40C.40D.80

【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】34：方程思想；5P：二項(xiàng)式定理.

【分析】(2x-y)§的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式:%產(chǎn)產(chǎn)(2x)5r(-y)r=25r(-1)

r5rr令解得令解得即可得出.

[rxy.5-r=2,r=3,r=3.5-r=3,r=2,r=2.

【解答】解：(2x-y)$的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：(2x)5r(-y)r=25-r(-

5

1)「『V.

令5-r=2,r=3,解得r=3.

令5-r=3,r=2,解得r=2.

(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中的x3y3系數(shù)=2?x(-1)3[3+23X[2=40.

51X5

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔

題.

22

5.(5分)(2017?新課標(biāo)III)已知雙曲線C：工_-2_=1(a>0,b>0)的一條

a2,b2

漸近線方程為y=區(qū),且與橢圓叁+墟1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()

2123

22222222

A.——-——=1B.——--__=1C.———-_=1D.——--__=1

810455443

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、

性質(zhì)與方程.

【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的漸近線方

程，求出雙曲線實(shí)半軸與虛半軸的長(zhǎng)，即可得到雙曲線方程.

22

【解答】解：橢圓三+心1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(±3,0),

123

則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0),可得c=3,

雙曲線C：龍-工>1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=Y￡,

2,29

ab乙

可得回正，即心式二旦，可得2旦，解得a=2,b=依，

a2/a4a2

22

所求的雙曲線方程為：2_-匚1.

45

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計(jì)

算能力.

6.(5分)(2017?新課標(biāo)III)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+2L),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

3

()

A.f(x)的一個(gè)周期為-2兀

B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=&L對(duì)稱(chēng)

3

C.f(x+n)的一個(gè)零點(diǎn)為x=2L

6

D.f(x)在(2L,R)單調(diào)遞減

2

【考點(diǎn)】H7：余弦函數(shù)的圖象.

【專(zhuān)題】33：函數(shù)思想；40：定義法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.函數(shù)的周期為2kn,當(dāng)k=-l時(shí)，周期T=-2TI,故A正確，

B.當(dāng)x=*兀時(shí),cos(x+2L)=cos(j'.+__L)=cos-^2L=cos3n=-1為最小值，

33333

此時(shí)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=§2L對(duì)稱(chēng)，故B正確，

3

C當(dāng)x=2I-時(shí)，f(_ZL+TI)=COS(-2L+n+2I_)=cos22L=0>則f(x+n)的一個(gè)零點(diǎn)

66632

為x=2L,故c正確，

6

D.當(dāng)工<X<71時(shí)，且L<x+2Lv”,此時(shí)函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，故D

2633

錯(cuò)誤，

故選：D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象

和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

7.（5分）（2017?新課標(biāo)IH）執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則

輸入的正整數(shù)N的最小值為（）

/輸入N/

r=l"=100F=0

A.5B.4C.3D.2

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【專(zhuān)題】11:計(jì)算題；39：運(yùn)動(dòng)思想；49：綜合法；5K：算法和程序框圖.

【分析】通過(guò)模擬程序，可得到S的取值情況，進(jìn)而可得結(jié)論.

【解答】解：由題可知初始值t=l,M=100,S=0,

要使輸出S的值小于91,應(yīng)滿足“tWN",

則進(jìn)入循環(huán)體,從而S=100,M=-10,t=2,

要使輸出S的值小于91,應(yīng)接著滿足“tWN",

則進(jìn)入循環(huán)體,從而S=90,M=l,t=3,

要使輸出S的值小于91,應(yīng)不滿足“tWN",跳出循環(huán)體，

此時(shí)N的最小值為2,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查程序框圖，判斷出什么時(shí)候跳出循環(huán)體是解決本題的關(guān)鍵，注

意解題方法的積累，屬于中檔題.

8.（5分）（2017?新課標(biāo)III）已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為

2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）

A.nB.12Lc.—D.2L

424

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LR：球內(nèi)接多面體.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；40：定義法；5Q：立體幾何.

【分析】推導(dǎo)出該圓柱底面圓周半徑r=j2G產(chǎn)亨,由此能求出該圓柱的體

積.

【解答】解：???圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球

面上，

...該圓柱底面圓周半徑r=5-（j?產(chǎn)與

...該圓柱的體積：V=Sh=兀x（咚"）2X

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查面圓柱的體積的求法，考查圓柱、球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論

證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

9.（5分）（2017?新課標(biāo)IID等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,

a6成等比數(shù)列，則｛aj前6項(xiàng)的和為（）

A.-24B.-3C.3D.8

【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；40：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)

列.

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列性質(zhì)列出方程，求出公差，由此能求

出｛an｝前6項(xiàng)的和.

【解答】解：???等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為1,公差不為o.a2,a3,a6成等比數(shù)列，

?2

??&3二七飛6

(ai+2d)2=(ai+d)(ai+5d),且d#0,

解得d=-2,

二｛aj前6項(xiàng)的和為$6=6%+號(hào)％=6Xl+g&（-2）="24-

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列前6項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

22

10.（5分）（2017?新課標(biāo)III）已知橢圓C：工+匚1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)

2,2

ab

分別為%,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離

心率為（）

A.后B.返C.返D.上

3333

【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【專(zhuān)題】34：方程思想；5B：直線與圓；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，可得原點(diǎn)到直線的

總巨離12ab_a,化簡(jiǎn)即可得出.

【解答】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，

原點(diǎn)到直線的距離,2ab飛,化為：a2=3b2.

...橢圓C的離心率號(hào)亭

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線

的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.(5分)(2017?新課標(biāo)III)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(exl+ex+1)有唯一零

點(diǎn)，則a=()

A.-J-B.1C.LD.1

232

【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；33:函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】通過(guò)轉(zhuǎn)化可知問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)y=l-3-1)2的圖象與丫=21*】+_、)

eX-1

的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求a的值.分a=0、aVO、a>0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性分析可得結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)閒(x)=x2-2x+a(exl+ex+1)=-1+(x-1)2+a?一1+_±_)

ex-1

=0,

所以函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于方程1-(X-1)2=a(eXT+，)有唯一解,

eX-1

等價(jià)于函數(shù)y=l-(x-1)2的圖象與y=a(exl+^_)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

eX-1

①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2-2x>-1,此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，矛盾；

②當(dāng)a<0時(shí)，由于y=l-(x-1)2在(-8,1)上遞增、在(1,+oo)上遞

減，

且y=a(ex-1+—5：—)在(-8,i)上遞增、在(1,+8)上遞減，

X-1

e

所以函數(shù)y=l-(x-1)2的圖象的最高點(diǎn)為A(1,1),y=a(ex-1+-l-)的圖

ex-1

象的最高點(diǎn)為B(1,2a),

由于2aV0Vl,此時(shí)函數(shù)y=l-(x-1)?的圖象與y=a的圖象有

ex-1

兩個(gè)交點(diǎn)，矛盾；

③當(dāng)a>0時(shí)，由于y=l-(x-1)2在(一8,1)上遞增、在(1,+oo)上遞

減，

且y=a(ex-1+——)在(-8,i)上遞減、在(1,+°o)上遞增，

eX-1

所以函數(shù)y=l-(x-1)2的圖象的最高點(diǎn)為A(1,1),y=a(ex-1+-l—)的圖

x-1

象的最低點(diǎn)為B(1,2a),

由題可知點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件，即2a=1,即a=L,符合條件；

2

綜上所述，a=l,

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，

考查數(shù)形結(jié)合能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分類(lèi)討論的思想，注意解題方法

的積累，屬于難題.

12.(5分)(2017?新課標(biāo)III)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C

為圓心且與BD相切的圓上.若由=入道以箴，則入+口的最大值為()

A.3B.2&C.&D.2

【考點(diǎn)】9V：向量在幾何中的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與

性質(zhì)；5A：平面向量及應(yīng)用；5B：直線與圓.

【分析】如圖：以A為原點(diǎn)，以AB,AD所在的直線為x,y軸建立如圖所示的

坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(越cosO+1,3叵in0+2),

55

根據(jù)證入標(biāo)+|i菽，求出入，山根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.

【解答】解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB,AD所在的直線為x,y軸建立如圖所

示的坐標(biāo)系，

貝ijA(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),

?.?動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，

設(shè)圓的半徑為r,

VBC=2,CD=1,

BD=d22+1

.??J-BC?CD=J-BD?r,

22

，圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=—,

5

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2&os0+l,&Lin0+2),

55

:送人曲屈，

，(^Zicos0+1,^ZLin0+2)=入(1,0)+口(0,2)=(入，2口),

55

J正cos8+l=入,-？2ZLsin0+2=2n，

55

.,.入+|i=>i2Zlxose+2Z^sine+2=sin(0+4))+2,其中tan6=2,

55

"/-lWsin(0+4))Wl,

入+眸3,

故入+R的最大值為3,

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)

點(diǎn)P的坐標(biāo)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y》0

13.（5分）（2017?新課標(biāo)III）若x,y滿足約束條件<x+y-2<0,則z=3x-4y的

y》0

最小值為-1.

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5T：不等式.

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求目標(biāo)函數(shù)

z=3x-4y的最小值.

【解答】解：由z=3x-4y,得丫=晶-三，作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域(陰影部分),

44

平移直線丫=當(dāng)-三，由平移可知當(dāng)直線丫=當(dāng)-工，

4444

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,1)時(shí)，直線y=當(dāng)-互的截距最大，此時(shí)z取得最小值，

44

將B的坐標(biāo)代入z=3x-4y=3-4=-1,

即目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y的最小值為-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)

合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法.

14.(5分)(2017?新課標(biāo)HD設(shè)等比數(shù)列｛aj滿足ai+a2=-1,ai-a3=-3,則

34=~8

【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【專(zhuān)題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,由a1+a2=-l,ai-a3=-3,可得：a[(1+q)

=-1,3i(1-q2)=-3,解出即可得出.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列⑸｝的公比為q,???a1+a2~l,a「*-3,

.*.31(1+q)=-1,3i(1-q2)=-3,

解得ai=l,q=-2.

則34=(-2)3=-8.

故答案為：-8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

x+].0

15.(5分)(2017?新課標(biāo)HI)設(shè)函數(shù)f(x)=，則滿足f(x)+f(x

(2X,x>0

-1)>1的X的取值范圍是(J^,+8).

2_4

【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值.

【專(zhuān)題】32：分類(lèi)討論；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別討論x的取值范圍，進(jìn)行求解即可.

【解答】解：若xWO,則x-Lw-L,

22

貝f(x)+f(x-上)>1等價(jià)為x+l+x-L+1>1,即2x>-L,貝I」x>_X,

2224

此時(shí)_X〈xW0,

4

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2X>1,x--1,

22

當(dāng)x-L>0即x>Ut，滿足f(x)+f(x-1)>1恒成立，

222

當(dāng)02x-->--,即_L2X>0時(shí)，f(x-—)=x--+l=x+—

2222222

此時(shí)f(x)+f(x-1)>1恒成立，

2

綜上x(chóng)>」，

4

故答案為：(」，+8).

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解，結(jié)合分段函數(shù)的不等式，利用分類(lèi)討論的

數(shù)學(xué)思想進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

16.(5分)(2017?新課標(biāo)m)a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三

角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋

轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與b成30。角；

②當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與b成60。角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最小值為60°；

其中正確的是②③.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào))

【考點(diǎn)】Ml：直線與平面所成的角.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5F：空間位置關(guān)系與距

離.

【分析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長(zhǎng)為

1的正方體，|AC|=1,|AB|=&,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變,

B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，

CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果.

【解答】解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖，

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，

故|AC|=1,AB|=&,

斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，

B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量(0,1,0),|$=1,

直線b的方向單位向量1(1,0,0),|b|=l,

設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)夕(cos&sin0,0),

其中0為Bt與CD的夾角，06[0,2兀)，

...AB，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，AB'=(cos。，sin0,-1)，1AB'k正，

設(shè)丁與Z所成夾角為ad[0,2L],

則"C，-Sinews,1,以返|sine|e[0,返],

Ia|-|ABZ|22

.,.ae[2L,2L],.?.③正確，④錯(cuò)誤.

42

設(shè)藐L與5所成夾角為pe[0,2L],

8sB=I^E_」(-cos8,sin8,0,0)工返18s01,

|AB?|-|b||b|-|ABZ|2

當(dāng)AB‘,與款角為60°時(shí)，即a=4，

3

K_V2

IsinQ=&cosa=^co

Vcos20+sin20=l,/.cosP=2￡^-|cos01=A-,

vpe[o,2L],/.p=2L,此時(shí)正7*與己的夾角為60°,

23

...②正確，①錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合

思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。（一）必考題：60分。

17.（12分）（2017?新課標(biāo)HI）Z^ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

已知sinA+-73cosA=0,a=2^/7，b=2.

（1）求c；

（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD_LAC,求aABD的面積.

【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；40：定義法；58：解三角形.

【分析】（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出A,再根據(jù)余弦定理即可求出，

（2）先根據(jù)夾角求出cosC,求出CD的長(zhǎng)，得到S/、ABD=KAABC.

2

【解答】解：（1）VsinA+V3cosA=0,

tanA=

V0<A<n,

...A①

3

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,

即28=4+c2-2X2cX(-L),

2

即C2+2C-24=0,

解得c=-6(舍去)或c=4,

故c=4.

(2)*.'c2=b2+a2-2abcosC,

16=28+4-2X2V7X2XcosC,

._2

??cosC""-

V?

.?.CD=_^_=^-V7

cosC乙

V?

...CD」BC

2

SMBC=XAB?AC?sinZBAC」X4X2X叵2代,

222

?e?SAABD=-^-SAABC=VS

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，以及解三角形的問(wèn)題，屬于

中檔題

18.(12分)(2017?新課標(biāo)III)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，

進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格

當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)

有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,

25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月

份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表:

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一

天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；32：分類(lèi)討論；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】（1）由題意知X的可能取值為200,300,500,分別求出相應(yīng)的概率，

由此能求出X的分布列.

（2）當(dāng)nW200時(shí)，Y=n（6-4）=2nW400,EYW400；當(dāng)200<nW300時(shí)，EY

^1.2X300+160=520；當(dāng)300<n^500時(shí)，n=300時(shí)，（EY）max=640-0.4X300=520；

當(dāng)n2500時(shí)，EYW1440-2X500=440.從而得到當(dāng)n=300時(shí)，EY最大值為520

元.

【解答】解:（1）由題意知X的可能取值為200,300,500,

P（X=200）=2+16,02,

90

P（X=300）=券（）.4,

P（X=500）=25+7+4=0%

90

AX的分布列為：

X200300500

p

(2)當(dāng)nW200時(shí)，Y=n(6-4)=2nW400,EYW400,

當(dāng)200<n<300時(shí)，

若x=200,則Y=200X(6-4)+(n-200)X2-4)=800-2n,

若x2300,則Y=n(6-4)=2n,

EY=p(x=200)X(800-2n)+p(x2300)X2n=0.2(800-2n)+0.8=1.2n+160,

，EYW1.2X300+160=520,

當(dāng)300VnW500時(shí)，若x=200,則Y=800-2n,

若x=300,則Y=300X(6-4)+(n-300)X(2-4)=1200-2n,

.,.當(dāng)n=300時(shí)，(EY)max=640-0.4X300=520,

若x=500,則Y=2n,

/.EY=0.2X(800-2n)+0.4(1200-2n)+0.4X2n=640-0.4n,

r800-2n,x=200

當(dāng)nN500時(shí),Y=?1200-2n,x=300,

2000-2n,x=500

EY=0.2(800-2n)+0,4(1200-2n)+0.4(2000-2n)=1440-2n,

.?.EYW1440-2X500=440.

綜上，當(dāng)n=300時(shí)，EY最大值為520元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，考查數(shù)學(xué)期望的最大值的求

法，考查函數(shù)、離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能

力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查分類(lèi)與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是

中檔題.

19.(12分)(2017?新課標(biāo)III)如圖，四面體ABCD中，4ABC是正三角形，△

ACD是直角三角形，NABD=NCBD,AB=BD.

(1)證明：平面ACD_1_平面ABC；

(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩

部分，求二面角D-AE-C的余弦值.

【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定.

【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：

空間角.

【分析】(1)如圖所示，取AC的中點(diǎn)0,連接B。，OD.AABC是等邊三角形,

可得OBLAC.由已知可得：△ABD^^CBD,AD=CD.aACD是直角三角形，可

得AC是斜邊，ZADC=90°.可得DO=17\C.禾lj用DO2+BC)2=AB2=BD2.可得OBJ_

2

0D.利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明.

(2)設(shè)點(diǎn)D,B到平面ACE的距離分別為hD，hE.則虬墮.根據(jù)平面AEC把

hEBE

四面體ABCD分成體積相等的兩部分，可得M.ME［勺=皿里J,即點(diǎn)￡是

jSAACE'hEhEBE

BD的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取AB=2.利用法向量的夾角

公式即可得出.

【解答】(1)證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)0,連接BO,0D.

「△ABC是等邊三角形，.'.OB±AC.

△ABD與4CBD中，AB=BD=BC,NABD=NCBD,

.,.△ABD^ACBD,，AD=CD.

VAACD是直角三角形，

，AC是斜邊，ZADC=90°.

/.DO=XAC.

2

.,.DO2+BO2=AB2=BD2.

，NBOD=90°.

/.OB±OD.

又DOnAC=O,...OB，平面ACD.

又OBu平面ABC,

，平面ACD_L平面ABC.

(2)解：設(shè)點(diǎn)D,B到平面ACE的距離分別為hD，hE.則星理.

hEBE

?.?平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，

星里L(fēng)

■ySAACE'hEBE

...點(diǎn)E是BD的中點(diǎn).

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取AB=2.

則0(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),B(0,如,0),

E（0,李，1）?

B（-1，0,1）,AE=（-1,孚,力

AC=(-2,0,0).

L-*f-x+z=0

則［,廿°，即V3J_

設(shè)平面ADE的法向量為最（x,y,z）,n取

|m?AE=0-X-HT5HTZ=0

n=(3,5/3，3).

同理可得：平面ACE的法向量為—（0,1,-V3）.

，炳=_

〈，mn___2V7

,cos>n>^|w||nrV21X2-V

J二面角D-AE-C的余弦值為近.

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、三棱錐的體積計(jì)算公式、向量夾角

公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.（12分）（2017?新課標(biāo)III）已知拋物線C：y2=2x,過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線I交

C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P（4,-2）,求直線I與圓M的方程.

【考點(diǎn)】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；41：向量法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】（1）方法一：分類(lèi)討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得A和B的坐標(biāo)，

由加?6畝。，則坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；當(dāng)直線I斜率存在，代入拋物線方程，利

用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的可得贏京0,則坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

方法二：設(shè)直線I的方程x=my+2,代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積

的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得贏?瓦0，則坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

(2)由題意可知：APBP=O,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得k的值，

求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則半徑r=|MPI,即可求得圓的方程.

【解答】解：方法一：證明：(1)當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，則A(2,2),B(2,

-2),

則贏=(2,2),0B=(2,-2),貝向?'65=0,

.??OA±OB.

則坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

當(dāng)直線I的斜率存在，設(shè)直線I的方程y=k(x-2),A(xi，yQ,B(x2,y2),

尸k(X-2),整理得：k2x2,(4k2+1)x+4k2=0j

ly2=2x

22

則X1X2=4,4XiX2=yiy2=(yiY2)2,由yiy2<0,

貝Uyw2=-4,

由0A?OB=XiX2+yiy2=0,

則水，而，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上，

綜上可知：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

方法二：設(shè)直線I的方程x=my+2,

xiny+2^整理得：y2-2my-4=0,A(xi，yx),B(x2,y2)?

./=2x

則丫3-4,

則(丫1丫2)2=4X1X2，則X1X2=4,則贏?65=*的+丫》2=0，

則示，而，則坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上,

，坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;

2

(2)由(1)可知：XIX2=4,X]+x?=4k[2yiV2="4,

圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),則(4-Xi，-2-yi),BP=(4-x2,-2-y2),

由靠?酢0，貝|J(4-X1)(4-x2)+(-2-yi)(-2-y2