廣東省惠州正光實驗學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年度惠州正光實驗學(xué)校高三期末考試數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出分式不等式的解集及的定義域，根據(jù)集合的交集運算求.【詳解】，因此．故選：C．2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】B【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)判斷所在象限即可.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，對應(yīng)象限為第二象限.故選:B3.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】若直線y=a2x+1與直線y=x﹣1平行，則a2=1，解得a=1或a=﹣1．經(jīng)檢驗成立所以“a=1”是“直線y=a2x+1與直線y=x﹣1平行”的充分不必要條件．故選A．4.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分析函數(shù)的奇偶性以及當(dāng)時，的符號，據(jù)此分析選項即可得答案．【詳解】函數(shù)的定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱故排除C，D，當(dāng)時，，故排除A，故選：B．5.若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合二倍角的正弦公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】由可得，故.故選：B6.如圖，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（）A.23條 B.24條 C.25條 D.26條【答案】D【解析】【分析】先假設(shè)是實線，計算出所有的最短路徑的條數(shù)，然后減去經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，從而求得正確答案.【詳解】先假設(shè)是實線，則從到，向上次，向右次，最短路徑有條，其中經(jīng)過的，即先從到，然后到，最后到的最短路徑有條，所以，當(dāng)不通時，最短路徑有條.故選：D7.《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，其中有如下記載：將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.現(xiàn)有如圖所示的直徑長為2的膠泥球胚，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)需在此膠泥球胚中切割出底面為正方形，且垂直于底面的側(cè)棱與底面正方形邊長相等的陽馬模型的幾何體（實物體），若要使該陽馬體積最大，則應(yīng)削去的膠泥的體積大約為（）（）A.2.8 B.3.2 C.3.5 D.4.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)陽馬的定義，可借助截出陽馬的正方體來求解體積，要使陽馬體積最大，則原正方體的體積應(yīng)該最大，即球的內(nèi)接正方體，此時體對角線的長等于球的直徑.【詳解】如圖正方體中，四棱錐即陽馬.設(shè)正方體邊長為，體積為，顯然，所以，當(dāng)該正方體體積最大時，該陽馬體積最大.在球的內(nèi)部，任意構(gòu)造一個正方體，顯然球的內(nèi)接正方體體積最大，應(yīng)有正方體的對角線等于球的直徑，即.又，所以，則，則，所以.又球的體積為，所以，應(yīng)削去的膠泥的體積為.故選：C.8.設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可得直線分別過定點和且垂直，可得設(shè)，則，,,則，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求值域．【詳解】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過定點，時，動直線和動直線的斜率之積為，始終垂直，時，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，故選:D．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是（）A.設(shè)有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加2個單位B.若的二項展開式共有9項，則該展開式中各項二項式系數(shù)之和為256C.10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為D.已知一組數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8【答案】ABD【解析】【分析】選項A明顯正確，選項B由二項展開式共有9項確定的值，即可求出各項二項式系數(shù)之和，選項C根據(jù)題意利用公式算概率即可，選項D先求出新數(shù)據(jù)的方差，再求標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】變量增加1個單位時，，故平均增加2個單位，正確，故A正確；由于的二項展開式共有9項，故，故各項二項式系數(shù)之和為，故B正確；對于選項C，恰好取到1件次品的概率為，故C錯誤；一組數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的方差為，故標(biāo)準(zhǔn)差為8，故選項D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期是πB.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象D.若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的知識逐一判斷即可.【詳解】因為函數(shù)，所以的最小正周期是，故A正確；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故B錯誤；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故C錯誤；當(dāng)時，所以若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是，故D正確故選：AD11.已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)動圓C與圓A和直線l都相切，分圓C與圓A相外切和圓C與圓A相內(nèi)切，分別取到A的距離為d+1，d-1，且平行于l的直線，，利用拋物線的定義求解.【詳解】解：動圓C與圓A和直線l都相切，當(dāng)圓C與圓A相外切時，取到A的距離為d+1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線；當(dāng)圓C與圓A相內(nèi)切時，取到A的距離為d-1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線；所以，當(dāng)時，拋物線不完整，所以，，，，故選：ABD12.設(shè)數(shù)列的前項和為，若存在實數(shù)，使得對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．則以下數(shù)列為“數(shù)列”的是（）A.是等差數(shù)列，且，公差B.是等比數(shù)列，且公比滿足C.D.，【答案】BC【解析】【分析】求出數(shù)列的前項和，然后判斷對，有無正實數(shù)，使得成立.【詳解】A中，若是等差數(shù)列，，公差，則，是關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)時，，對于任意的，不存在實數(shù)，使得恒成立，所以數(shù)列不是“數(shù)列”．B中，若是等比數(shù)列，且公比滿足，則，所以數(shù)列是“數(shù)列”．C中，，所以，則數(shù)列是“數(shù)列”．D中，在數(shù)列中，，，當(dāng)是奇數(shù)時，，數(shù)列中奇數(shù)項構(gòu)成常數(shù)列，且各項均為1；當(dāng)是偶數(shù)時，，即任意兩個連續(xù)偶數(shù)項和為0，則對于任意的，，不存在實數(shù)，使得恒成立．所以數(shù)列不是“數(shù)列”．故選：BC．三、填空題（本大題共2小題，共10.0分）13.已知平面向量，滿足，，，則，的夾角為________.【答案】【解析】【分析】由向量數(shù)量積運算律展開化簡，再根據(jù)向量，模，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義，即可求得，夾角的余弦值，進而求得，的夾角.【詳解】由得，設(shè)，的夾角為，因為，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，則，又因為，所以.故答案為：.14.函數(shù)的圖像恒過定點，若，則的最小值________.【答案】8【解析】【分析】首先求定點，再利用“1”的變換，利用基本不等式求最小值.【詳解】函數(shù)，所以函數(shù)恒過點,即，即，則，當(dāng)時，即時，等號成立，的最小值為，此時，解得，故答案為：15.已知分別是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，若，則雙曲線C的離心率的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理可得，再結(jié)合雙曲線的定義和“三角形的兩邊之和大于第三邊”，即可得解.【詳解】在中，，由正弦定理得，，又點P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，所以，所以，在中，由，得，即，所以，又，所以，故答案為：16.已知，，且不等式成立，則___________.【答案】【解析】【分析】將不等式整理為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，根據(jù)可確定，，由此可得結(jié)果.【詳解】由得：，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；，，又，，，，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題，解題關(guān)鍵是采用構(gòu)造函數(shù)的方式，令，將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，通過對于最值的求解確定自變量的取值.四、解答題（本大題共6小題，共72.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，．（1）求；（2）若，求BC．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理，結(jié)合已知，即可求得；（2）在中，應(yīng)用余弦定理，即可求得.【詳解】（1）中，由正弦定理可得：即，解得．因為，所以，所以．（2）由（1）知，所以，在中，由余弦定理可得：．因為BC的長度為正數(shù)，所以．【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的直接應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.18已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明為常數(shù)，即可得到答案；（2）求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法求和；【詳解】（1），為等差數(shù)列；（2），，，，①，②①②得：，19.如圖，是以為直徑的圓上異于的點，平面平面，，，分別是的中點，記平面與平面的交線為直線.（1）求證：直線平面；（2）直線上是否存在點，使直線分別與平面，直線所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）證明，可得面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得面，即可得證；（2）取中點，連接，，說明，，兩兩垂直，分別以線段，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可得出答案.【小問1詳解】證明：∵，分別是，的中點，∴，又平面，面，∴面，又面，面面，∴，又，面面，面面，∴面，則面；【小問2詳解】解：取中點，連接，∵，∴，∵平面平面，平面平面，又∵平面，∴平面，又∵是以為直徑的圓上異于A，的點，∴，∵點，分別是，中點，連接，則，分別以線段，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則，取，得，，，依題意，得，即，解得，即，∴，∴直線上存在點，使直線分別與平面、直線所成的角互余，且．20.在2022年卡塔爾世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽十二強賽中，中國男足以1勝3平6負進9球失19球的成績慘敗出局．甲、乙足球愛好者決定加強訓(xùn)練提高球技，兩人輪流進行定位球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進球另一人不進球，進球者得1分，不進球者得分；兩人都進球或都不進球，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）若經(jīng)過n輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）記一輪踢球，甲進球為事件A，乙進球為事件B，求出，，求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）可直接在第一問的基礎(chǔ)上直接得到，分三種情況，進行求解，分析得到經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況，進行求解.【小問1詳解】記一輪踢球，甲進球為事件A，乙進球為事件B，A，B相互獨立，由題意得：，，甲的得分X的可能取值為-1,0,1，，所以X的分布列為：X-101P.【小問2詳解】由（1）得：，經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得-1分.所以21.已知橢圓，過點．（1）求C的方程；（2）若不過點的直線l與C交于M，N兩點，且滿足，試探究：l是否過定點，若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）直線過定點【解析】【分析】（1）將代入橢圓方程求；（2）由可得，設(shè)直線l方程為，將韋達定理代入求得，從而知l恒過定點.【小問1詳解】由題意，，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】因為，兩邊平方，化簡整理得，易知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，其中．由，得，，設(shè)，則，所以，所以，即，因為，所以，所以，得，解得，滿足，所以直線l的方程為：，即直線過定點【點睛】過橢圓上一定點,作兩條直線分別與橢圓交于A,B兩點,且兩直線斜率之積為,則(1)當(dāng)時,直線恒過一個定點,且定點為.(2)當(dāng)時,直線AB的斜率為定值.22.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）任取兩個正數(shù)，當(dāng)時，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出定義域以及導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)進行討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負取值情況得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，運用分析法將需要證明成立的不等式轉(zhuǎn)化，再利用換元法寫出表達式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單