示范教案(2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義)

2.2平面量線運(yùn)三目通經(jīng)歷向量加法的探究,掌向量加法概念合物理學(xué)實(shí)際理解向量加法的意義能練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,能作出已知兩向量的和向在應(yīng)用動(dòng)中,理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和,比如共線向量、起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量.通本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)事物之間的相互轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用.培學(xué)生類(lèi)比、遷移、分類(lèi)、歸納等能重難教學(xué)重點(diǎn)向量加法的運(yùn)算及其何意教學(xué)難點(diǎn)對(duì)向量加法法則定義理教過(guò)導(dǎo)新思1.(習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié),們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念,確了向量的表示方,解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念并觸了這些概念的辨析判斷.外,量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進(jìn)行加減運(yùn)這一節(jié),我們先學(xué)習(xí)向量的加.思2.(問(wèn)導(dǎo))年陸和臺(tái)灣沒(méi)有直,此春節(jié)探親,先從臺(tái)北到香再?gòu)南愀鄣缴虾?這兩次位移之和是什么樣列出數(shù)學(xué)式子？一位同學(xué)按以下的命令進(jìn)行活:北走20米,再向西走15米,再向東走5米最后向南走10米怎樣計(jì)算他所在的位置此導(dǎo)入新課.推新新探提問(wèn)①數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？類(lèi)比數(shù)的加,猜想向量的加法應(yīng)怎樣定義向量的加法？②猜想向量加法的法則是什?與的運(yùn)算法則有什么不同?圖活:量是既有大小、又有方向的教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中位移的概,位移可以合成,圖某象從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到點(diǎn)兩次位移BC的結(jié),與A點(diǎn)直接到點(diǎn)的位移結(jié)相力也可以合成老師引導(dǎo)讓學(xué)生共同探究如下的問(wèn):圖表示橡皮條在兩個(gè)力的作用,沿著的向伸長(zhǎng)了；圖2(2)示撤去F

1和F用一個(gè)力F作用在橡皮條上,使皮條沿著相同的方向伸長(zhǎng)相同長(zhǎng).2改變力F與F的小和方向,復(fù)以上的實(shí)驗(yàn),你能發(fā)現(xiàn)F與之的關(guān)系嗎12力F對(duì)皮條產(chǎn)生的效果與力F與F共作用產(chǎn)生的效果相,理學(xué)中把力F叫F與1F的力2合力與、有樣的關(guān)系呢由發(fā)現(xiàn)力F在以F、為邊的平行四邊122形的對(duì)角線上并且大小等于平四邊形對(duì)角線的.數(shù)的加法啟發(fā)我從運(yùn)算的角度看F以認(rèn)為是F與F的即位移、力的合成看作向量12的加法

圖2

討結(jié):向量加法的定:如圖3,知非零向量a,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作

AB

=

=,向量

叫做與b的和,記作+b即+=

AB

+

=

圖求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.②向量加法的法:向量加法的角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注“首尾相”即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起,則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終的向量即為和向.0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模向量加法的平行四邊形法則圖如圖4,以同一點(diǎn)O為點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、鄰邊作平行四邊,以為起點(diǎn)的對(duì)角線

OC

就是b的和.我們把這種作兩向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法力的合成可以看作向量加法的物理模.提問(wèn)①對(duì)于零向量與任一向量的加結(jié)果又是怎樣的呢？②兩共線向量求和時(shí),用三角形法則較為合.在數(shù)軸上表示兩個(gè)向量,它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)？③思考+a存著怎樣的關(guān)系？④數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系,算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.類(lèi)似地向的加法是否也有運(yùn)算律?活觀實(shí)際例子,教師啟發(fā)學(xué)生思考,并時(shí)點(diǎn)撥,誘,探向量的加法在特殊情況下的運(yùn)算,線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系.數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合即對(duì)任意∈,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任向量a,b的法是否也滿足交換律和結(jié)合?引學(xué)生畫(huà)圖進(jìn)行探討結(jié):對(duì)于零向量與任一向量我們規(guī)定a=a=a.②兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)在軸上的兩個(gè)向量加它們的和仍是一個(gè)向量,對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線.③當(dāng)b不線,+b|<|b|(三角形兩邊之和大于第三邊;當(dāng)b共線且方向相同時(shí)a|+|b|;當(dāng)ab共且方向相反|aab|(或b|-|其中當(dāng)向量a的度大于向量的長(zhǎng)度時(shí)+b|=|a|-|b當(dāng)量a的度小于向量的長(zhǎng)度,a|=||.一般地我們+bab④如圖5,作

AB

=a,

AD

=b以ABAD為鄰邊作

則

=

.因?yàn)?/p>

=

AB

+

AD

=+,

=

AD

+

=所以abb

如圖6,因?yàn)?/p>

AD

=

+

=(

AB

+

)+

=(a+)+,AD

==

AB

+

BD

=

AB

+(

+

)=+(+c所a+bc=a+(+).綜上所述向量的加法滿足交換律和結(jié)合.圖5

圖應(yīng)示思1例如7,知向量、b,作向量a+b活教師引導(dǎo)學(xué)生,學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.在向加法的作圖中,生體會(huì)作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O的依據(jù)—它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的意.在向量作圖,一般都需要進(jìn)行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量的起放在一,用三角形法則作圖則要求首尾相圖

圖

圖解作法一:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)如圖8),

=a,

AB

=則

OB

=+b作法二:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖作OA=b以O(shè)A、OB為邊作變訓(xùn)

連則OC=ab.化簡(jiǎn):

+

AB

;(2)

DB

+

+

;(3)

AB

+

+

+

+

活:據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相再運(yùn)用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順,后相解

+

AB

=

AB

+

=

++BC=BC+CDDB=(BC+CDBDDB=.

AB

+

+

+

AB

+

+

+

+

FA=

+

+

+

FA

=

AD

+

+

FA

=

+

FA

=0.點(diǎn):善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來(lái)求和向例長(zhǎng)兩之間沒(méi)有大橋的地常常通過(guò)輪渡進(jìn)行運(yùn).圖所示一艘船從長(zhǎng)江南岸A出發(fā),km/h速度向垂直于對(duì)岸的方向行,時(shí)江水的速度為向東km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速及船實(shí)際航行的速保留兩有效數(shù))(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與(用與江水速度間的夾角表,確到度

圖

圖11活本例結(jié)合一個(gè)實(shí)際問(wèn)題說(shuō)明向量加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用這的問(wèn)題在物理中已有涉及這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運(yùn)算體會(huì)其中應(yīng)解決的問(wèn)題是向量模的大小及向量的方向與某一方向所成角的大小引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生正確理解題意,將實(shí)際問(wèn)題反映在向量作圖從而與初中學(xué)過(guò)的解直角三角形建立聯(lián).解如圖所,

AD

表示船速,

AB

表示水速以AD、AB鄰邊作

則

表示船實(shí)際航行的速(2)在△ABC中,

AB|=5,所以

|=|AB

2|2

2

2

29

≈5.4.因?yàn)閠anCAB=

292

由計(jì)算器得CAB=70°.答船實(shí)際航行速度的大小約為方向與水的流速間的夾角為點(diǎn):向量法解決物理問(wèn)題的步驟先用向量表示物理量,再進(jìn)行向量運(yùn)算,最后回扣物理問(wèn)題,解決問(wèn)變訓(xùn)用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊.圖12活本是一道平面幾何題如用純幾何的方法去思考題不難解決,如用向量法來(lái)解,不思路清晰且運(yùn)算簡(jiǎn)單將互相平分利用向量表達(dá)以為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問(wèn)并在解完后總結(jié)路方.證:如圖設(shè)邊形對(duì)角線AC、BD相于點(diǎn)O,

AB

=

+

OB

=

DO

+

OC

AC與BD互平,=,=DO,AB=,因此

AB

∥

且

AB

|,即四邊形ABCD是行邊.點(diǎn)證一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí),需證明=DC

或

AD

=

即可而要證明一個(gè)四邊形是梯需證明ABDC共線且

AB|≠|(zhì)DC思2例如13,O為六邊形ABCDEF中心作出下列向:

+

OC

;(2)

+

;(3)

+

活教師導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則(三形法則)作出應(yīng)的向量.師一定要讓學(xué)生親自動(dòng)手操作對(duì)思路不清的學(xué)生教師適時(shí)地給予點(diǎn)撥指.圖13解(1)因四邊形OABC是OA、鄰邊的平行四邊OB是對(duì)角線,故

OA

+

OC

=

OB

(2)因=故+與BC方向同長(zhǎng)度為的度的,故

+

=

AD

(3)因

OD,故OA+=OA+OD=0.點(diǎn):量的運(yùn)算結(jié)合平面幾何知,長(zhǎng)度和方向兩個(gè)方面做文章應(yīng)深刻理解向量的加、減法的幾何意義.例在江某渡口江水以12.5km/h的度向東流渡船的速度是km/h,渡要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)其航向應(yīng)如何確定？活如圖渡的實(shí)際速度AC、速與速AB應(yīng)滿足

AB

+

AD

=

圖14解設(shè)

AB

表示水流速,

AD

表示渡船的速度,

表示渡船實(shí)際垂直過(guò)江的速以為一,AC為對(duì)角線作平行四邊形

AD

就是船的速.在eq\o\ac(△,Rt)ACD中∠ACD=90°,|ABAD∠答渡船的航向?yàn)楸逼鼽c(diǎn):根據(jù)題意畫(huà)出草,是解決問(wèn)題的關(guān).變訓(xùn)已知O是邊形ABCD內(nèi)點(diǎn)若

OA

+

OB

+

OC

+

OD

=0則邊形ABCD怎樣的四邊點(diǎn)是邊形的什么

點(diǎn)活:判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關(guān)如平行、相等等;而要判斷點(diǎn)O該四邊形的什么就必須找到該點(diǎn)與四邊形的邊或?qū)蔷€的關(guān).圖15解如圖15設(shè)點(diǎn)O是一四邊形ABCD內(nèi)一且

OA

+

OB

+

OC

+

OD

=0,A作AE連結(jié)ED,則四邊形AEDO為行四邊,設(shè)OEAD的點(diǎn)為M,過(guò)BBFOC,則四邊形為行邊形,設(shè)BC的交點(diǎn)為N,于是M、分是AD、BC的中點(diǎn)∵

OA

+

OB

+

OC

+

OD

OA

+

OD

=

OA

+

AE

=

OE

OB

+

OC

=

OB

+

BF

=

∴

OE

+

=0,即與OF的度相,方向相∴MON三共,即點(diǎn)在與BC的點(diǎn)連線上.同理,點(diǎn)O也與DC的中點(diǎn)連線.∴點(diǎn)是邊形ABCD對(duì)中點(diǎn)連的交且該四邊形可以是任意四知訓(xùn)課本本節(jié)練習(xí).解直接在教科書(shū)上據(jù)原圖作此處從略)直接在科書(shū)上據(jù)原