正弦定理和余弦定理（知識點串講）（ 含答案解析 ）高一數(shù)學(xué) 下冊期末考點高效突破 （人教A版）

正弦定理和余弦定理一、正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考點1：利用正弦定理解三角形例1．(2019·遼寧沈陽模擬)已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，則b＝()A．2 B．1C．eq\r(3) D．eq\r(2)【答案】D[由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2).]練習(xí)1．(2019·山東煙臺模擬)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asinB＝eq\r(3)b，則角A＝________.【答案】eq\f(π,3)[∵2asinB＝eq\r(3)b，∴2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，得sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝eq\f(π,3)或A＝eq\f(2π,3)，∵△ABC為銳角三角形，∴A＝eq\f(π,3).]利用正弦定理可解決兩類問題基本類型一般解法已知兩角及其中一角的對邊，如A，B，a①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)及eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，求出邊b，c.已知兩邊及其中一邊所對的角，如a，b，A①根據(jù)正弦定理，經(jīng)討論求B；②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；③再根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，求出邊c.考點2：利用余弦定理解三角形例2．(2019·山東濟南期中)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，則cosC＝()A．eq\f(\r(2),4) B．－eq\f(\r(2),4)C．eq\f(3,4) D．－eq\f(3,4)【答案】B[由題意得，b2＝ac＝2a2，即b＝eq\r(2)a，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋2a2－4a2,2a×\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),4).]練習(xí)2．(2017·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________.【答案】eq\f(π,3)[方法一由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2).∴B＝eq\f(π,3).方法二∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝eq\f(1,2).又0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).]利用余弦定理可解決兩類問題已知兩邊和它們的夾角，如a，b，C①根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，求出邊c；②根據(jù)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，求出A；③根據(jù)B＝180°－(A＋C)，求出B.已知三邊可以連續(xù)用余弦定理求出兩角，常常是分別求較小兩邊所對的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三個角；由余弦定理求出一個角后，也可以根據(jù)正弦定理求出第二個角，但仍然是先求較小邊所對的角.考點3：判斷三角形的形狀例3、設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B[由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A．∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC為直角三角形．][變式探究1]本題1中，若將條件變?yōu)?sinAcosB＝sinC，判斷△ABC的形狀．解∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B為△ABC的內(nèi)角．∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形．[變式探究2]本題1中，若將條件變?yōu)閍2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判斷△ABC的形狀．解∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC為等邊三角形．判定三角形形狀的2種常用途徑二、三角形中常用的面積公式1.三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．2.在△ABC中常用結(jié)論(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大邊對大角，大角對大邊．(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(5)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(6)∠A>∠B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.(7)合比定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R.(8)在銳角三角形中①A＋B＞eq\f(π,2)；②若A＝eq\f(π,3)，則eq\f(π,6)＜B，C＜eq\f(π,2).考點4求三角形的面積例4、(2017·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．解(1)由已知可得tanA＝－eq\r(3)，所以A＝eq\f(2π,3).在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccoseq\f(2π,3)，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由題設(shè)可得∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6).故△ABD面積與△ACD面積的比值為eq\f(\f(1,2)AB·AD·sin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.又△ABC的面積為eq\f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq\r(3)，所以△ABD的面積為eq\r(3).練習(xí)4、(2018·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________.【答案】eq\f(2\r(3),3)[∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC>0，∴sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)>0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).]考點5求解幾何計算問題例5、如圖，在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，BC＝2，點D在邊AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E為垂足．(1)若△BCD的面積為eq\f(\r(3),3)，求AB的長；(2)若DE＝eq\f(\r(6),2)，求角A的大?。?1)∵△BCD的面積為eq\f(\r(3),3)，B＝eq\f(π,3)，BC＝2，∴eq\f(1,2)×2×BD×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),3)，∴BD＝eq\f(2,3).在△BCD中，由余弦定理可得CD＝eq\r(BC2＋BD2－2BC·BD·cosB)＝eq\r(4＋\f(4,9)－2×2×\f(2,3)×\f(1,2))＝eq\f(2\r(7),3).∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝eq\f(2\r(7),3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(2\r(7)＋2,3).(2)∵DE＝eq\f(\r(6),2)，∴CD＝AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(\r(6),2sinA).在△BCD中，由正弦定理可得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sinB).∵∠BDC＝2∠A，∴eq\f(2,sin2A)＝eq\f(\r(6),2sinAsin\f(π,3))，∴cosA＝eq\f(\r(2),2).∴A＝eq\f(π,4).練習(xí)5、(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7).(1)求∠A；(2)求AC邊上的高．解(1)在△ABC中，因為cosB＝－eq\f(1,7)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7).由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2).由題設(shè)知eq\f(π,2)<∠B<π，所以0<∠A<eq\f(π,2).所以∠A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，因為sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3\r(3),14)，所以AC邊上的高為asinC＝7×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),2).考點6三角函數(shù)求值問題例6、(2018·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).(1)求角B的大??；(2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，得asinB＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，即sinB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，所以tanB＝eq\r(3).又因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得sinA＝eq\f(\r(3),\r(7)).因為a<c，所以cosA＝eq\f(2,\r(7)).因此sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4\r(3),7)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,7).所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).考點7解三角形綜合問題例7、(2018·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2eq\r(2)，求BC.解(1)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠A)＝eq\f(AB,sin∠ADB)即eq\f(5,