2022年八年級數(shù)學下冊第十六章分式知識點總結(jié)

分式的知識點解析與培優(yōu)例7：使分式故意義的x的取值范疇為（）

x+2

一、分式的定義：如果A、B表達兩個整式，并且B中具

A.x*2B.X。-2C.x>—2D.x<2

A

有字母，那么式子上叫做分式。

x—2

B例8：分式無意義，則X的值為（)

(x+l)(x-3)

二、判斷分式的根據(jù):_______________________________

A.2B.-1或-3C.-lD.3

例：下列式子中，衛(wèi)一、8a%、-也、至女、

x+y232x-y三、分式時值為零:

22使分式值為零：令分子=0且分母W0,注意：當分子

3a2-b9_2I5xy11x+13xy

4am6x2271

等于0時，看看與否使分母=0了，如果使分母=0了,

工、〃+_1中分式的個數(shù)為（）

x+ym那么要舍去。

1-2（7

A、2B、3C、4D、5例1：當x_____時，分式的值為o.

61+1

練習題：（1）下列式子中，是分式的有.

X2-1

例2：當x_______時，分式^~~值為0.

x+1

（1）2X-7:（2）色」；⑶士-；⑷“x-2；

x+523Cl7i例3：如果分式比2的值為零，則a的值為（）

Q+2

3

（5）2-—；（6）.?2（7）《

A.±2B.2C.-2D..以上全不對

bZx+y8+乃（8）y（9）X2+4

例4：能使分式七三的值為零的所有x的值是（）

二、分式故意義的條件是分母不為零；【BWO】x2-l

分式?jīng)]故意義的條件是分母等于零；【B=0]A.x=0B,x-1C.x=O或x=l口.》=0或》=±1

例5：要使分式一1二2_時值為0,則x時值為（）

分式值為零的條件分子為零且分母不為零?！綛W0且A=0

JC2-5x+6

即子零母不零】A.3或-3B.3C.-3D2

例2.注意：（/+1W0）例6：若;+1=0,則a是（）

\a\

例1：當x________時，分式」一故意義；

x—5A.正數(shù)B.負數(shù)C.零D.任意有理數(shù)

例2：分式上2x—+l中，當％=時，分式?jīng)]故意義

2-x2-l

例9：當x=______時，分式一x一5一時值為零。

例3：當x時，分式一―故意義。

X4-X—2

----------x2-l

Y

例4：當x時，分式故意義“I八i11c5x+3xy-5y

2例10：已知一一-二3,則--------——二=_______o

%+1xyx-2xy-y

例5：x,y滿足關(guān)系________時，分式士工無意義；

三、分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以

x+y

號式時值不變。

例6：無論x取什么數(shù)時，總是故意義的分式是（）±￡cwo

A..2±-C.旦D."BCBB+C

元2+12,x+14~1x~

例1：現(xiàn)=—；6x（y+z?=____.

3x3x2

aahy3（y+z）2y+zB>—TD、

2y2

如果5（3〃+l）=］成立廁0的取值范疇是；

7（34+1）7

/_1-b+cb-c3/

例2：jT-="（）27

例3：如果把分式把在中的a和b都擴大10倍，那么分例10：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式二L可變形為

a+ba-b

式的值（）()

A、擴大10倍B、縮小10倍C、是本來的20倍D、不變

-a-ba+ha-ba+h

10r

例4：如果把分式」"中的X,y都擴大10倍，則分式例11：不變化分式時值，使分式的分子、分母中各項

x+y

系數(shù)都為整數(shù)，0-2X-0.012=；

的值（）—x—0.05

例12：不變化分式的值，使分子、分母最高次項的系

A.擴大100倍B.擴大10倍

C.不變D.縮小到本來的」-數(shù)為正數(shù)，__匕二=。

1+X—無~

10

例13.不變化分式2-3Y+X時值,使分子、分母

例5：如果把分式色二中的x和y都擴大2倍，即分式—5x3+2.x—3

x+y最高次項的系數(shù)為正數(shù)，則是（）.

的值（）四、分式的約分：核心先是分解因式。

A、擴大2倍；B、擴大4倍；C、不變；D縮小2倍分式的約分及最簡分式：

例6：如果把分式二二2中的x和y都擴大2倍，即分式①約分的概念：把一種分式口勺分子與分母口勺公

x+y

因式約去，叫做分式的約分

的值（）

②分式約分日勺根據(jù)：分式口勺基本性質(zhì).

A、擴大2倍；B、擴大4倍；C、不變；D縮小2倍

③分式約分口勺措施：把分式口勺分子與分母分解

例7：如果把分式二二工中的x和y都擴大2倍，即分式

因式，然后約去分子與分母的公因式.

砂

④約分時成果：最簡分式（分子與分母沒有公

的值（）

A、擴大2倍；B、擴大4倍；C、不變；D縮小,倍因式日勺分式，叫做最簡分式）

2

約分重要分為兩類：第一類：分子分母是單項

例8：若把分式巨型的x、y同步縮小12倍，則分式的

2x式的，重要分數(shù)字，同字母進行約分。

值（）

第二類：分子分母是多項式日勺，把分子分母能

A.擴大12倍B.縮小12倍C.不變D.縮小6倍

因式分解口勺都要進行因式分解，再去找共同日勺

例9：若x、y時值均擴大為本來的2倍，則下列分式的

因式約去。

值保持不變的是（)

例1：下列式子(1):-丫,=」_;(2)b-a_^±.x2+6x+9

=例9.約分：（1）(2)""-3"?+2

22

x-yx-yc-aa-cX2-9m2-m

(3)IM_(4)-x+y_x-y中對的的星()

=1；例10.通分：（1）二，_J_；

a-b-x-yx+y6ab~9a2bc

A、1個B、2個C、3個D、4個

6

(2)"T

例2：下列約分對的的是（)a2+2a+l/一1

A、￡=/；B、￡1Z=O；C、x+)，1：D、2到2=i

222

-vx+yx+xyx4xy2例11.已知X2+3X+1=0,求x2+^-時值.

例3：下列式子對的的是()x

]x2

a+

A2x+y0B.-y-?C._2+￡=21￡例12.已知x+-=3,求二_--時值.

2x+ya-yxx-xXx4+x2+l

c—dc+dc—d—c+d

D.-------------------=-------------------=0四、分式的通分及最簡公分母：

aaa

例4：下列運算對的的是（）通分：重要分為兩類：第一類：分母是單項式；第二

,aa241

——B、類：分母是多項式（要先把分母因式分解）

a-hci+bxx2

2111

caaI)、-------二—分為三種類型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”

b-b2mmm

例5：化簡武色的成果是（）型等三種類型。

9--m2

“二、三”型：指幾種分母之間沒有關(guān)系，最簡公分

mmmm

A.--------B.C.--------D.--------

m+3772+3m-33-777母就是它們的乘積。

2

例7：約分：-4xy_；3一x二.

6xy2X2-9例如：-......L最簡公分母就是（x+2）（x-2）。

11x+2x-2

-x+-y

LJ=±;3x+5y

5_3L=“二、四”型：指其一種分母完全涉及另一種分母，

39~xy0.6x-y()

最簡公分母就是其一的那個分母。

a2-4

例8：約分：==；4p一

a2+4a+416ry例如:,2---------匚最簡公分母就是

x+2%2-4

a(a+b)_ax+ay_

（x2-4=[x+2p-2]）

b(a+b)(x-y)r-r

2

r-16X-9_

“四、六”型：指幾種分母之間有相似的因式，同步

x"+8x+162i+6

3

-iAcrbc_5ab也有獨特的因式，最簡公分母要有獨特的；相似的都

21a%c20a2h

要有。

?一

9-m29

m+3x2-6x+9例如：,x2最簡公分母是:2MX—2）

2（x-2）x（x-2）

例9：分式a+2,a-b,4a,_L_中，最簡分式

a2+3a2-b212(a-b)x—2這些類型自己要在做題過程中仔細地去理解和應(yīng)用，

有（）A.1個B.2個C.3個D.4個仔細時去發(fā)現(xiàn)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

例8.分式"+3x,'T,-F+V,a-+2”中是最

例1分式」—，的最簡公分母（）

4ax4-1x+yab-2b2:J

tn+nm"-n"m-n

簡分式的有（）。

A.+-〃2)B.(；W2-/I2)例題:

22

C.（m+“）2（m一〃）D.m-n計算：(1)26x2,-25.(2)a+a?一

15x639y7a

例2：對分式上，二，一!一通分時，最簡公分母是

x-2x2-25

2x3y-4xy(3)a-ba2b2-a4----?-------

a2+ahah-a2x+5—4

（）

A.24x2y3B.12x2y2C.24xy?D.12xy(6)—6abH--------

ci~+4。+4a+22a

2

(7)(孫⑻竺.篤。生

/3y26x21x2

例3：下面各分式：JSZL,x+y1+y2,其

22

X4-xx-y~x+\x-y(9)

中最簡分式有（）個。x2—11、x+3/in\a2-1/、a+2

-------4-(l-X)*———UW—-------+(4+1)----

x2+6x+9x2a~+4a+47a-\

A.4B.3C.2D.1

例4：分式_，-的I最簡公分母是.

a2-42a-4求值題：（I）已知：-=1,求-一尸：個+/的J

y4%2-2xy+y2x2-xy

例5：分式a與,的最簡公分母為；

b值。

例6：分式一/,一］_的最簡公分母為___________。

x_y~x+xy

（2）已知：％+9y=y-3x,求《二片的值。

五、分式的運算：分式的乘，除，乘方以及加減x2+y2

分式的乘法：乘法法測：-?.

bdbd

（3）已知：---=3,求2x+3*-2），的值。

分式的除法：除法法則：-4--=---=—Xyx-2xy-y

bdbcbe

分式的乘方：求n個相似分式的積時運算就是分式的乘乘方例題:

方，用式子表達就是（色尸

b

分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表達為:

（E）n=（；（n為正整數(shù)）

分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分

子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜?/p>

式,4繆/唧臧￡±￡=皿±如=ad土be

ccc'bdbdbdbd

（7）已知：/-10丫+25+|），-3|=0求』+x的侑。

2xy+2y

混合運算:運算順序和此前同樣。能用運算率簡算的可用121

（8）,當分式—--——-——時值等于零時，則

廠―1x+1x—1

運算率簡算。

X二

(9).已知a+b=3,ab=l,則色+2歐j值等于

…3x3三⑷xx+61

ba(2)+—

x-3x2-3xx

3

(10).先化間，再求值：----z------+—，其中

。-3a-3aa2

8、分式的加減:2。+1。一2

(5)(6)a+1-----

礦4-Cl—2a2-4a-\

分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。

1、同分母分式不用通分，分母不變，分子相加減。*)

x~?Jab

(7)-----x-\(8)

2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。x-1a+bh2-a2

通分措施：先觀測分母是單項式還是多項式，如果是單項

14x-1122

式那就繼續(xù)考慮是什么類型，找出最簡公分母，進行通分;(9)~-------1—;---------H(10)

2-xx—42+xci"—93—ci

如果是多項式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮

什么類型，繼續(xù)通分。例8：計算a+1-一日一的成果是)

a-\

分類：第一類：是分式之間附加減，第二類：是整式與分

11a1-a

A---B-C--------D

式附加減。a-1Q—1a-\

a-\

2/+3a2-4

/rl122n

例1：------例2：+a2

mma2-}12x

例9：請先化簡:,然后選擇一種使原

x-2x2-4

例3：上+上式故意義而又喜歡的數(shù)代入求值.

x-yy-x

X\-2x

例10：已知：X2+4X-3=0求

2

x+2yy2xx+2x+4x+4

例4：+

22產(chǎn)――22

x-yMo

4777—1

例5計算：(1)—+-^

772+3根+3

9、分式日勺混合運算:

ba1b2

(2)」一十(3)

a-hb-a(a-b)2(b-a)2例1:2x

x2-16x-4x+4

Seth+33ct~b—58+/b例2：1x+3-2x+l

(4)22

ah2ah2~aiT'x+1X-1'X+4X+3

x—2x+2、x2—2x

例6：化簡,+」-+」-等于2

()例3：x—2”x

x2x3xx+2

13115例4：1x+3.卜七例5：(i-

A.2KB.2xC.6xD.6x

2)

xx-y-

a2a例6：1-~y.

例7：—-----1—(2)x+2yJ+4孫+4/

abca2—4ci—2

例7:x+1X.：__1

x~-xx~—2x+1X

例8：(1（7）

x2-2xx2-4x+4x

（8）先化簡，二二1,再選擇一種你喜歡

10、分式求值問題:\X）x

例1：已知X為整數(shù)，且二_+?_+生土更為整數(shù)，求所的數(shù)代入求值.

x+33-xF-9

有符合條件的x值附和.

11、分式其她類型試題：

例2：已知x=2,y=/，求]2424

2345

2|_(x+y)2(x-y)2例1：觀測下面一列有規(guī)律的）數(shù)：―，—,一，—,

381524

M.—,—,……根據(jù)其規(guī)律可知第〃個數(shù)應(yīng)是______

3548

例3：已知實數(shù)x滿足4X2-4X+I=O,則代數(shù)式2x+'-的

（〃為正整數(shù)）

2x

值為________例2：觀測下面一列分式：—乙三廣之,與,_與，..，

XXXXX

2

例4：已知實數(shù)〃滿足a+2a—8=0，求根據(jù)你日勺發(fā)現(xiàn)，它的第8項是,第n項

。+3(i~—2。+1M.

a+\一「/+44+3是O

I2例3：當x=時，分式_L與，2一互為相反

例5：若x+—=3求—二—時值是().

xx4+x~+15-x2—3x

1]_￡

A.B.c.D.數(shù).

81024

例6：已知_1_1=3,求代數(shù)式-T4孫-2y時值例4：在正數(shù)范疇內(nèi)定義一種運算☆,其規(guī)則為

xyx-2xy-y

=_L+_L,根據(jù)這個規(guī)則X☆（了+］）=3的解為（）

例7：先化簡，再對。取一種合適的數(shù)，代入求值ab2

222

_。_+_1__a_-_3__!。2-6々+9A.x=—B.x=IC.x-——或ID.x=—或—1

ci—34+2_______4333

例5：已知4=4+Bx+C,

練習題:x（x2+4）xx3+4

」一宏，其中x=5.

(1)則A=,B=,C=；

x~—8%+16

3V+74B

ci~-8。+161」例6：已知；---7--=-+,則（）

(2)——；------，其中a=5（y-l）（y-2）j-1y-2

a2-16

A.A=—10,8=13B,A=10,8=13

a2+ab....石，八

(3)—;--------r-,其中a=-3,b=2C,A=10,B=-13D,A=-10,8=—13

Q-+2ab+h~

例7：已知2x=3y,求”______J的值；

a-1a+1甘r+l_oc/）222

(4)---------；-----;其中a=85；廠+y-x~-y

+4a+4a+2

ci例8：設(shè)加一〃=〃m，則,一工時值是（）

/八/x+2x—lx—4甘4imn

(5)(―--------；)+-----，其中1nx=-1

51,

x"-2xx-4x+4xA.—B.OC.lD.-l

(6)先化簡，再求值：土土+(x+2—2).其中x=-2.mn

2x-4x-212、化為一元一次a勺分式方程：

---------------—￡)+1,其中”.=-3

（力a2-2ab+b2a+b（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程

----分式方程。例12解有關(guān)的方

（2）解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一

種整式（最簡公分母），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解例13：當a為什么值時

分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母

有也許為0,這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗

根。例14：先化簡，再求值:一匚+竺±2-2,

(x-y)x+yx-y

（3）解分式方程的環(huán)節(jié)：（1）能化簡的先化簡；（2）

x+2y=3

其中x,y滿足方程組《7

方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；

x-y=-2

⑶解整式方程；

“I”.+乂JXXtH

例15知有關(guān)x的方程-----------=-------------

⑷驗根.x+2x-1(x+2)(x—1)

例L如果分式，一的值為一1，則X的值是_________；時解為負值,求m的取值范疇。

2x+1

54

例2：要使——與——的值相等，則產(chǎn)o練習題：

x—1x—2

)143x+2

(1:=⑵=0

2/71X+112

例3：當_____時，方程“八十的根為意.x-4x-16x-1x(x-l)

m—x2