達朗貝爾原理動靜法

達朗貝爾原理動靜法第11章達朗貝爾原理（動靜法）

達朗貝爾原理提供了研究動力學問題的一個新的普遍的方法，即用靜力學中研究平衡問題的方法來研究動力學問題，因此又稱為動靜法。2

11.2剛體慣性力系的簡化11.3繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力11.1慣性力?達朗貝爾原理第11章達朗貝爾原理3FI

如圖示，設(shè)一質(zhì)點的質(zhì)量為m,加速度為a，受主動力F，約束力FN，ma=F+FNF+FN–ma=0FI=–ma（11－1）

F+FN+FI=0（11－2）FI稱為質(zhì)點的慣性力。mamFFN一、慣性力則有注意慣性力的大小和方向。令有11.1慣性力?達朗貝爾原理4二、質(zhì)點的達朗貝爾原理

上式表明作用在質(zhì)點上的主動力、約束力和慣性力在形式上組成平衡力系。這就是質(zhì)點的達朗貝爾原理。

質(zhì)點并非真的處于平衡狀態(tài)，這樣做的目的是將動力學問題轉(zhuǎn)化為靜力學問題求解。對質(zhì)點系動力學問題，這一方法具有很多優(yōu)越性。F+FN+FI=0(11－2）強調(diào)指出：11.1慣性力?達朗貝爾原理5FTFInιθO

例11－1如圖所示一圓錐擺，質(zhì)量m＝0.1kg的小球系于長l＝0.3m的繩上，繩的另一端系在固定點O,并與鉛直線成θ＝60o角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求小球的速度v與繩的張力FT的大小。mg11.1慣性力?達朗貝爾原理6解：視小球為質(zhì)點，受力分析如下：重力（主動力）：繩的張力（約束力）：慣性力：FIn

＝man=m

根據(jù)質(zhì)點的達朗貝爾原理，有：mg+FT+

FIn＝0（Ж）

mgFTFIn其中FTιθOmgFIn11.1慣性力?達朗貝爾原理7則式（ж）在圖示自然軸上的投影式為：FTcosθ-mg=0FTsinθ-FIn=0(1)(2)聯(lián)解（1）、（2）式得：FT＝＝1.96Nv＝＝2.1m/s建立如圖所示自然坐標系bnτιθFTmgFInOmg+FT＋FIn＝0（Ж）

11.1慣性力?達朗貝爾原理8練習：列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度，相對車廂靜止，求車廂的加速度a。解：以單擺為研究對象，畫受力圖加慣性力建立坐標軸xx列平衡方程角隨著加速度a的變化而變化，當a不變時，角也不變。只要測出角，就能知道列車的加速度。擺式加速計11.1慣性力?達朗貝爾原理9

主動力的合力Fi、

慣性力FIi=–miai。設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，其中任意質(zhì)點i的質(zhì)量為mi，加速度為ai。Fi+FNi+FIi=0（11－3）

該式表明：質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點系的達朗貝爾原理。（1）若把作用于此質(zhì)點上的所有力分為由質(zhì)點的達朗貝爾原理，有約束力的合力FNi，再虛擬加上此質(zhì)點的11.1慣性力?達朗貝爾原理三、質(zhì)點系的達朗貝爾原理10

外力的合力Fi（e)、

（2）若把作用于此質(zhì)點上的所有力分為:

則式（11－3）可改寫為：Fi（e)

+Fi(i)

+FIi

=0（i＝1，2，…n）對整個質(zhì)點系有：而內(nèi)力的合力Fi(i)，11.1慣性力?達朗貝爾原理11

為對點O的主矩，

上式表明，作用在質(zhì)點系上的所有外力與虛加在每個質(zhì)點上的慣性力在形式上組成平衡力系，這是質(zhì)點系達朗貝爾原理的又一表述。在靜力學中，故(14-4)稱

為主矢，在此稱為慣性力系的主矢，為慣性力系對點

O的主矩。11.1慣性力?達朗貝爾原理12

可見(11-4)與上式相比分別多出了慣性力的主矢和主矩，這在形式上也是一個平衡力系，因而可用靜力學中求解平衡問題的方法，求解動力學問題?？臻g任意力系的平衡條件為：(11-4)11.1慣性力?達朗貝爾原理13O例14－2如圖所示，定滑輪的半徑為r，質(zhì)量m均勻分布在輪緣上，繞水平軸O轉(zhuǎn)動?？邕^滑輪的無重繩的兩端掛有質(zhì)量為m1和m2的重物（m1>m2），繩與輪間不打滑，軸承摩擦忽略不計，求重物的加速度。m1gm2gmg11.1慣性力?達朗貝爾原理14兩重物：

解：取滑輪與兩重物組成的質(zhì)點系為研究對象，并對該質(zhì)點系進行受力分析：1、外力重力：m1g,m2g,mg軸承約束反力：Fox，F(xiàn)oy2、慣性力：（各加速度方向如圖示）FI1＝m1a,FI2=m2a輪緣上任意質(zhì)點i（設(shè)其質(zhì)量為mi)：FIitFIin=mia=miat=mi

anOFI2Foxm1gmim2gmgFoyFI1FIitFIinanaaat11.1慣性力?達朗貝爾原理15根據(jù)質(zhì)點系達朗貝爾原理，列平衡方程：m1gr–m2gr–FI1r–FI2r即（m1g–m2g–m1a–m2a)r–=0而=mar解得OFI2Foxm1gmim2gmgFoyFI1FIitFIinanaaat有其它方法嗎？11.1慣性力?達朗貝爾原理16OFoxm1gmim2gmgFoyaa例11－2如圖所示，定滑輪的半徑為r，質(zhì)量m均勻分布在輪緣上，繞水平軸O轉(zhuǎn)動?？邕^滑輪的無重繩的兩端掛有質(zhì)量為m1和m2的重物（m1>m2），繩與輪間不打滑，軸承摩擦忽略不計，求重物的加速度。解：以整體為研究對象，受力如圖由動量矩定理11.1慣性力?達朗貝爾原理17

例11－3飛輪質(zhì)量為m，半徑為R，以勻角速度ω定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)輪輻質(zhì)量不計，質(zhì)量均布在較薄的輪緣上，不考慮重力的影響，求輪緣橫截面的張力。ROABxy11.1慣性力?達朗貝爾原理18

每段加慣性力FIi。ΔθiθiROABxyFAFB

解：由于對稱，取四分之一輪緣為研究對象，如圖所示。FIi=miain列平衡方程取圓心角為Δθi的微小弧段，輪緣橫截面張力設(shè)為FA、FB。而FIi11.1慣性力?達朗貝爾原理19Δθi所以由于對稱，任一橫截面張力相同。0，有令11.1慣性力?達朗貝爾原理20例11-4：如下圖（a)所示，質(zhì)量為m，長為l=a+b的均質(zhì)桿BE，用鉸鏈E和繩CD與鉛垂轉(zhuǎn)軸CE連接，BE與CE的夾角為θ，CD垂直于CE。如轉(zhuǎn)軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，求繩子的拉力和鉸鏈E的約束力。abCDEBθω(a)11.1慣性力?達朗貝爾原理21

解：以細桿BE為研究對象，并對該桿進行受力分析（圖(b)）：1、外力重力：mg軸承約束反力：FEx，F(xiàn)Ey繩子的拉力：FTFExFEymgFTabCDEBθω(a)θyEBxD(b)11.1慣性力?達朗貝爾原理22設(shè)慣性力合力為FI，其作用點G距E的距離為sG。在桿長s處，取微小段ds，2、慣性力：BE桿中所有質(zhì)點的慣性力呈三角形分布（1）求慣性力合力大小及其作用位置GDEBθxFExFEymgFT(b)ysGFIsdsdFIdFI=dm·an(ω為常量，at=0)所以FI它的慣性力為dFI：11.1慣性力?達朗貝爾原理23由合力矩定理可求得合力作用線位置sG：

（2）利用動靜法，列平衡方程式，求解未知量FT–FI–FEx=0FEy–mg=0GDEBθxFExFEymgFTysGFIsdsdFI11.1慣性力?達朗貝爾原理24由上三式解得：GDEBθxFExFEymgFTysGFIsdsdFI11.1慣性力?達朗貝爾原理作業(yè)：11-3，11-6練習：11-1，11-2，11-42511.2剛體慣性力系的簡化

為了便于應(yīng)用動靜法解決剛體的動力學問題，常需將剛體中各質(zhì)點的慣性力所組成的慣性力系進行簡化，求出慣性力系的主矢和主矩。

本節(jié)將討論剛體平移，定軸轉(zhuǎn)動和平面運動時慣性力系的簡化。

以FIR表示慣性力系的主矢，則

結(jié)合（11－4）第一式和質(zhì)心運動定理知：此式適用于任何質(zhì)點做任何運動（11－5）動靜法的關(guān)鍵就是如何確定慣性力系的主矢和主矩26OCrCaC

力系主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)，主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。下面對剛體作三種運動時慣性力系簡化的主矩進行討論。1.剛體作平移1iFI1aia1FIi任一瞬時都有：

如圖，C為剛體質(zhì)心，O為簡化中心。ai＝aC該力系向O點簡化:FIi＝－miai=－mi

aC慣性力系分布如圖示。ri11.2剛體慣性力系的簡化27

若取質(zhì)心C為簡化中心，MIC表示主矩，rC=0，則有

MIC＝0因MIO一般不為零結(jié)論：平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合力，其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。2C1iFI1aCFIiFI2CaCFIROCrCaC1iFI1aia1FIiri28zxyijkxiyizirimiOαωθi2.剛體定軸轉(zhuǎn)動FIinFIit

如圖定軸轉(zhuǎn)動剛體，其上任一質(zhì)點質(zhì)量mi，同理有慣性力：xyFIinFIitxiyiriθiOαω29

工程中繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體常常有質(zhì)量對稱平面，若取此平面與轉(zhuǎn)軸z的交點O為簡化中心，則有(對z軸的慣性積）故此時慣性力系向O點簡化的主矩為：而zxyijkxiyizirimiOαωθiFIinFIit30結(jié)論：當剛體有質(zhì)量對稱平面且繞垂直于此對稱平面的軸作定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸與對稱平面的交點O簡化,可簡化為此對稱平面內(nèi)的一個作用于O點的力和一個力偶。這個力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；這個力偶的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。11.2剛體慣性力系的簡化31（1）剛體繞不通過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸作勻速轉(zhuǎn)動，圖（a）（2）剛體繞通過質(zhì)心C的軸作加速轉(zhuǎn)動，圖（b）（3）剛體繞通過質(zhì)心C的軸作勻速轉(zhuǎn)動，圖（c）OCω（a）Cωα（b）Cω（c）11.2剛體慣性力系的簡化32αωaCCMICFIR3.剛體作平面運動假設(shè)剛體平行于其質(zhì)量對稱平面作平面運動。剛體的慣性力系可簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。取質(zhì)量對稱平面內(nèi)的平面圖形，如圖示。剛體平面運動可分解為隨基點（質(zhì)心C）的平動：繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動：

11.2剛體慣性力系的簡化33結(jié)論：有質(zhì)量對稱平面的剛體，平行于此平面運動時，剛體的慣性力系簡化為在此平面的一個力和一個力偶。這個力通過質(zhì)心，其大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向與質(zhì)點加速度的方向相反；這個力偶的矩等于剛體對過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對稱面的軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。αωaCCMICFIR11.2剛體慣性力系的簡化34動靜法的解題步驟：1.選取研究對象（和靜力學相同）。2.受力分析：畫出全部主動力和約束力。3.運動分析：主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標出方向。4.虛加慣性力：在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶。一定要在正確進行運動分析的基礎(chǔ)上加慣性力。5.列平衡方程，選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。6.建立補充方程：運動學補充方程（運動量之間的關(guān)系）。7.求解未知量。11.2剛體慣性力系的簡化35CO(b)[例1]均質(zhì)桿長l

，質(zhì)量m，繞定軸O轉(zhuǎn)動的角速度為ω，角加速度α為，求慣性力系向O點簡化的結(jié)果（方向在圖上畫出）。ωαOC(a)解：該桿作定軸轉(zhuǎn)動，所以慣性力系向點O簡化的結(jié)果如下：主矢主矩討論：慣性力系向C點簡化的結(jié)果如何？方向如圖(b)示。11.2剛體慣性力系的簡化36[例2]如圖所示，電動機定子及其外殼總質(zhì)量為m1，質(zhì)心位于O處。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2，質(zhì)心位于C處，偏心距OC＝e，圖示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對稱平面。電動機用地腳螺釘固定于水平基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)軸O與水平基礎(chǔ)的距離為h。運動開始時，轉(zhuǎn)子質(zhì)心位于最低位置，轉(zhuǎn)子以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。求基礎(chǔ)與地腳螺釘給電動機總的約束力。FIFxFyMAφhm1gm2gOCωxy11.2剛體慣性力系的簡化37解：（一）取整體為研究對象，受力分析如下：重力：m1g,m2g

向A點簡化的約束反力：Fx，F(xiàn)y，M1、外力2、慣性力：只需對轉(zhuǎn)子加慣性力FI

，因轉(zhuǎn)子勻角速度轉(zhuǎn)動，所以（方向如圖示）FIFxFyMAφhm1gm2gOCωxy11.2剛體慣性力系的簡化38（二）根據(jù)達朗貝爾原理列平衡方程式解上述方程組，得FIFxFyMAφhm1gm2gOCωxy11.2剛體慣性力系的簡化39動靜法的優(yōu)、缺點及動靜法給我們的啟示①、用動靜法和用普遍定理求解動約束力的主要區(qū)別在于力矩方程：前者只要對系統(tǒng)正確地施加慣性力，就可以充分運用靜力學中的各種平衡方程及解題技巧，可對任意點取矩，這就為求解帶來了方便，可不聯(lián)立或少聯(lián)立方程；而后者，矩心一定取定點或質(zhì)心。②、主動力引起靜約束力，而慣性力引起動約束力，這種看法一方面物理意義比較鮮明；另外，求靜約束力與求動約束力的方法也統(tǒng)一，這在求解系統(tǒng)的動約束力與運動部件內(nèi)部的動應(yīng)力時十分便利。優(yōu)點：11.2剛體慣性力系的簡化40③、普遍定理概念多，定理不直觀，較難掌握，不像動靜法只有真實力、慣性力概念那樣簡單。

普遍定理沿著力的作用和運動量的描述兩條線索分析問題，而動靜法是將兩條線索從形式上轉(zhuǎn)化為只有力的簡化這一條線索，這正是動靜法或達朗貝爾原理的貢獻所在。④、盡管使用質(zhì)點的動靜法解題并不省時、省力，但是用它定性解釋一些力學現(xiàn)象，卻顯示了其優(yōu)越性。

（如解釋：轉(zhuǎn)動時的離心力）

11.2剛體慣性力系的簡化41②、加慣性力需要分析加速度，而動能定理只要求作速度分析。

若系統(tǒng)由若干剛體組成，用動靜法解題時往往需將系統(tǒng)拆開，而暴露出許多未知力；

但只要這些力不作功，在動能定理中它們?nèi)疾粫霈F(xiàn)。①、用動靜法解題時容易掩蓋系統(tǒng)運動的動力學特性（如動量守恒、動量矩守恒等）。對動靜法評價的另一觀點：

動靜法產(chǎn)生和發(fā)展于對靜力學較為了解，但對動力學了解甚少的年代，而在對動力學較為了解的今天，不宜再過分強調(diào)動靜法的應(yīng)用。缺點：11.2剛體慣性力系的簡化42------增強創(chuàng)新意識、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

動靜法給我們的啟示：

本章的動靜法和下章的虛位移原理是先輩們創(chuàng)造性思維的具體體現(xiàn)。

因用動力學普遍定理計算機器動反力比較繁瑣，于是就另辟思路，

下章將提到，因?qū)σ恍?fù)雜結(jié)構(gòu)，用靜力學平衡方程求解冗長而復(fù)雜，為此提出“虛位移”和“虛功”的概念，將靜力學問題變?yōu)閯恿W問題來處理，以“動”論“靜”。這兩種別具一格的方法，不僅成功簡化了計算問題，而且發(fā)展了原有理論，并由此產(chǎn)生了一門新的力學分支---分析力學。

提出“慣性力”，將動力學問題變?yōu)殪o力學問題來處理，以“靜”論“動”。11.2剛體慣性力系的簡化43------增強創(chuàng)新意識、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

動靜法給我們的啟示：因解決問題也許

通過了解先輩們進行創(chuàng)造性思維活動的過程和價值，增強了我們的創(chuàng)新意識，有益于培養(yǎng)我們的創(chuàng)造性思維。

偉大的科學家愛因斯坦說得好：創(chuàng)造性的想象力比知識更重要。僅是一個數(shù)學上或?qū)嶒炆系募寄芏眩?/p>

而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都要有創(chuàng)造性的想象力。想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。提出一個問題比解決一個問題更重要。

11.2剛體慣性力系的簡化44[例3]均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m1，半徑為R。均質(zhì)細長桿長l=2R，質(zhì)量為m2。桿端A與輪心為光滑鉸接。如在A處加一水平拉力F，使輪沿水平面純滾動。問：力F為多大方能使桿的B端剛好離開地面？又為保證純滾動，輪與地面間的靜摩擦因數(shù)應(yīng)為多大？ABCDFm1gm2g(a)11.2剛體慣性力系的簡化45根據(jù)達朗貝爾原理：解得：

細桿剛好離開地面時仍為平移，且地面約束力為零，設(shè)其加速度為a，受力分析如圖(b)，其中慣性力解：（一）取細桿為研究對象。CFAyFAxAm2g30oBa(b)FICABCDFm1gm2g(a)11.2剛體慣性力系的簡化46（二）取整體為研究對象，受力分析如圖(c)，ABCDFICFIAMIAFm1gm2gFNFs(c)30oa根據(jù)達朗貝爾原理：解得：其中11.2剛體慣性力系的簡化47（三）求摩擦因數(shù)，如圖(c)，而ABCDFICFIAMIAFm1gm2gFNFs(c)30oa11.2剛體慣性力系的簡化解法二：以桿為研究對象，由平面運動微分方程（動量矩定理）求a；以桿為研究對象，由質(zhì)心運動定理求約束力；以輪為研究對象，由平面運動微分方程求Fs。48[例4]牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設(shè)車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力S、T

及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦因數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M之最大值。OxyCαaCTSMmg11.2剛體慣性力系的簡化49OxyCαaC

（一）取輪為研究對象，受力分析如圖所示。解：FsFNMICFICTSMmg1、外力主動力：mg、S、T、M摩擦力和約束力：Fs，F(xiàn)N2、慣性力：（各加速度方向如圖示）（1）（2）（二）由動靜法列平衡方程式（3）（4）（5）11.2剛體慣性力系的簡化50

可見，f越大越不易滑動。Mmax的值為(*)式右端的值。所以：要保證車輪不滑動，必須由（1）—（5）式得(*)11.2剛體慣性力系的簡化51[例5]均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成φ0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。mgABφ0MIAFInFItFxFyxy

（一）選桿AB為研究對象，其作定軸轉(zhuǎn)動，受力分析如圖所示。解：1、外力主動力：mg支座反力：Fx，F(xiàn)y2、慣性力：（1）（2）（3）11.2剛體慣性力系的簡化52（二）由動靜法列平衡