數(shù)量方法知識點匯總

數(shù)據(jù)的類型：根據(jù)描述事物所采用的不同尺度，數(shù)據(jù)分為分類型數(shù)據(jù)和旋量型I數(shù)據(jù)I;按照被描述的對象與時間的關(guān)系分為廄面數(shù)據(jù)11時間序列數(shù)據(jù)后伺行數(shù)據(jù)I。圖形顯示：餅形圖、條形圖、柱形圖、散點圖、折線圖、曲線圖、莖葉圖。（1） 脫形圖I的作用:反映各個部分的構(gòu)成各頻率的總合是100%。（2） |條形圖和柱形圖|：信息的比較一一條形圖：不同單位，不同信息的比較；柱形圖：同一單位不同時間信息的比較。（3） |折線圖|：同柱形圖作用相似，對同一的數(shù)據(jù)折線圖具有唯一性（兩點間有且只有一條直線）。（4） |單線圖|：同折線圖作用相似也是表示不同時間信息的比較，但不具有唯一性。（5） 鼠點圖I表示兩個變量之間的相互關(guān)系。（兩個變量的任何一對取值都在平面直角坐標系上代表一個點）o（6） |莖葉圖|：把每一個數(shù)據(jù)分解成兩部分一一莖與葉（它的優(yōu)點在于它既保留了所有的原始數(shù)據(jù)又直觀地顯示出了數(shù)據(jù)的分布情況（與條形圖相似））平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的關(guān)和（1） 數(shù)據(jù)分布是對稱分布時：次數(shù)=中位數(shù)=吊晦1（2） 數(shù)據(jù)分布不是對稱分布時：.偏分布時：眾數(shù)V中位數(shù)〈吊珂藪右偏分布時：眾數(shù)〉中位數(shù)＞平均數(shù)4.分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)（加權(quán)平均）:平均數(shù)=4.分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)（加權(quán)平均）:平均數(shù)=（頻數(shù)*組中值）的和

頻數(shù)的和|極差日=最大值一最小值|（極差容易受極端值的影響有時是無效的）〃+1 3（/1+1）四分位極差先排隊再等分為4份，其中丁對應(yīng)Q1,中位數(shù)為Q2,—-一的對應(yīng)Q3,n為總個數(shù)。Q3-Q1=四分位極差，這兩個點上的數(shù)值叫四分位點。如果四分位點不是一個整數(shù)則將前后兩位數(shù)相加除以2便是。1-方差b2—ni8.變異系數(shù)是標準差與平均數(shù)的比值，即:U=%xl00%8.變異系數(shù)是標準差與平均數(shù)的比值，即:U=%xl00%樣本空間與隨機事件的兩種廢示方(1)列舉{去;(2)描述法按照隨機變量的取值情況，一般把曲機變量分為I(1)離散型隨機變量；(2)連續(xù)型隨機變量。若兩個事件是相依的，則不一定是互斥的。12.1概率的乘法公W：P(A8)=P(B)xP(A/B)=P(A)xP(B/A)(B發(fā)生的概率XB發(fā)生條件下A也同時發(fā)生的概率)P(B)=P(AB)+P(AB)+P(AB)1 2 n13.全概率公式=PAxP(B/A)+FAxP(B/A)+PAxP(B/A)13.全概率公式1 1 2 2 n n=￡P(guān)(A)P(B/A) A : A 14I貝葉斯公式IP(A/B)=i,14I貝葉斯公式IP(A/B)=i,【例。全概率】某車間有4個工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個人生產(chǎn)的產(chǎn)品個數(shù)分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%和35%,每個人的次品率分別為0.05,0.4,0.03和0.02,求該產(chǎn)品的總次品率(即隨機地抽取一個產(chǎn)品，它是次品的概率)。解：設(shè)Ai代表“取到的產(chǎn)品是第i個人生產(chǎn)的”，i=l,2,3,4.設(shè)B代表“取到的產(chǎn)品是次品”。根據(jù)題意有：P(B/A1)=0.05 P(B/A2)=0.04 P(B/A3)=0.03P(B/A4)=0.02P(A1)=0.15 P(A2)=0.20 P(A3)=0.30 P(A4)=0.35我們想要求的是P(B),首先所有的產(chǎn)品都是由4個人中的一個人生產(chǎn)的，因此A1+A2+A3+A4=M,同時，Al,A2,A3.A4兩兩互斥，由概率的加法公式得P(B)=P(BM)+P{BA(A1+A2+A3+A4)}=P(BAI)+P(BA2)+P(BA3)+P(BA4)再由概率的乘法公式，得到P(B)=ZP(A)P(B/A)=0.15*0.05+0.20*0.04+0.30*0.03+0.35*0.02=0.0315i i即總次品率為3.15%【例。全概率】在上例中，假設(shè)車間規(guī)定，出了次品要追究有關(guān)人士的經(jīng)濟責任,現(xiàn)從生產(chǎn)出的產(chǎn)品中任取一件，結(jié)果為次品，但它是由誰生產(chǎn)的標志已脫落，問這4個人當中誰生產(chǎn)了這個次品的可能性最大？解：沿用上例的符號，我們想求的是P(Ai/B),i=l,2,3,4.由條件概率的定義和乘

P(A2/B)法公式，我們可以得到：P(A1/B)=0.15*0.05/0.0315=0.238P(A2/B)=0.2*0.04/0.0315=0.254P(A3/B)=0.30*0.03/0.0315=0.286P(A4/B)=0.35*0.02/0.0315=0.222即該次品由第3個人生產(chǎn)的概率最大?！纠Ｘ惾~斯】某出版社向80%教授MBA管理經(jīng)濟學(xué)的教師寄送了關(guān)于一本管理經(jīng)濟學(xué)方面的新教科書的廣告。在收到廣告的教師當中，有30%采用了該書，在沒有收到廣告的教師中了，有10%采用了該書，已知某教師采用了該書，問他收到了廣告的概率是多少？解：設(shè)A代表事件“收到廣告”，B為“采用了該書”。則根據(jù)題意P(A)=0.80,P(B/A)=0.30,P(B/A非)=0.10我們想求的是PIF) P(A)P(BA)「g‘W)=-(A)P(8/A)+P(A非)P(B/A非廣"。M85*。.l]=0.92315.期望值：E(X)=￡XP L_LE(2+X)=GQ+X)PE(2+X)=GQ+X)P)2+E(X)E(2+3X)=2+3E(X)E(X)=￡XpTOC\o"1-5"\h\z< iiE(a+bx)=a+bE(X)2+jc3+【例。數(shù)學(xué)期望】若E(X)=20,求E(二一)，舊二一的期望值。2+X i i i iE( )=E(0?5+—X)=0.5+—E(X)=0.5+—E(X)=0.5+—x20：\o"CurrentDocument"4 4 4 4 4q_i_oy q o q o q oE (°+X)=+E(X)=+x20=8.65 5 5 5 5 5 516.離散型隨機變量的方差：D(X)=S(x-|Li)2p=E(x—|Li)2=E(X2)-(Ez)2

17.二項分布17.二項分布【例】：次品率為0.05(1)從中抽取10個1個為次品，其余為正品尸=0.05x0.95910個中有1個正品，第2個為次品，其余為正品的概率P(概率)Cix0.051x0.9591010個中有2個次品6x0.052x0.958[次品位置固定時前兩個為100.052x0.958]P(x=k)=CkXPkX(1—P)n-knX=K表示做幾次試驗，有K次出現(xiàn)的概率為多少。二項頒布率為X?B(n、p)二項頒布期望值E(X)=np 方差D(X)=np(l-p)|泊松公布：X?P(人) 單位時間內(nèi)某事件出現(xiàn)的次數(shù)尸{y=k}== e為自然數(shù)=2.71828Kl當n很大并且P很小時，可以利用泊松分布來近似地計算二項分布。泊松分布特征值：E(X)=*(期望值)標準差寸廠D(X)=*二5.5【例。泊松分布】某大學(xué)計算機中心有計算機80臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01,假設(shè)一臺計算機的故障可由一個維護人員來處理，問至少需配備多少維護人員，才能保證計算機發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01.解：設(shè)需配備N人，用X表示同一時刻發(fā)生故障的計算機臺數(shù)，則X—B(80,0.01),我們要確定使P（XWN）30.99的最小的N。N應(yīng)滿足￡庭二1庭>。.99即k!k=01-￡0.8二10.8J0.01查表得滿足上式的最小的N是3,即至少應(yīng)配備3個k!k=0維護人員。連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望值和方差若已知E（x）,計算E（a+bx）=a+bE（x）方差：若已知D（x）,計算D（a+bx）=b2D（X）所有變量值減去期望值為0。 X除以標準差的方差為1。【例。連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差】某人估計她家八月份的電費（元）由下式?jīng)Q定：X=28.5+0.6C其中C是八月份的平均溫度（單位：C）,它是均值為34.2，標準差為2.2的連續(xù)型隨機變量，求該人家八月份的平均電費以及標準差。解：該人家八月份的平均電費為：E（X）=28.5+0.6E（C）=28.5+0.6*34.2=49.02（元）其標準差為。x=g2^.0.62*62=0.6*2.2=1.32|決策的準則|：（1）極大極小原則（悲觀準則）。（2）最大期望收益原則。（3）最小期望機會損失原則（機會損失）。|決策的三個基本要素（1）要找出決策方案（兩個以上）。（2）找出自然狀態(tài)（無法控制的）。（3）收益值和損失值（找出不同方案在不同自然狀態(tài)下的收益值和損失值）。

b .'c2N—n.x-七2福重復(fù)抽樣；x±z奇（E）不重復(fù)抽樣。1—a的置信度為90%時，Z^/2=1.6451—a的置信度為95%時，Z^..2=1.961—a置信度為95.45%時，Za.2=21—a置信度為99.73%時，Za2=3二、總體正態(tài)分布、方差未知、大樣本s2 —一's2N—n、1—ax土Z「一重復(fù)抽樣；X土Z「一J1）不重復(fù)抽樣a八n nN—1【例。置信區(qū)間】某汽車租賃公司欲估計全年每個租賃汽車的顧客每次租賃平均行駛的里程。由于全年汽車租賃量很大，隨機抽取了200個顧客，根據(jù)記錄計算平均行駛里程X=325公里，標準差s=60公里。試估計全年所有租賃汽車每次平均行駛里程的置信區(qū)間。置信水平分別為（1）0.90，（2）0.95.解：由于樣本量n=200為大樣本，故X的抽樣分布為正態(tài)分布，X的標準差的估計值為旦=曾=4.2426vn*200總體均值的估計：X（總體均值）；P（總體比例）;WM2（兩個總體均值之差）；P1-P2（總體比例差）

（1） 置信度為90%時，Za/2=1.645，由公式x土Z蘭，置信區(qū)間為a2<nb2 /b2 /■——)=0.6827；n一、總體分布方差。2已知，用Z代表大樣本P(X-2 <旦<X+2庶)=0.W士偵45(4龍426)=325士6您，為318.02公里至331您公里之間。n n置信度為95%時Za2=1.96，u的置信區(qū)間為325±1.96(4.2426)=325-8.32?！纠?。置信區(qū)間】某藥廠在生產(chǎn)過程中改換了一種新的霉素，測定了36批產(chǎn)品的產(chǎn)出率與理論產(chǎn)出率的比值：1.281.311.481.100.991.221.651.400.951.251.321.231.431.241.731.351.310.921.101.051.391.161.191.410.980.821.220.911.261.321.711.291.171.741.511.25要求：（1）計算這一比值95%的置信區(qū)間；（2）得出上述結(jié)論時作出了什么假設(shè);（3）能否以95%的置信水平說明新霉素的產(chǎn)出率提高了。解：（1）計算得到x=1.268s=0.228,置信度為95%時Za/2=1.96,故置信區(qū)間為TOC\o"1-5"\h\z_S q228尤土Z/—=1.26811.96(./ )得1.194<u<1.342.y/n 6（3） 假設(shè)36批的樣品是隨機的。（4） 說明新的霉素的產(chǎn)出率提高了，因為置信下限已超過1.總體正態(tài)分布、方差未知、小樣本I i_ Is2 _ IS2 _n尤±—（n—1）x|—重復(fù)抽樣；（n—1）xI—（—_）不重復(fù)抽樣。a2 \n ct2 V.N—l【例。置信區(qū)間】為研究獨生子女的每月零花錢，從某小學(xué)隨機抽取了20個獨生子女的家庭，得到x=107,s=40,試以95%的置信度估計該校獨生子女小學(xué)生家庭平均每月零花錢的置信區(qū)間。解：因為t分布適用于正態(tài)總體，因此研究這一問題應(yīng)首先假設(shè)獨生子女家庭的子工非—u女零花錢應(yīng)服從正態(tài)分布，在小樣本、總體方差未知用S2代替時，~U?t（n-l）,s由公式尤土％由公式尤土％2（〃一1）x苗其置信區(qū)間為尤!（〃—l）xj—=107i2.09I——=（88.3~125.7兀）m\n \20k段設(shè)檢驗的基本思想|——}j、概率原理;|接受域和拒絕域一若在小概率范圍的區(qū)域【例】：<-n,>n（0.27內(nèi)）稱<-n,>n為拒絕域；顯著水平=>。一原假設(shè)為真的，但我們卻錯誤地拒絕了它，而這種可能性是多少？就是顯著水平a（也就是小概率原理）假設(shè)檢驗中兩類錯誤：棄真錯誤一一同第五點a 取偽錯誤一一樣本本是假的6棄真錯誤減少則取偽錯誤增加=>兩者成反比 我們只能控制“棄真錯誤〃原假設(shè)和備擇假設(shè)H:u=uH:u#u 拒絕域兩邊TOC\o"1-5"\h\z0 0 1 0H:u3uH:u<u 拒絕域左邊0 01 0H:uWuH:u>u 拒絕域右邊0 01 0二>①等號一定在原假設(shè)上；②（單側(cè)檢驗）；③一般把希望拒絕的假設(shè)放在原假設(shè)中（對立方不一樣），（拒絕的錯誤，就是棄真錯誤，更直觀地知道）在中立立場上，把可能拒絕的放在原假設(shè)中。 三種形式，希望拒絕；可能拒絕；相關(guān)關(guān)系定義一一變量間的關(guān)系一函數(shù)關(guān)系l一個變量決定了另外一個變量，是確定的完全嚴格的一相關(guān)關(guān)系：兩者間有關(guān)系，一個變量不是完全由另外一個變量確定的（受其它因素的影響）相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)形態(tài)（相關(guān)關(guān)系的類型）L線性相關(guān)：變量這間的關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條直線卜非線性相關(guān)：變量之間的關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條曲線「正相關(guān)：兩個變量同一方向變動［負相關(guān)：兩個變量相反方向變動29回歸模型：）=8+0工+￡ 回歸方程：E（y）=。+pxE（S）=00i 0 1

估計的回歸方程"+叩扁估計值為"。"1為氣；時為寧=y-bx17 nLxy=y-bx130.(1)最小二乘法b=—— —；b1 心2—(￡尤)2 ?；貧w方程參數(shù)含義：幾何意義：b0——截距；bl——斜率。 經(jīng)濟意義：bl-一回歸系數(shù)【例。最小二乘法】y--0.3280+0.3777收入(X)每增加100元，儲蓄額(y)平均增加0.3777萬元，(x每變動一個單位,y平均變動的數(shù)值)B與r(相關(guān)系數(shù))的關(guān)系:bl>0時，x、y為正相關(guān)，斜方差為正bl<0時，x、y為負相關(guān)，斜方差為負回歸方程擬合程度的分析：￡(〉一>)2=￡(§一>)2+￡(〉一§)2(SST)總變差平方和二回歸平方和SSR+剩余平方和SSE?SSR SST-SSEiSSE1、判定系數(shù)：R2= = =—= =1— SSTZ(j-j)2SSTSST判定系數(shù)取值0W&W1,判定系數(shù)越大，擬合程度越高fc=lo回歸方程線性關(guān)系檢驗：TOC\o"1-5"\h\z第一步：確定存假設(shè)H,不存在線性關(guān)系。H:存在線性關(guān)系。0 1第二步：F=(SSR/1)/[SSE/(n-2)]~F(1,n-2)第三步：確定顯著性水平，a,F(l,n-2)2第四步：F>F(1,n-2)拒絕原假設(shè)。1 2多元線性回歸回歸方程：E(y)=p+Px+Px???+Px0 11 22 kk估計回歸方程?y=b+bx+bx—bxy=b+bx+bx, 0 11 22kk 0 11 22一元線性回歸方程中Rw r相關(guān)系數(shù)，b回歸系數(shù)，&判定系數(shù)，COV