壓彎構(gòu)件穩(wěn)的失穩(wěn)

第三章壓彎構(gòu)件的失穩(wěn)軸力偏心作用的構(gòu)件或同時受軸力和橫向荷載作用的構(gòu)件稱為壓彎構(gòu)件。由于壓彎構(gòu)件兼有受壓和受彎的功能，又普遍出現(xiàn)在框架結(jié)構(gòu)中，因此又稱為梁柱。鋼結(jié)構(gòu)中的壓彎構(gòu)件多數(shù)是截面至少有一個對稱軸，且偏心彎矩作用在對稱平面的單向偏心情況。對單向偏心的壓彎構(gòu)件，有可能在彎矩平面內(nèi)失穩(wěn)，即發(fā)生彎曲失穩(wěn)；也有可能在彎矩作用平面外失穩(wěn)，即彎扭失穩(wěn)。其彎曲失穩(wěn)為第二類穩(wěn)定問題，即極值點失穩(wěn)；其彎扭失穩(wěn)對理想的無缺陷的壓彎構(gòu)件屬于第一類穩(wěn)定問題，即分支點失穩(wěn)，但對實際構(gòu)件則是極值點失穩(wěn)。對理想的兩端簡支的雙軸對稱工形截面壓彎構(gòu)件，在兩端作用有軸線壓力P和使構(gòu)件產(chǎn)生同向曲率變形的彎矩M，如果在其側(cè)向有足夠的支撐(如圖3.1(b))，構(gòu)件將發(fā)生平面內(nèi)的彎如果在側(cè)向沒有設(shè)置支撐(如圖3.1(c))，則構(gòu)件在荷載P未達到平面內(nèi)極限荷載P時，u可能發(fā)生彎扭失穩(wěn)，即在彎矩作用平面內(nèi)產(chǎn)生撓度v，在平面外剪心產(chǎn)生位移u，并繞縱軸產(chǎn)生彎曲失穩(wěn)一般在彈塑性階段出現(xiàn)，而彎扭失穩(wěn)可能發(fā)生在彈性階段，也可能出現(xiàn)在彈塑性階段。段3.1壓彎構(gòu)件平面內(nèi)失穩(wěn)發(fā)當用彈性理論分析理想壓彎構(gòu)件的荷載撓度關(guān)系，可以得到圖3.3中的二階彈性曲線b，它荷載撓度曲線將是圖中曲線OABC。曲線上A點標志著桿件中點截面邊緣開始屈服，對應的荷載為Pe，隨后塑性向截面內(nèi)部發(fā)展，構(gòu)件變形快速增加，形成OAB上升段，構(gòu)件處于穩(wěn)定平衡u狀態(tài)；點為曲線的極值點，對應的荷載P為構(gòu)件在彎矩作用平面內(nèi)失穩(wěn)的極限荷載；到達u點以后，由于彈性區(qū)縮小到導致構(gòu)件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程度，出現(xiàn)下降段BC，于二階彈塑性分析的極值點失穩(wěn)，不能用彈性理論和平衡微分方程求解極限荷載Pu，而可用數(shù)值積分法通過得出荷載撓度曲線后求得極限荷載。此有必要先研究壓彎構(gòu)件平面內(nèi)彈性失穩(wěn)。3.1.1壓彎構(gòu)件平面內(nèi)彈性彎曲性能在第二章討論初始幾何缺陷對軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定性能的影響時，對圖2.13所示有偏心的軸心受壓桿已作過分析，即當作偏心壓彎構(gòu)件得出了荷載P與構(gòu)件中點撓度δ之間的關(guān)系曲線。EPE拉荷載P為極值。然而實際材料都是有限彈性的，由于壓彎構(gòu)件平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)時，構(gòu)件為彈E塑性工作狀態(tài)，因此彈性分析只有理論意義。下面僅討論兩端鉸接受軸向壓力和平面內(nèi)橫向荷載共同作用的彈性壓彎構(gòu)件的內(nèi)力與變形1.橫向均布荷載作用的壓彎構(gòu)件c所示隔離體，在距左端x處截面的內(nèi)力矩M=EIy，外力矩M=Py+qx(lx)2，平衡方程fe為EIyPyqxlx2令k2=PEI，則(3.1)(3.1)23方程(3.1)的特解可寫作y=cx2+cx+c，代入方程(3.231231(3.3)(3.4)上式是恒等式，故(3.3)(3.4)yAsinkkq∕－qlχ∕－EIqP(3.2)由邊界條件y(0)=0,y(l)=0得則y=q-qx(l-x)k4EI(2)2k2EI構(gòu)件在x=l2處有最大撓度y，令u=kl2，可得max式中：y=5ql4(384EI)是均布荷載作用下簡支梁的最大撓度，即當P=0時，由式(3.4)求得0的最大撓度。式(3.4)中括號內(nèi)的值為考慮軸線壓力后最大撓度的放大系數(shù)。將secu展開成冪級數(shù)，有2247208064式中kllP"u===PP22EI2E0EE01-PPE(3.5)(3.5)mEEPE跨中最大彎矩為構(gòu)件中點的最大彎矩為EPE跨中最大彎矩為式中M=ql28是均布荷載作用下簡支梁跨中的最大彎矩；b為等效彎矩系數(shù)；A為彎矩放大0mm2.橫向集中荷載作用的壓彎構(gòu)件令k2=P(EI)，則(3.7)(3.7)通解為2Pky=Q2Pk(2) 令u=kl2,當x=l2時，跨中最大撓度為maxPuEIu0u3maxPuEIu0u30最大撓度放大系數(shù)。幾幾2Emax0(3.10)max0(3.10)EE01-PPE(3.11)式中M=Ql4是集中荷載作用下簡支梁最大彎矩；b為等效彎矩系數(shù)；彎矩放大系數(shù)0mE對于彈性壓彎構(gòu)件，根據(jù)各種荷載作用和支撐情況，可以計算出跨中彎矩M的表達通式M=bMmmax1-PPE再考慮初始缺陷的影響，假定各種缺陷的等效初彎曲呈跨中撓度為v(3.12)的正弦曲線，則在任意橫0向荷載或端彎矩作用下跨中總彎矩應為bM+PvM=m0E當壓彎構(gòu)件長度中點截面邊緣纖維達到屈服時，其應滿足E令(3.14)中M=0，則得到有初始缺陷的軸心壓桿邊緣纖維屈服時的表達式EyEy等效彎矩系數(shù)b取值見表3.1。m(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)(3.17)3.1.2壓彎構(gòu)件平面內(nèi)彈塑性彎曲失穩(wěn)開構(gòu)件抗彎能力增加小于外力作用效應的增加，達到極限狀態(tài)時(圖3.3極值點B)，內(nèi)外力開始無法平衡，構(gòu)件發(fā)生平面內(nèi)彈塑性整體失穩(wěn)。同，彎曲失穩(wěn)時構(gòu)件塑性發(fā)展的范圍可能只出現(xiàn)m解析法求解可以求出精確度比較高的極限荷載。其假設(shè)為：()材料為理想的彈塑性體；()構(gòu)件的變形曲線為正弦曲線的一個半波。e下面分別加以討論：1)第一種情況：塑性區(qū)僅出現(xiàn)在受壓區(qū)(圖3.7b)P=P=A1(+)bh或+=2PPy(3.18)y2yteytbhe(3.19)MPvoobhhhe)(3.19)2yte(23)由上式可解出彈性區(qū)高度(3.20)3h3(M+由上式可解出彈性區(qū)高度(3.20)h=-he2P-PyyyyC=yC=yt=yt=yee根據(jù)變形曲線假定，撓曲線為中央截面處的曲率為由式(3.21)式中央截面處的曲率為由式(3.21)式(3.22)知v=y(3.24)e將(3.20)代入(3.22)后，得到構(gòu)件壓力P與撓度v的函數(shù)關(guān)系(3.25)(3.25)dPd由極值條件=0(3.26)(3.26)11由于P=0時，截面邊緣纖維開始屈服時的彎矩M=bh2裝=Ph，且全截面的慣性矩y6y6y1I=bh3，則構(gòu)件在平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)的彈塑性極值荷載x12度ul2(h)l2ul2(h)l2式中，I是彈性區(qū)截面慣性矩，說明塑性發(fā)展使構(gòu)件抗彎剛度下降至EI，極限荷載與以彈性區(qū)為截面的軸心受壓構(gòu)件的歐拉臨界力相當。euy也可寫作yuy2)第2種情況：塑性區(qū)同時出現(xiàn)在受壓、受拉區(qū)(圖3.7e)yuy圖3.7g所示的應力分布，可以分別列出軸線壓力和力矩平衡方程eyeyhEhl2eev P P)(3.38))(3.38)euy3MyP="2EIx(|he)|3="2EIexul2(h)l2(3.39)(3.40)(3.41)法確定壓彎構(gòu)件的極限荷載。數(shù)值法有多種，數(shù)值積分法是常用的一種。M，壓力P和曲率C之v荷載。m以圖3.8(a)為例，說明數(shù)值積分法的計算過程。mrcrt圖3.9()表示劃分為很多單元的工形截面，單元的面積為A，截面任一點的應變c是軸0iririi0iri 當截面處于彈性狀態(tài)時，應力E，根據(jù)內(nèi)力平衡條件PidAiEzdAEA(b)MzdAAz0z2dEIy(c)AiiA0iriiAix由式(c)可知，當截面處于彈性狀態(tài)時，壓彎構(gòu)件和受彎構(gòu)件一樣，彎矩M與曲率成正比，而與軸線壓力P無關(guān)。但在彈塑性狀態(tài)，因各截面塑性發(fā)展程度不同，MP相關(guān)。E表示屈服應變，任一單元面積A上的應力均取平均值，E表示屈服應變，任一單元面積A上的應力均取平均值，yyyiiiyiy截面的軸向壓力P和彎矩M分別為當時yiy當當時iy時iyPAii MAAziiiA聯(lián)合(a)﹑()，通過對式(e)數(shù)值積分即可得到構(gòu)件在彈塑性狀態(tài)的MP關(guān)系。具體算法見如下框圖)求解壓彎構(gòu)件的極限荷載Pu以圖3.11所示兩端鉸接、幾何條件和荷載作用均對稱的壓彎構(gòu)件為例，具體求解過程見框a力P1情況下，端部撓度y0=0，而轉(zhuǎn)角90未知，不過可以先給定一個9的初始值，使其滿足構(gòu)件中點的轉(zhuǎn)角9=0即可，若給定的9不能使9足0m0m夠小(如9<105)，則調(diào)整9重新迭代，直至9足夠小，滿足計算精度要求。這樣就可以得m0m到與給定軸力P對應的構(gòu)件中點的撓度v值，如圖3.11(b)所示。1m1同理，可以得到不同的軸力P對應的構(gòu)件中點的撓度v值，最終可以畫出圖3.11(b)所示mmu分析壓彎構(gòu)件在平面內(nèi)的極限荷載，才可以推演出壓彎構(gòu)件的穩(wěn)定設(shè)計公式。3.1.3壓彎構(gòu)件彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定理論在設(shè)計中的應用1.邊緣纖維屈服準則準(3.43)vAx(3.43)vAx參照式(3.17)，給合壓彎構(gòu)件彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定概念，可以得到按邊緣纖維屈服準則導出的相關(guān)公式(3.42)(3.42)式中v為彎矩作用平面內(nèi)軸心受壓構(gòu)件的整體穩(wěn)定系數(shù)；W為受壓最大纖維的毛截面抵抗矩；x1xb為等效彎矩系數(shù)，參見表3.1。將式(3.42)寫成設(shè)計公式，即PbMPbM式中f為鋼材屈服強度設(shè)計值。限承載力準則面塑性有一定發(fā)展，因此應該以彈塑性穩(wěn)定理論為基礎(chǔ)，以失穩(wěn)時的極限荷載為計算準則。壓彎構(gòu)件的初偏心和初彎曲對構(gòu)件的影響性質(zhì)上相同，因此在制定規(guī)范時考慮構(gòu)件存在法計算出近200條壓彎構(gòu)件的極限承載力曲線。將用數(shù)值方法得到的壓彎構(gòu)件極限承載力P與u用邊緣纖維屈服準則導出的相關(guān)公式(3.42)中的軸心壓力P比較后發(fā)現(xiàn)，對于短粗實腹桿，式 (3.42)偏于安全；而對細長實腹桿，式(3.42)偏于不安全。因此，規(guī)范借用了彈性壓彎構(gòu)件公式，即規(guī)范所采用的實腹式壓彎構(gòu)件彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定計算公式 式中M——所計算構(gòu)件段范圍內(nèi)的最大彎矩；v彎矩作用平面內(nèi)的軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定系數(shù)；xW——彎矩作用平面內(nèi)較大受壓纖維的毛截面抵抗矩；P——歐拉臨界力；ExRRRb——等效彎矩系數(shù)，參見表3.1。對于T型鋼、雙角鋼T形等單軸對稱截面壓彎構(gòu)件，當彎矩作用于對稱軸平面且使較大翼可能在受拉區(qū)首先屈服而導致構(gòu)件失去承載能力，因此除了按式(3.44)計算外，還應按下式計PbMmxx試fmxx試f(3.45)W——受拉側(cè)最外纖維的毛截面抵抗矩；2xY——與W相應的截面塑性發(fā)展系數(shù)。x2x其余符號同式(3.44)，上式第二項分母中的1.25也是經(jīng)過與理論計算結(jié)果比較后引進的修3.2壓彎構(gòu)件平面外失穩(wěn)臨界荷載P之前，就可能導致壓彎構(gòu)件發(fā)生空間的彎扭失穩(wěn)，也稱平面外彎扭屈曲。當構(gòu)件長u細比較大時，有可能在彈性階段失穩(wěn)；在長細比較小等情況下也有可能在彈塑性階段失穩(wěn)。對于外力作用和端部支撐條件較簡單的壓彎構(gòu)件，可以用平衡法求解彎扭屈曲荷載的精確解；如果外力作用或端部支撐條件較復雜，可以用能量法求解。在彈塑性階段發(fā)生彎扭屈曲的壓3.2.1壓彎構(gòu)件的彈性彎扭失穩(wěn)1.平衡法求解單軸對稱截面壓彎構(gòu)件的彈性彎扭屈曲荷載分析中采用兩個坐標系，即截面的固定坐標系oxyz和移動坐標系o,ξηζ(圖3.13)，且②發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)變形時，截面的形狀不變；陷的等截面直桿；以分別得到繞ξ軸和η軸的彎矩平衡方程。EIv,+Pv+M=0yx0(3.46)(3.47)a點的正應力 x(3.48)AIxAxy0IAx0Ar0yxAxy0IAx0Ar0yx0xy0y2I0Ar0yx是截面的幾何性質(zhì)參數(shù)，b為不對稱截面常數(shù)，對于單軸對稱工形截面，b中前一項數(shù)值常比yyy小得多，對圖3.13c所示坐標系，剪心矩y是正值，則b將是負值。00y外彎矩M在縱軸ζ方向的分量為MMsinM=Mu,xxx0000G0yxx0uw0yxtx0聯(lián)立方程(3.46)、(3.47)和(3.50)，得到適合任何邊界條件的壓彎構(gòu)件微分方程組EIvIVPv(3.51)w0yxtx0得為1l2l0P"2Ex0P"2Exy0w0yxx0(3.54)(3.55)方程(3.55)中的M以彎矩使形心以上的負方向受壓時為正，受拉時為負；而偏心矩e符號與xyy0w0yy0yPywywyyywbeyyeywyyyPywywyyywbeyyeywyyy0yy0y相應的彎扭屈曲應力 (3.58)ywy(3.59)對雙軸對稱截面壓彎構(gòu)件，因y對雙軸對稱截面壓彎構(gòu)件，因ywx0解出彎扭屈曲荷載解出彎扭屈曲荷載(3.61)無對稱軸截面壓彎構(gòu)件，開始施加壓力P，構(gòu)件就產(chǎn)生雙向彎曲變形和扭轉(zhuǎn)，因此屬于極值點失穩(wěn)問題。對此類問題用平衡法求解析解較困難，一般采用能量法[19]或數(shù)值法求解其極限為4m，構(gòu)件的兩端作用有彎矩M=10kN.m，截面尺寸如圖y件在彎矩作用平面內(nèi)的極限荷載P=735kN求此壓彎構(gòu)件的屈u)計算截面的幾何性質(zhì)截面積x12k3w對翼緣邊緣抵抗矩對腹板邊緣抵抗矩W=Ix=307.07cm3xxxywyywi2wwkk088.46wi2wwkk088.460確定屈曲荷載由于翼緣邊緣纖維的壓應力 y (2248.2)腹板邊緣纖維的壓應力 y又因為P<P，說明此壓彎構(gòu)件的屈曲荷載為彈性彎扭屈曲荷載P=713.86kN。ywuyw能量法求解無對稱軸截面壓彎構(gòu)件的彈性彎扭屈曲荷載大，由于彎曲變形很小，計算時可以不計附加彎矩的作用，用平衡分岔理論求解，可以得到這種曲前變形的影響，計算結(jié)果誤差會很大。當無對稱軸截面構(gòu)件的荷載作用條件或邊界條件比較復雜時，如沿構(gòu)件縱軸方向的彎矩Mx和M隨z而變，或在構(gòu)件的側(cè)向有彈簧約束時，用平衡法很難求出解析解，而采用能量法可以y得到足夠精度的近似解。由于構(gòu)件的壓縮應變能和剪切應變能的影響很小，可以忽略，則應變能U＝U＋U＋U＋U(3.63)1234式中U為平面內(nèi)彎曲應變能，U為側(cè)向彎曲應變能，U為純扭轉(zhuǎn)應變能，U為翹曲應變能，1234有120xUjlEIudz(3.65)220y320k420wxykI分別為截面的抗扭慣性矩和翹曲慣性矩；u、v和Q分別為位移和扭轉(zhuǎn)角，如圖3.15所示。w20xywk(3.68)(3.69)bQB0B0則20B0B0BB總外力功為20ABB面任一點的正應力，以壓應力為正值，考慮殘余應力幸后，有(3.70)(3.71)(3.72)rPMyMx裝=-xPMyMxAIIrxy(3.73)bA-xx2I0bA-xx2I0b=A-yy2Ib=A-yy2I0Aryxxy0x0y更一般的情況，式(3.75)中還應包含構(gòu)件兩端外荷載所做功的負值；如果壓彎構(gòu)件上還作用著其它類型荷載，如橫向荷載，則外力勢能V中應加進橫向荷載與其位移乘積的負值；如果U根據(jù)勢能駐值原理(見第二章)，即可求出壓彎構(gòu)件的彎扭屈曲荷載?！纠}3.2】已知兩端簡支的形截面壓彎構(gòu)件的跨中作用著如圖3.16所示的集中荷載y用能量法求此壓彎構(gòu)件的彎扭屈曲荷載。由得(an由得(an1l2ll40ll2k21020120l+Q"2bC2jl2zcos2"zdz-Q"2CCjl2zsin2"zdzl2y20ll2120l4l34lk210201216y21612令穩(wěn)定方程為yyPGIi2,wk00-Py-0-P00)-Py-)-Py-00w00"2-My0"2在分析壓彎構(gòu)件平面外失穩(wěn)時，E,可采用拋物線變化假定，即在分析壓彎構(gòu)件平面外失穩(wěn)時，E,可采用拋物線變化假定，即yw0y0彈塑性彎扭失穩(wěn)壓彎構(gòu)件在彈塑性狀態(tài)發(fā)生彎扭失穩(wěn)時，求解屈曲荷載的方法主要有解析法和數(shù)值法。1.折減翼緣厚度解析法[20]性失穩(wěn)時,最大受壓翼緣的平均應力(超過比例極限(但尚未達到屈服極限(，或其值已超過1PS屈服極限而出現(xiàn)一部分塑性區(qū)(如圖3.17所示)。折減翼緣厚度法就是針對受壓最大翼緣的平均壓應力(滿足(<(<(，或在最大受壓邊1p1S然后將折算后的截面按彈性解析法計算臨界荷載。在壓彎構(gòu)件屈曲前的瞬間，當截面最大受壓翼緣中的平均應力(處于(<(若用N1表示此截面整個翼緣的內(nèi)力，當(1有一個增量d(1時，與d(1相應的應變增量de1為de=dN1(3.76)btEtdedN(3.77)式中E為e所對應的變形摸量。此時如果不用EtdedN(3.77)t1t1btE1根據(jù)相等，得到受壓最大翼緣的換算厚度t的表達式1tttt(3.78)E當截面中已有一部分塑性區(qū)出現(xiàn)時，有(=(，與(對應的應變e所對應的變形摸量定義為E,，即E,義為E,，即E,是(進入屈服平臺之后的變形摸量，其值在屈服前的E和硬化摸量E之間，1tst11同理可以求出截面有塑性區(qū)時受壓最大翼緣的折算厚度Ett1E(3.79)(3.80)形成圖3.17c所示的單軸對稱截面，重新計算截面的幾何性質(zhì)果偏小外，理論值與實驗結(jié)果吻合程度較好。2.彈塑性彎扭失穩(wěn)荷載數(shù)值計算法假定材料為理想彈塑性體，當截面上某一點的應變小于屈服應變時，彈性摸量為E時，剪y圖3.18的左側(cè)為截面殘余應力分布情況，和分別為殘余壓應力和殘余拉應力峰值。rcrt用數(shù)值法求解壓彎構(gòu)件彈塑性彎扭失穩(wěn)荷載的步驟如下：殘余應變以壓應變?yōu)檎?、拉應變?yōu)樨?，曲率也以產(chǎn)生壓變?yōu)檎＝孛嫔先我稽c的應力和應殘余應變以壓應變?yōu)檎?、拉應變?yōu)樨摚室惨援a(chǎn)生壓變?yōu)檎?。截面上任一點的應力和應iiyii0iriEiiEiiiiiy，，iy,當yGGiiGG4當i時iy時y時y則PAMiii(3.81)(3.82)根據(jù)圖3.10所示電算框圖，就可以建立MP關(guān)系；同時可以確定截面彈性區(qū)域面積。2)分級給定軸向荷載P后計算平面內(nèi)彎矩Mix將構(gòu)件沿縱向軸線劃分成若干單元，取單元中點截面的彎矩M作為單元彎矩M，則單元mix彎矩M記為MMP，其中M為全部外荷載產(chǎn)生的一階彎矩，而為第i單元中點的xmimimi撓度，計算M可參見電算框圖3.12前半部分。mi3)計算各單元中點截面的抗彎剛度EI和EI，抗扭剛度GIGI，抗翹曲剛度EI，exeyekipkew00EIEIEAy2exixiiiiEIEIEAx2eyiyiiii(3.83)(3.84)對于彈性區(qū)為單軸對稱的工形截面y1翼緣IAx2E腹板IyE0EIyiiiiiyiiiewEIyiiiiyiiiieyk2Ax2y22yyy2Aiiiiii0i0ixiyi式中I和I分別為單元對中性軸x和yxiyi4)建立單元中點截面彎曲和扭轉(zhuǎn)的平衡方程，求解彎扭失穩(wěn)荷載Pyw參照彈性壓彎構(gòu)件平衡方程建立微分方程EIPM0EIyGIGIx0MPyEIyGIGIx0MPyu0ewekiPkx0(3.85)(3.86)(3.87)(3.88a)(3.88b) 若用有限積分法或有限差分法聯(lián)合求解式(3.88b)和式(3.88c)，可以得到各分段點的位移或其高階導數(shù)的線性代數(shù)方程組，由其系數(shù)行列式K0，即可得到彎扭失穩(wěn)荷載Pyw。實際電算中，可以用荷載P和荷載P的兩個系數(shù)行列式的乘積，當滿足KK0時為構(gòu)件失穩(wěn)ii1ii13.2.3壓彎構(gòu)件彎矩作用平面外的穩(wěn)定理論在設(shè)計中的應用面外沒有足夠支承以阻止其側(cè)向位移和扭轉(zhuǎn)時，構(gòu)件就可能發(fā)生彎扭失穩(wěn)破壞(圖3.13)。根據(jù)式(3.60)，對雙軸對稱截面壓彎構(gòu)件，當發(fā)生彎扭失穩(wěn)時，其臨界條件為式中M為雙軸對稱純彎曲梁的臨界彎矩，且crx式中M為雙軸對稱純彎曲梁的臨界彎矩，且crxwcrx00Eyw(3.89)(3.90)PEyxMcrx之間相關(guān)