2022-2023學(xué)年湖南省婁底市星臺(tái)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省婁底市星臺(tái)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是等腰直角三角形的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】總的事件數(shù)是C83，而從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)頂點(diǎn)可形成的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)按所選取的三個(gè)頂點(diǎn)是只能是來(lái)自于該正方體的同一個(gè)面．根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各個(gè)面上，在每一個(gè)面上能組成等腰直角三角形的有四個(gè)，所以共有4×6=24個(gè)，而在8個(gè)點(diǎn)中選3個(gè)點(diǎn)的有C83=56，所以所求概率為=故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)古典概型問題，學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題．2.已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，且曲線y=3x﹣x3的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c），則a+d等于(

)A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】先求導(dǎo)數(shù)，得到極大值點(diǎn)，從而求得b，c，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解．【解答】解：∵曲線y=3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，令3﹣3x2=0，則x=±1，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是極大值點(diǎn)．極大值為2．∴b=1，c=2，b+c=3．又∵實(shí)數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a+d=b+c=3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)極值點(diǎn)及數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．3.設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若∥，且則；

②若∥，且∥.則∥；

③若，則∥m∥n；④若且n∥,則∥m.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B①正確；②中當(dāng)直線時(shí)，不成立；③中，還有可能相交一點(diǎn)，不成立；④正確，所以正確的有2個(gè)，選B.4.已知全集U=R，集合A={x|lg（x+1）≤0}，B={x|3x≤1}，則u（AlB）=

（

）

A．（,0）（0,+）

B．（0,+∞）

C．（-∞，-1]（0，+∞）

D．（-1,+∞）參考答案：C略5.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（﹣1，1）的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值（）附“若X～N（μ，a2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413參考答案：B【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義，可以求出陰影部分的面積，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正態(tài)分布的圖象如下圖：正態(tài)分布N（﹣1，1）則在（0，1）的概率如上圖陰影部分，其概率為×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即陰影部分的面積為0.1359；所以點(diǎn)落入圖中陰影部分的概率為p==0.1359；投入10000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)期望為10000×0.1359=1359．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量μ和σ的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．6. 一個(gè)棱錐的三視圖如右圖所示，則它的體積為(

)A．

B．1

C．

D．

參考答案：7.已知,則下列不等式中總成立的是

A B

C.

D

參考答案：A略8.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：

①“”是“”充要條件；

②“是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件；

③“”是“”的充分條件；

④“”是“”的必要條件.

其中真命題的個(gè)數(shù)是(

).

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B9.某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的半圓錐，代入錐體體積公式，可得答案．【解答】解：根據(jù)已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的半圓錐，其底面面積S=π，高h(yuǎn)==，故體積V==，故選：C．10.已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)的最大值是

.

參考答案：略12.若復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則|z|=

．參考答案：；

13.若滿足約束條件則的最小值為______________．參考答案：0略14.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=1-2n,其前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{}的11項(xiàng)和為_____.參考答案：-66.15.若，則__________．參考答案：16.公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9和等比中項(xiàng)，則a5=．參考答案：13【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，由a1+a3=8，且a4為a2和a9和等比中項(xiàng)，可得2a1+2d=8，，聯(lián)立解出即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4為a2和a9和等比中項(xiàng)，∴2a1+2d=8，，解得a1=1，d=3．則a5=1+3×4=13．故答案為：13．17.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，則的值為_________.

參考答案：1或–1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：令t=2，由x1，則t∈（0，2，則原函數(shù)y=t-2t+2=（t-1）+1∈[1，2]，即D=[1，2]，由題意：f（x）=x2+kx+54x，法1：則x2+（k-4）x+50當(dāng)x∈D時(shí)恒成立

∴

k-2。法2：則在時(shí)恒成立，故19.（本小題滿分15分）已知拋物線上一個(gè)縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．(Ⅰ)求拋物線的方程；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，過作直線分別交拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)，直線的斜率分別為，且．寫出線段的長(zhǎng)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求四邊形面積的最小值．參考答案：(Ⅰ)．………5分(Ⅱ)，與拋物線聯(lián)立可得，，，.……………10分設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，．，．．同理可得，．

……………12分

設(shè)，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．

四邊形面積的最小值為．

……………15分20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且a，b，c成等比數(shù)列.是橢圓上一點(diǎn)，設(shè)該橢圓的離心率為e.（Ⅰ）求e；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若點(diǎn)P不與橢圓頂點(diǎn)重合，作軸于M，的平分線交x軸于，試求的值.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由，，成等比數(shù)列，所以解出（Ⅱ）把點(diǎn)代入橢圓即可得（Ⅲ）由題意可得點(diǎn)，所以.因?yàn)闉榈钠椒志€，即，所以，所以。即可得【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以.解得.又因?yàn)?，所?（Ⅱ）因?yàn)樵跈E圓上，所以.所以.因?yàn)?，所以，所?（Ⅲ）由題意可得點(diǎn)，所以.因?yàn)闉榈钠椒志€，所以有，即.所以，所以.故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率、橢圓第二定義、橢圓第二定義的應(yīng)用，橢圓是高考中?？嫉念}，計(jì)算量比較大，在計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)。21.(本題滿分12分)設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（Ⅰ）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，由得單增區(qū)間為：；【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12

由得單減區(qū)間為：、（Ⅱ）（0,3）（Ⅰ）∵

∴由題意得：，即，∴且令得，∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)∴，即故與的關(guān)系式（1）當(dāng)時(shí)，，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：、；（2）當(dāng)時(shí)，，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：、；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，在上的值域是，又g（x）=（a2+）ex，在x∈[0，4]上單調(diào)遞增，

∴g（x）在x∈[0，4]上的值域?yàn)閇a2+，(a2+)e4]．由于(a2+)-(a+6)=(a-)2≥0，

∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，

必需，解得0＜a＜3．∴a的取值范圍是（0，3）．【思路點(diǎn)撥】（I）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可得出a與b的關(guān)系，對(duì)a分類討論即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（II）利用單調(diào)性分別求出函數(shù)f（x），g（x）的值域，f（x）在[0，4]上的值域?yàn)閇-2（a+3）e3，a+6]．g（x）在x∈[0，4]上的值域?yàn)閇a2+，(a2+)e4]．由于(a2+)-(a+6)=(a-)2≥0。若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，

必需，解得0＜a＜3．∴a的取值范圍是（0，3）．22.如圖,中，，,（1）求證：平面EPB平面PBA；（2）求二面角的平面角正切值的大?。畢⒖即鸢福航猓海?），又，,又，面PAB，面PAB，

4分（2