數(shù)據(jù)建模目前有兩種比較通用的方式

數(shù)據(jù)建模目前有兩種比較通用的方式1983年，數(shù)學(xué)建模作為一門獨(dú)立的課程進(jìn)入我國高等學(xué)校，在清華大學(xué)首次開設(shè)。1987年高等教育出版社出版了國內(nèi)第一本《數(shù)學(xué)模型》教材。20多年來，數(shù)學(xué)建模工作發(fā)展的非常快，許多高校相繼開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，我國從1989年起參加美國數(shù)學(xué)建模競賽，1992年國家教委高教司提出在全國普通高等學(xué)校開展數(shù)學(xué)建模競賽，旨在“培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新精神，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)”。近年來，數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模這兩個(gè)術(shù)語使用的頻率越來越高，而數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模也被廣泛地應(yīng)用于其他學(xué)科和社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域。本文主要介紹了數(shù)學(xué)建模中常用的方法。一、 數(shù)學(xué)建模的相關(guān)概念原型就是人們在社會(huì)實(shí)踐中所關(guān)心和研究的現(xiàn)實(shí)世界中的事物或?qū)ο?。模型是指為了某個(gè)特定目的將原型所具有的本質(zhì)屬性的某一部分信息經(jīng)過簡化、提煉而構(gòu)造的原型替代物。一個(gè)原型，為了不同的目的可以有多種不同的模型。數(shù)學(xué)模型是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的，進(jìn)行一些必要的抽象、簡化和假設(shè)，借助數(shù)學(xué)語言，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具建立起來的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是指對(duì)特定的客觀對(duì)象建立數(shù)學(xué)模型的過程，是現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象通過心智活動(dòng)構(gòu)造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符號(hào)的表示，是構(gòu)造刻畫客觀事物原型的數(shù)學(xué)模型并用以分析、研究和解決實(shí)際問題的一種科學(xué)方法。二、 教學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型從不同的角度可以分成不同的類型，從數(shù)學(xué)的角度，按建立模型的數(shù)學(xué)方法主要分為以下幾種模型：幾何模型、代數(shù)模型、規(guī)劃模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、統(tǒng)計(jì)模型、概率模型、圖論模型、決策模型等。三、 數(shù)學(xué)建模的常用方法1.類比法數(shù)學(xué)建模的過程就是把實(shí)際問題經(jīng)過分析、抽象、概括后，用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號(hào)表述成數(shù)學(xué)問題，而表述成什么樣的問題取決于思考者解決問題的意圖。類比法建模一般在具體分析該實(shí)際問題的各個(gè)因素的基礎(chǔ)上，通過聯(lián)想、歸納對(duì)各因素進(jìn)行分析，并且與已知模型比較，把未知關(guān)系化為已知關(guān)系，在不同的對(duì)象或完全不相關(guān)的對(duì)象中找出同樣的或相似的關(guān)系，用已知模型的某些結(jié)論類比得到解決該“類似”問題的數(shù)學(xué)方法，最終建立起解決問題的模型。量綱分析法量綱分析是20世紀(jì)初提出的在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一種方法，它是在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用物理定律的量綱齊次性，確定各物理量之間的關(guān)系。它是一種數(shù)學(xué)分析方法，通過量綱分析，可以正確地分析各變量之間的關(guān)系，簡化實(shí)驗(yàn)和便于成果整理。在國際單位制中，有七個(gè)基本量：質(zhì)量、長度、時(shí)間、電流、溫度、光強(qiáng)度和物質(zhì)的量，它們的量綱分別為M、L、T、I、H、J和N，稱為基本量綱。量綱分析法常常用于定性地研究某些關(guān)系和性質(zhì)，利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)建模過程中常常進(jìn)行無量綱化，無量綱化是根據(jù)量綱分析思想，恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度將有量綱量化為無量綱量，從而達(dá)到減少參數(shù)、簡化模型的效果。差分法差分法的數(shù)學(xué)思想是通過taylor級(jí)數(shù)展開等方法把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的方程組，將微分問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，是建立離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的有效方法。構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級(jí)數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有以下幾種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對(duì)時(shí)間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。差分法的解題步驟為：建立微分方程；構(gòu)造差分格式；求解差分方程；精度分析和檢驗(yàn)。變分法變分法是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，即泛函問題，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對(duì)。這樣的泛函可以通過未知函數(shù)的積分和它的導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造，最終尋求的是極值函數(shù)。現(xiàn)實(shí)中很多現(xiàn)象可以表達(dá)為泛函極小問題，即變分問題。變分問題的求解方法通常有兩種：古典變分法和最優(yōu)控制論。受基礎(chǔ)知識(shí)的制約，數(shù)學(xué)建模競賽大專組的建模方法使用變分法較少。圖論法數(shù)學(xué)建模中的圖論方法是一種獨(dú)特的方法，圖論建模是指對(duì)一些抽象事物進(jìn)行抽象、化簡，并用圖來描述事物特征及內(nèi)在聯(lián)系的過程。圖論是研究由線連成的點(diǎn)集的理論。一個(gè)圖中的結(jié)點(diǎn)表示對(duì)象，兩點(diǎn)之間的連線表示兩對(duì)象之間具有某種特定關(guān)系（先后關(guān)系、勝負(fù)關(guān)系、傳遞關(guān)系和連接關(guān)系等）。事實(shí)上，任何一個(gè)包含了某種二元關(guān)系的系統(tǒng)都可以用圖形來模擬。因此，圖論是研究自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)問題、管理及其他社會(huì)問題的一個(gè)重要現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，更是成為了數(shù)學(xué)建模的一個(gè)必備工具。層次分析法層次分析法即AHP（AnalyticHierarchyProcess）方法，是20世紀(jì)70年代由美國著名運(yùn)籌學(xué)學(xué)家T.L.Satty提出的。它是指將決策問題的有關(guān)元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性分析和定量分析的一種決策方法。這一方法的特點(diǎn)，是在對(duì)復(fù)雜決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析之后，構(gòu)建一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，然后利用較少的定量信息，把決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為求解多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供了一種簡便的決策方法。AHP十分適用于具有定性的，或定性定量兼有的決策分析。這是一種十分有效的系統(tǒng)分析和科學(xué)決策方法，現(xiàn)在已廣泛地應(yīng)用在企業(yè)信用評(píng)級(jí)、經(jīng)濟(jì)管理規(guī)劃、能源開發(fā)利用與資源分析、城市產(chǎn)業(yè)規(guī)劃、企業(yè)管理、人才預(yù)測、科研管理、交通運(yùn)輸、水資源分析利用等方面。層次分析法的基本步驟是：建立層次結(jié)構(gòu)模型；構(gòu)造成比較矩陣；計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)。數(shù)據(jù)擬合法在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，實(shí)際問題有時(shí)僅給出一組數(shù)據(jù)，處理這類問題較簡單易行的方法是通過數(shù)據(jù)擬合法求得“最佳”的近似函數(shù)式 經(jīng)驗(yàn)公式。從幾何上看就是找一條“最佳”的曲線，使之和給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)靠得最近，即進(jìn)行曲線擬合。根據(jù)一組數(shù)據(jù)來確定其經(jīng)驗(yàn)公式，一般可分為三步進(jìn)行：（1）決定經(jīng)驗(yàn)公式的形式根據(jù)所描繪系統(tǒng)固有的特點(diǎn)，參照已知數(shù)據(jù)的圖形和特點(diǎn)或者它應(yīng)服從的規(guī)律來決定經(jīng)驗(yàn)公式的形式。大致思路：一是利用所研究系統(tǒng)的有關(guān)問題在理論上已有的結(jié)論，來確定經(jīng)驗(yàn)公式的形式。二是在無現(xiàn)成理論情況下，最簡單的處理手段是用描圖的方法，將數(shù)據(jù)點(diǎn)連成光滑曲線,把它與已知函數(shù)曲線進(jìn)行比較，找出與之比較接近的曲線。三是如要考慮所建立的模型必要的邏輯性與理論價(jià)值，可利用合適的數(shù)學(xué)方法，對(duì)所研究系統(tǒng)的有關(guān)問題進(jìn)行定量化的機(jī)理分析，導(dǎo)出較為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)公式。（2） 決定經(jīng)驗(yàn)公式中的待定參數(shù)一般可用線性情況下的最小二乘法，它誤差較小，適用于測定數(shù)據(jù)比較精確的情況。在使用最小二乘法時(shí)，如遇到數(shù)學(xué)模型是非線性經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)，其中參數(shù)的待定通常是嘗試能否經(jīng)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q,將之化為線性模型來計(jì)算。（3） 進(jìn)行模型檢驗(yàn)求得確定的經(jīng)驗(yàn)公式后,將實(shí)際測定值與用公式算出的理論值進(jìn)行比較。8.回歸分析法回歸分析方法是統(tǒng)計(jì)分析的重要組成部分，用回歸分析方法來研究建模問題是一種常用的有效方法，一般與實(shí)際聯(lián)系比較密切，因?yàn)殡S機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，大多數(shù)是通過試驗(yàn)得到的，這種來自于實(shí)際中與隨機(jī)變量相關(guān)的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確度（可信度）如何，需通過進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)來判斷其模型中隨機(jī)變量（回歸變量）的顯著性，而且往往需要經(jīng)過反復(fù)地進(jìn)行檢驗(yàn)和修改模型，直到得到最佳的結(jié)果，最后應(yīng)用于實(shí)際中去?；貧w分析的主要內(nèi)容一是從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確定這些變量（參數(shù)）間的定量關(guān)系（回歸模型）；二是對(duì)模型的可信度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；三是從有關(guān)的許多變量中，判斷變量的顯著性（即哪些是顯著的，哪些不是，顯著的保留，不顯著的忽略）；四是應(yīng)用結(jié)果是對(duì)實(shí)際問題作出的判斷.根據(jù)回歸模型中回歸的特征，常見的回歸模型有：一元線性