名師教案 人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊9.1.1 正弦定理

9.1.1正弦定理（2）正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同時它的推導(dǎo)過程也為余弦定理的推導(dǎo)設(shè)下伏筆，因此它具有承上啟下的重要地位，并且它還是解決實(shí)際生活中與三角形有關(guān)的問題的有力工具。本節(jié)課是正弦定理的第二課時，在第一課時掌握了三角形面積公式、正弦定理的推導(dǎo)過程和簡單應(yīng)用的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究正弦定理的推論和變形及應(yīng)用，過程中進(jìn)一步滲透直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).考點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)正弦定理的推論和變形掌握正弦定理的推論和變形，以及在解三角形和實(shí)際問題中進(jìn)行簡單應(yīng)用.直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算【教學(xué)重點(diǎn)】正弦定理的推論和變形的推導(dǎo)、應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】正弦定理的推論和變形在解三角形和實(shí)際問題中的應(yīng)用問題1：正弦定理的外接圓證法如圖，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圓，O為圓心，連接BO并延長交圓于B′設(shè)BB′＝2R，則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sinC＝sinB′＝eq\f(c,2R)∴eq\f(c,sinC)＝2R同理可得eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R因此得到正弦定理的推論：設(shè)R是△ABC外接圓的半徑，則eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.例1.在△ABC中，a＝5，B＝135°，C＝15°，則此三角形的最大邊長為________，外接圓半徑為________.【答案】5eq\r(2)5【解析】因?yàn)锽為鈍角，所以B為最大角，b為最大邊．由三角形內(nèi)角和定理得A＝180°－135°－15°＝30°，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(5×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝5eq\r(2).由2R＝eq\f(a,sinA)＝10，得R＝5.問題2：正弦定理的變形及其應(yīng)用正弦定理的變形(R是△ABC外接圓的半徑)：(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C.例2.△ABC中，，求證△ABC為直角三角形證明：設(shè)，則，且又因?yàn)椋约?，由勾股定理即得證.【解題方法】1．判斷三角形形狀時，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，要么把角轉(zhuǎn)化為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，要么把邊轉(zhuǎn)化為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系，當(dāng)然也可以邊角同時考慮．2．在解題中，若出現(xiàn)關(guān)于邊的齊次式(方程)，或關(guān)于角的正弦的齊次式(方程)可通過正弦定理，進(jìn)行邊角互化．【變式練習(xí)】1.在△ABC中，若試判斷△ABC的形狀.【解】令＝ｋ，由正弦定理，得代入已知條件，得＝＝，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．又Ａ，Ｂ，Ｃ∈（０，π），所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，從而△ＡＢＣ為正三角形．2.在△ABC中，設(shè)，求的值?！窘狻坑烧叶ɡ淼茫河郑?。3.在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，試判斷△ABC的形狀.【解】由已知eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)及正弦定理得eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA)∴sin2A=sin2B∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，故△ABC為等腰三角形或直角三角形.例3.在銳角三角形ABC中，A=2B，、、所對的角分別為A、B、C，試求的范圍。【解】在銳角三角形ABC中，A、B、C<900，即：，由正弦定理知：，故所求的范圍是：?！窘忸}方法】利用正弦定理將邊化為角或者將角化為邊處理，這是正弦定理的一種重要作用，也是處理三角形問題的重要手段．正弦定理的變形有多種形式，要根據(jù)題目選擇合適的變形進(jìn)行使用，將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項式的有關(guān)知識(分解因式、配方等)得到邊的約束關(guān)系．利用的公式為：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(2)化邊為角．將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識內(nèi)角的約束關(guān)系，利用的公式為：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．【變式練習(xí)】1.已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=,A+C=2B,則sinC=解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，，即．由知，，則，2.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且，則______.【答案】【解析】由正弦定理得，又，所以，所以，因?yàn)椋?故答案為：.3.已知在銳角中，角，，C所對邊的長分別為a，b，c，.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由及正弦定理得：，∴，又∵，∴.（2），∴.又∵為銳角三角形，∴，即，∴.例4.在中，是的平分線，用正弦定理證明：．證明：設(shè)，，則，．在和中分別運(yùn)用正弦定理，得，，又，所以，即．【解題方法】利用正弦定理研究三角形或者四邊形中的邊角問題時，應(yīng)該先確定需要研究的邊或者角，在哪個三角形中研究，再利用正弦定理，轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系，得到等量關(guān)系求解.【變式練習(xí)】如圖，在平面四邊形中，已知，．設(shè)，，若，，求面積的最大值．【答案】.【解析】在中，由，可得即，所以或，即或，.因?yàn)?，故或，因?yàn)樗曰?，所以是等邊三角形或直角三角?設(shè)，在中，由正弦定理可得，故即.當(dāng)是等邊三角形時，；當(dāng)是直角三角形時，；因?yàn)?，所以?dāng)時，取得最大值1，因?yàn)?，所以面積的最大值為小結(jié)：1．正弦定理的推論：設(shè)R是△ABC外接圓的半徑，則eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.2．正