2019版數(shù)學(xué)（文）高分計劃一輪高分講義：第3章三角函數(shù)、解三角形 3.4　函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象及應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．4函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用[知識梳理]1．“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（A〉0，ω>0）的簡圖“五點法”作圖的五點是在一個周期內(nèi)的最高點、最低點及與x軸相交的三個點，作圖時的一般步驟為：(1）定點:如下表所示．(2）作圖：在坐標(biāo)系中描出這五個關(guān)鍵點，用平滑的曲線順次連接得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象．（3)擴展：將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴展可得y＝Asin（ωx＋φ）在R上的圖象．2．函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx＋φ)(A〉0，ω>0）的圖象的步驟如下:[診斷自測］1．概念思辨(1)將函數(shù)y＝3sin2x的圖象左移eq\f(π,4）個單位長度后所得圖象的解析式是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，4)))。(）(2)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致．(）（3）函數(shù)y＝Acos（ωx＋φ)的最小正周期為T,那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為eq\f(T，2)。()（4)由圖象求解析式時，振幅A的大小是由一個周期內(nèi)圖象中最高點的值與最低點的值確定的．(）答案（1）×(2）×(3）√（4）√2．教材衍化(1）(必修A4P57T1)為了得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)））的圖象，只需把函數(shù)y＝sin2x的圖象上所有的點（)A．向左平行移動eq\f(π，3）個單位長度B．向右平行移動eq\f(π，3)個單位長度C．向左平行移動eq\f（π，6)個單位長度D．向右平行移動eq\f(π，6)個單位長度答案D解析y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π,3）)）可變形為y＝sineq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6））)）），所以將y＝sin2x的圖象向右平行移動eq\f（π，6）個單位長度即可．故選D.(2）（必修A4P70T18)函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3），2)cos2x的最小正周期和振幅分別是(）A．π,1B．π，2C．2π，1D．2π,2答案A解析由f（x)＝sinxcosx＋eq\f(\r（3）,2）cos2x＝eq\f(1,2）sin2x＋eq\f(\r（3)，2)cos2x＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3））)，得最小正周期為π，振幅為1。故選A。3．小題熱身（1)（2017·柳州模擬)若函數(shù)y＝sin（ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖,則ω＝（）A．5 B．4C．3 D．2答案B解析由圖象可知，eq\f（T,2）＝x0＋eq\f（π，4)－x0＝eq\f(π,4),即T＝eq\f(π,2）＝eq\f（2π,ω)，故ω＝4。故選B。（2）(2018·成都檢測）①為了得到函數(shù)y＝sin（x＋1）的圖象，只需把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點向________平移________個單位長度．②為了得到函數(shù)y＝sin(2x＋1)的圖象，只需把函數(shù)y＝sin2x的圖象上所有的點向________平移________個單位長度．答案①左1②左eq\f(1,2)題型1函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象eq\o（\s\up7(），\s\do5(典例）)(2015·湖北高考)某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（ω〉0，|φ｜〈\f(π,2)））在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表:（1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)f(x）的解析式；(2）將y＝f(x)圖象上所有點向左平行移動θ（θ>0）個單位長度，得到y(tǒng)＝g（x）的圖象．若y＝g（x）圖象的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5π，12)，0）)，求θ的最小值．用五點法．解(1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq\f（π,6).數(shù)據(jù)補全如下表：且函數(shù)表達式為f(x）＝5sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6）））。(2)由（1）知f(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6））），得g（x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋2θ－\f(π,6）））。因為y＝sinx的對稱中心為（kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－eq\f（π，6)＝kπ，k∈Z,解得x＝eq\f(kπ，2)＋eq\f(π，12）－θ,k∈Z.由于函數(shù)y＝g（x）的圖象關(guān)于點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5π,12),0)）成中心對稱，令eq\f（kπ，2）＋eq\f(π，12)－θ＝eq\f(5π，12），k∈Z，解得θ＝eq\f(kπ，2)－eq\f（π，3），k∈Z。由θ〉0可知，當(dāng)k＝1時,θ取得最小值eq\f(π，6）.[條件探究]將本典例中的條件變?yōu)椋?)求x1，x2,x3的值及函數(shù)f(x）的表達式；（2）將函數(shù)f(x）的圖象向右平移θ(θ〉0)個單位，可得到函數(shù)g(x）的圖象．若y＝g(x)的圖象的一條對稱軸方程為x＝eq\f(5π，12），求θ的最小值．解(1)由eq\f（2πω，3）＋φ＝0,eq\f（8πω，3）＋φ＝π可得ω＝eq\f（1,2），φ＝－eq\f(π,3).由eq\f（1,2）x1－eq\f（π,3)＝eq\f（π，2)，eq\f(1,2)x2－eq\f（π,3)＝eq\f(3π,2），eq\f（1,2)x3－eq\f(π，3）＝2π,可得x1＝eq\f（5π，3),x2＝eq\f（11π，3)，x3＝eq\f(14π,3）.由Asineq\f(π，2）＝2，得A＝2，所以f（x）＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(x,2）－\f(π，3)））.（2)∵f（x）＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（x,2)－\f（π,3）)）的一條對稱軸為x＝－eq\f（π，3）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π，3）〈\f(5π，12）)),∴θ＝eq\f（5π,12)＋eq\f（π,3）＝eq\f（3π，4）.方法技巧函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω〉0)圖象的作法1．五點法：用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖．如典例．2．圖象變換法:由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ）的圖象，有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．如條件探究．沖關(guān)針對訓(xùn)練(2018·濟南模擬）設(shè)函數(shù)f（x)＝sinωx＋eq\r(3）cosωx(ω〉0)的周期為π.（1）求它的振幅、初相;（2）用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；（3）說明函數(shù)f（x)的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的．解(1）f（x）＝sinωx＋eq\r(3）cosωx＝2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)sinωx＋\f(\r(3),2）cosωx)）＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（ωx＋\f(π,3））)，又∵T＝π，∴eq\f（2π,ω)＝π，即ω＝2?！鄁（x）＝2sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，3））).∴函數(shù)f（x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx的振幅為2，初相為eq\f(π，3)。(2)令X＝2x＋eq\f(π，3)，則y＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，3）))＝2sinX.列表，并描點畫出圖象：（3)把y＝sinx的圖象上所有的點向左平移eq\f（π，3）個單位長度,得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,3)））的圖象；再把y＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，3)））的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f（1，2)倍(縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3))）的圖象;最后把y＝sineq\b\lc\（\rc\(\a\vs4\al\co1（)）2x＋eq\f（π,3)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(））上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變),即可得到y(tǒng)＝2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，3））)的圖象.題型2函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用角度1由函數(shù)圖象及性質(zhì)求解析式eq\o（\s\up7（）,\s\do5(典例））函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(ω〉0，－\f（π,2）<φ<\f(π，2））)的部分圖象如圖所示，求函數(shù)f（x）的解析式．可確定T求ω，代值求φ.解由題中圖象可知eq\f（3，4)T＝eq\f(5π，12）－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,3）))?eq\f(3，4)T＝eq\f(3π，4)?T＝π，則ω＝eq\f(2π,T）＝eq\f(2π，π)＝2.又圖象過點eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5π，12)，2）)，則feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5π,12）))＝2?2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（5π,6)＋φ)）＝2?sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6）＋φ)）＝1.∵－eq\f（π,2）<φ<eq\f(π，2)，∴eq\f(π，3)<eq\f（5π，6）＋φ<eq\f（4π,3),∴eq\f（5π，6)＋φ＝eq\f（π，2),∴φ＝－eq\f(π,3）.∴函數(shù)f（x)＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3）))。角度2函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合eq\o（\s\up7（），\s\do5(典例))（2015·全國卷Ⅰ）函數(shù)f(x）＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(1，4),kπ＋\f(3,4））)，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2kπ－\f（1,4)，2kπ＋\f(3,4）))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(k－\f（1，4），k＋\f（3，4))），k∈ZD。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2k－\f（1,4)，2k＋\f（3,4））），k∈Z根據(jù)局部單調(diào)性，結(jié)合周期確定單調(diào)區(qū)間．答案D解析由題圖可知eq\f(T,2）＝eq\f（5,4)－eq\f(1，4)＝1，所以T＝2。結(jié)合題圖可知，在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（3，4），\f（5,4))）（f（x)的一個周期）內(nèi)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,4）,\f(3，4)）)。由f(x）是以2為周期的周期函數(shù)可知,f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2k－\f(1，4）,2k＋\f(3，4）)),k∈Z。故選D。角度3圖象變換與性質(zhì)的綜合eq\o(\s\up7(），\s\do5(典例)）（2018·濱州模擬)已知向量a＝(m,cos2x），b＝（sin2x，n），函數(shù)f（x)＝a·b,且y＝f（x）的圖象過點eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，12）,\r（3）)）和點eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2π，3），－2）)。(1)求m，n的值;（2)將y＝f（x）的圖象向左平移φ(0〈φ〈π）個單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g（x）圖象上各最高點到點(0，3）的距離的最小值為1，求y＝g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．本題用方程組法．解(1)由題意知f（x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x。因為y＝f（x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，12),\r（3）))和eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2π，3),－2）），所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\r（3）＝msin\f(π，6）＋ncos\f（π，6)，,－2＝msin\f（4π，3）＋ncos\f(4π，3）,））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\r（3）＝\f（1,2)m＋\f（\r(3)，2）n，,－2＝－\f（\r（3),2）m－\f(1，2)n,)）解得m＝eq\r(3)，n＝1。（2)由(1)知f（x）＝eq\r(3）sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，6)））.由題意知g(x)＝f（x＋φ）＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋2φ＋\f(π，6））)。設(shè)y＝g（x）的圖象上符合題意的最高點為(x0，2），由題意知xeq\o\al（2,0）＋1＝1，所以x0＝0，即到點（0，3)的距離為1的最高點為(0,2)．將其代入y＝g(x),得sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2φ＋\f（π,6)））＝1，因為0〈φ〈π，所以φ＝eq\f（π,6)，因此g（x）＝2sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，2)））＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－eq\f(π，2）≤x≤kπ，k∈Z.所以函數(shù)y＝g(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π,2）,kπ)），k∈Z.方法技巧結(jié)合圖象及性質(zhì)求解析式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ）＋B(A〉0，ω>0）的方法1．求A,B，已知函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m，2)，B＝eq\f(M＋m,2）。2．求ω，已知函數(shù)的周期T，則ω＝eq\f(2π,T)。3．求φ，常用方法有:（1)代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時，A，ω，B已知），或代入圖象與直線y＝b的交點求解（此時要注意交點在上升區(qū)間還是下降區(qū)間）．(2)五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（φ,ω），0))作為突破口．沖關(guān)針對訓(xùn)練1．（2017·河南洛陽統(tǒng)考）函數(shù)f（x）＝2sin（ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（ω〉0，0〈φ<\f(π,2）)）的部分圖象如圖所示，已知圖象經(jīng)過點A(0,1)，Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,3），－1))，則f(x)＝________。答案2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3x＋\f（π，6))）解析由已知得eq\f(T,2)＝eq\f（π,3)，∴T＝eq\f（2π，3），又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝3.∵f(0)＝1,∴sinφ＝eq\f（1,2)，又∵0〈φ〈eq\f(π,2），∴φ＝eq\f(π，6），∴f(x）＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3x＋\f（π,6）））(經(jīng)檢驗滿足題意）．2．（2017·朝陽區(qū)模擬）已知函數(shù)y＝2cos（ωx＋θ)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x∈R，ω〉0，0≤θ≤\f(π,2）））的圖象與y軸相交于點M（0，eq\r(3）)，且該函數(shù)的最小正周期為π.（1）求θ和ω的值；(2)已知點Aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，0)），點P是該函數(shù)圖象上一點，點Q（x0，y0)是PA的中點，當(dāng)y0＝eq\f（\r（3),2)，x0∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)，π)）時，求x0的值．解（1）將x＝0，y＝eq\r(3)代入函數(shù)y＝2cos（ωx＋θ）得cosθ＝eq\f（\r（3）,2)，∵0≤θ≤eq\f(π,2),∴θ＝eq\f(π,6）。由已知周期T＝π，且ω>0，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π，π）＝2。（2)∵Q(x0,y0)是PA的中點，點Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0）),y0＝eq\f（\r(3),2）,∴點P的坐標(biāo)為(2x0－eq\f（π，2），eq\r（3)。又∵點P在y＝2coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，6)））的圖象上，且x0∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（π,2)，π）），∴2coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（4x0－\f(5π，6）））＝eq\r（3）,eq\f(7π,6)≤4x0－eq\f（5π，6）≤eq\f(19π,6)，從而得4x0－eq\f（5π,6）＝eq\f(11π，6)或4x0－eq\f（5π，6）＝eq\f（13π,6）,解得x0＝eq\f（2π,3）或eq\f(3π,4).1.(2017·全國卷Ⅰ)已知曲線C1:y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（2π，3)）),則下面結(jié)論正確的是(）A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移eq\f（π，6）個單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f（π，12）個單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f（π,6)個單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1，2），縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f（π,12)個單位長度，得到曲線C2答案D解析∵C2:y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(2π，3)）)＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，6）＋\f（π，2）))＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，6)）)＝coseq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,12)))）),根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的規(guī)律,可得D正確．故選D。2．(2016·全國卷Ⅱ)若將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移eq\f（π，12)個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為(）A．x＝eq\f(kπ，2）－eq\f（π,6）（k∈Z) B．x＝eq\f(kπ，2)＋eq\f（π，6)(k∈Z)C．x＝eq\f（kπ，2)－eq\f(π,12）（k∈Z) D．x＝eq\f（kπ,2）＋eq\f（π，12）（k∈Z)答案B解析將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移eq\f(π,12）個單位長度得到函數(shù)y＝2sineq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，12)））)）＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,6）))的圖象,由2x＋eq\f（π,6）＝kπ＋eq\f（π，2)(k∈Z），可得x＝eq\f（kπ,2）＋eq\f（π,6)（k∈Z）．則平移后圖象的對稱軸為x＝eq\f(kπ，2)＋eq\f（π,6)（k∈Z)．故選B.3．（2017·山東日照一模)函數(shù)f（x)＝Acos(ωx＋φ）（A〉0，ω>0，－π<φ<0）的部分圖象如圖所示，為了得到g(x）＝Asinωx的圖象,只需將函數(shù)y＝f(x)的圖象（)A．向左平移eq\f（π，6)個單位長度B．向左平移eq\f(π,12）個單位長度C．向右平移eq\f（π,6)個單位長度D．向右平移eq\f(π，12）個單位長度答案B解析由題圖知A＝2，eq\f(T，2）＝eq\f（π,3)－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，6)))＝eq\f(π，2），∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos（2x＋φ），將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,3），2)）代入得coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2π,3）＋φ))＝1，∵－π〈φ<0,∴－eq\f（π，3）<eq\f（2π，3)＋φ<eq\f(2π，3)，∴eq\f（2π,3）＋φ＝0,∴φ＝－eq\f（2π,3)，∴f（x）＝2coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f（2π,3)))＝2sineq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(π,12)）)））,故將函數(shù)y＝f(x）的圖象向左平移eq\f(π，12)個單位長度可得到g(x)的圖象．故選B。4．(2017·湖北七市聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin（ωx＋φ）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(A>0,ω>0,｜φ｜<\f（π,2）))的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π，6），\f（π，3）))，x1≠x2且f(x1)＝f（x2)，則f(x1＋x2)＝（)A．1B.eq\f（1，2)C。eq\f（\r(2）,2)D。eq\f（\r(3）,2）答案D解析由題圖知A＝1，函數(shù)f(x）的最小正周期T＝2eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，3）－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，6)))））＝π，所以eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2，所以f（x)＝sin(2x＋φ),又因為點eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,6)，0））在圖象的上升段上,所以－eq\f（π,3）＋φ＝2kπ(k∈Z），所以φ＝2kπ＋eq\f(π,3)（k∈Z),又|φ｜<eq\f(π，2），所以φ＝eq\f(π，3），故f（x）＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3))),可知在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,6），\f（π，3)）)上，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝eq\f(π，12)對稱，因為x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,6)，\f(π,3)）),f（x1）＝f（x2),所以x1＋x2＝eq\f（π,6），所以f（x1＋x2)＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,6)))＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2×\f（π，6）＋\f(π，3))）＝eq\f（\r(3),2)。故選D.［基礎(chǔ)送分提速狂刷練］一、選擇題1．(2018·合肥質(zhì)檢）要想得到函數(shù)y＝sin2x＋1的圖象,只需將函數(shù)y＝cos2x的圖象（)A．向左平移eq\f(π，4）個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向右平移eq\f(π，4）個單位長度，再向上平移1個單位長度C．向左平移eq\f(π，2)個單位長度，再向下平移1個單位長度D．向右平移eq\f（π，2)個單位長度，再向下平移1個單位長度答案B解析先將函數(shù)y＝cos2x＝sineq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，4）))）)的圖象向右平移eq\f（π，4）個單位長度,得到y(tǒng)＝sin2x的圖象，再向上平移1個單位長度，即得y＝sin2x＋1的圖象．故選B。2．（2017·福建質(zhì)檢）若將函數(shù)y＝3coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2））)的圖象向右平移eq\f(π，6)個單位長度，則平移后圖象的一個對稱中心是（）A。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，6)，0）) B。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(π，6)，0））C。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，12),0)） D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(π，12）,0）)答案A解析將函數(shù)y＝3coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，2）))的圖象向右平移eq\f(π，6）個單位長度,得y＝3coseq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6））)＋\f(π,2）））＝3coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，6））)的圖象，由2x＋eq\f(π，6)＝kπ＋eq\f(π，2）（k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π，6)（k∈Z)，當(dāng)k＝0時,x＝eq\f（π,6），所以平移后圖象的一個對稱中心是eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,6）,0））。故選A。3．將函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（π，3）))的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移eq\f(π，6)個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是（）A．x＝eq\f（π，4）B．x＝eq\f(π，6）C．x＝πD．x＝eq\f(π，2）答案D解析4．(2018·廣州模擬）將函數(shù)f（x）＝sin（2x＋θ）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2)〈θ<\f（π，2)）)的圖象向右平移φ(φ〉0）個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若f(x），g(x）的圖象都經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（\r(3)，2）))，則φ的值可以是（）A.eq\f(5π,3）B.eq\f(5π,6)C。eq\f(π，2）D.eq\f（π,6)答案B解析因為函數(shù)f(x）的圖象過點P,所以θ＝eq\f(π，3），所以f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3))）。又函數(shù)f（x)的圖象向右平移φ個單位長度后,得到函數(shù)g（x）＝sineq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（2x－φ＋\f(π,3）))的圖象,所以sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,3)－2φ））＝eq\f(\r(3)，2),所以φ可以為eq\f(5π，6）。故選B。5．(2018·湖北調(diào)研)如圖所示，某地一天6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）＋b的圖象，則這段曲線的函數(shù)解析式可以為(）A．y＝10sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,8)x＋\f(3π，4))）＋20，x∈[6,14]B．y＝10sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，8)x＋\f(5π,4))）＋20，x∈[6，14]C．y＝10sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，8）x－\f(3π，4）)）＋20，x∈［6，14]D．y＝10sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，8)x＋\f（5π，8）））＋20，x∈［6，14］答案A解析由三角函數(shù)的圖象可知,b＝eq\f（10＋30,2)＝20，A＝eq\f(30－10，2）＝10，eq\f（T，2）＝14－6＝8?T＝16＝eq\f(2π,ω)?ω＝eq\f（π,8)，則y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,8)x＋φ）)＋20，將(6,10)代入得10sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（6π，8)＋φ）)＋20＝10?sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3π,4)＋φ))＝－1?φ＝eq\f(3π，4）＋2kπ(k∈Z）．取k＝0，得φ＝eq\f(3π，4).故選A.6．（2015·安徽高考)已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）(A,ω，φ均為正的常數(shù)）的最小正周期為π,當(dāng)x＝eq\f（2π，3）時，函數(shù)f(x）取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（)A．f（2）<f(－2）〈f(0） B．f（0)<f(2)〈f(－2）C．f（－2)〈f(0）<f(2) D．f(2）〈f(0）<f(－2）答案A解析∵f(x）＝Asin（ωx＋φ)的最小正周期為π，且x＝eq\f（2π,3)是經(jīng)過函數(shù)f（x）最小值點的一條對稱軸，∴x＝eq\f（2π,3)－eq\f(π,2)＝eq\f（π,6）是經(jīng)過函數(shù)f（x)最大值點的一條對稱軸．∵eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(2－\f(π,6）)）＝eq\f(12－π，6)，eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(π－2－\f(π,6)）)＝eq\f(5π－12，6),eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(0－\f（π,6)）)＝eq\f（π,6）,∴eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（2－\f(π,6）））>eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（π－2－\f（π，6）））>eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（0－\f(π，6）))，且－eq\f（π，3)<2〈eq\f（2π，3)，－eq\f(π,3)<π－2〈eq\f（2π,3),－eq\f(π，3)〈0〈eq\f（2π，3)，∴f（2）〈f（π－2）〈f(0）,即f（2)<f（－2)〈f(0）．故選A.7．（2018·安陽檢測）已知函數(shù)f(x）＝sin(ωx＋φ）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(ω〉0，|φ|〈\f（π，2)）)的部分圖象如圖所示，則eq\o（∑，\s\up16(2018)，\s\do14（n＝1）)feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（nπ，6）））＝（）A．－1B．0C。eq\f(3,2)D．1答案C解析易得ω＝2，由五點法作圖可知2×eq\f(π，6)＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,6)，即f(x)＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,6)))。故feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,6）)）＝1，feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2π，6）））＝eq\f(1,2），feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3π,6）))＝－eq\f(1，2)，feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4π，6)))＝－1，feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5π,6))）＝－eq\f(1，2），feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(6π，6)）)＝eq\f(1,2），故eq\o(∑，\s\up16（2018),\s\do14（n＝1）)feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(nπ,6)））＝336×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，2）－\f(1,2）－1－\f(1,2）＋\f(1,2）))＋1＋eq\f（1,2）＝eq\f(3,2)。故選C。8．(2017·河北二模）要得到函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3)）)的圖象，只需將函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3))）的圖象（）A．向左平移eq\f(π，2）個單位長度B．向右平移eq\f(π,2)個單位長度C．向左平移eq\f（π，4）個單位長度D．向右平移eq\f（π，4)個單位長度答案C解析f(x)＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,3)））＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（5π，6)）)，故把g(x)＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3））)的圖象向左平移eq\f（π，4）個單位，即得函數(shù)f(x）＝sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,4)）)＋\f(π，3)））的圖象，即得到函數(shù)f（x)＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,3）））的圖象．故選C.9．如圖，函數(shù)f(x）＝Asin（ωx＋φ）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω〉0，｜φ|≤\f（π,2)))的部分圖象與坐標(biāo)軸的三個交點P，Q,R滿足P(1，0)，∠PQR＝eq\f（π，4)，M（2，－2）為線段QR的中點，則A的值為()A．2eq\r(3）B。eq\f（7\r（3),3)C.eq\f(8\r(3),3)D．4eq\r（3）答案C解析依題意得，點Q的橫坐標(biāo)是4，點R的縱坐標(biāo)是－4，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2｜PQ|＝6，Asinφ＝－4,feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1＋4,2）)）＝A，∴ω＝eq\f(π,3),Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,3)×\f(5,2）＋φ））＝A,∴sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5π，6）＋φ））＝1.又｜φ｜≤eq\f（π,2），∴eq\f（π,3)≤eq\f（5π,6）＋φ≤eq\f（4π，3)，∴eq\f（5π，6）＋φ＝eq\f（π,2），φ＝－eq\f（π,3），∴Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,3))）＝－4，A＝eq\f（8\r(3）,3）。故選C.10．（2015·湖南高考)將函數(shù)f(x)＝sin2x的圖象向右平移φeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0〈φ〈\f（π,2))）個單位后得到函數(shù)g（x)的圖象．若對滿足｜f（x1）－g（x2)｜＝2的x1，x2，有|x1－x2｜min＝eq\f（π,3），則φ＝()A。eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3）C.eq\f(π,4)D.eq\f(π，6）答案D解析g(x)＝sin[2(x－φ）]＝sin（2x－2φ)．∵｜f（x）｜≤1，|g(x)｜≤1，∴|f(x1)－g（x2)|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)f(x1）＝1,g（x2）＝－1或f（x1）＝－1，g(x2)＝1時，滿足｜f（x1）－g（x2）|＝2.不妨設(shè)A（x1,－1)是函數(shù)f（x）圖象的一個最低點，B(x2，1)是函數(shù)g(x）圖象的一個最高點,于是x1＝k1π＋eq\f(3π，4）(k1∈Z)，x2＝k2π＋eq\f(π，4）＋φ（k2∈Z)，∴｜x1－x2｜≥eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f(3π，4）－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,4）＋φ)））)＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（π,2）－φ）).∵φ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f（π,2))），∴｜x1－x2｜≥eq\f(π，2)－φ.又∵|x1－x2｜min＝eq\f（π,3),∴eq\f（π，2)－φ＝eq\f(π,3),即φ＝eq\f(π,6）.故選D.二、填空題11．已知函數(shù)y＝sinωx(ω>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,要得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x，2）＋\f(π，12）))的圖象，則需將函數(shù)y＝sinωx的圖象向________平移________個單位長度．答案左eq\f(π,6）解析由圖象知函數(shù)y＝sinωx的周期為T＝4π，∴ω＝eq\f(2π,T）＝eq\f(1，2)，故y＝sineq\f(1，2)x。又y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))＝sineq\f(1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，6)）），∴將函數(shù)y＝sineq\f（1,2）x的圖象向左平移eq\f（π,6)個單位長度，即可得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x，2)＋\f(π，12））)的圖象．12．(2017·河南一模）將函數(shù)f(x)＝2cos2x的圖象向右平移eq\f(π，6）個單位后得到函數(shù)g（x)的圖象,若函數(shù)g(x）在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f（a,3）))和eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（2a，\f(7π，6）))上均單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(π，3),\f（π，2))）解析將函數(shù)f(x）＝2cos2x的圖象向右平移eq\f(π，6）個單位后得到函數(shù)g（x)的圖象，得g（x）＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（π,6)）))）＝2coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π，3））），由－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ,得－eq\f（π，3)＋kπ≤x≤eq\f(π，6）＋kπ，k∈Z.當(dāng)k＝0時，函數(shù)的增區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（π,3)，\f（π,6）)),當(dāng)k＝1時，函數(shù)的增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)，\f（7π，6)）)。要使函數(shù)g（x)在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a，3）)）和eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(2a，\f(7π,6）)）上均單調(diào)遞增，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0〈\f（a，3）≤\f(π,6),,\f(2π,3）≤2a<\f(7π，6），）)解得a∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π，3），\f(π，2）)）.13．(2017·三明一模）已知函數(shù)f（x)＝Mcos(ωx＋φ)（M〉0，ω〉0，0〈φ〈π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，AC＝BC＝eq\f（\r(2），2），∠C＝90°,則feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2))）的值為________．答案－eq\f(1，2)解析依題意，知△ABC是直角邊長為eq\f（\r（2)，2)的等腰直角三角形，因此其邊AB上的高是eq\f（1，2）,函數(shù)f(x）的最小正周期是2，故M＝eq\f(1，2），eq\f(2π,ω）＝2，ω＝π,f(x）＝eq\f（1,2）cos（πx＋φ)．又函數(shù)f（x)是奇函數(shù),于是有φ＝kπ＋eq\f(π,2),k∈Z。由0<φ〈π，得φ＝eq\f（π,2)，故f（x）＝－eq\f（1,2）sinπx，feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）)）＝－eq\f(1，2)sineq\f(π，2）＝－eq\f（1，2）.14．（2017·煙臺二模)已知函數(shù)f（x）＝cos(2x＋φ）的圖象關(guān)于點eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2π，3），0）)對稱，若將函數(shù)f(x）的圖象向右平移m（m〉0）個單位得到一個偶函數(shù)的圖象，則實數(shù)m的最小值為________．答案eq\f（π，12)解析∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π，3)，0））對稱,∴2×eq\f（2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2）(k∈Z)，解得φ＝kπ－eq\f(5π,6）,k∈Z.∴f（x)＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋kπ－\f（5π，6））)，k∈Z?！遞(x）的圖象向右平移m個單位得到函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－2m＋kπ－\f(5π，6））)（k∈Z）為偶函數(shù)，∴x＝0為其對稱軸，即－2m＋kπ－eq\f(5π，6）＝k1π（k∈Z，k1∈Z),m＝eq\f(k－k1π,2）－eq\f(5π，12）(k∈Z，k1∈Z)，∵m>0，∴m的最小正值為eq\f(π,12），此時k－k1＝1,k∈Z,k1∈Z。三、解答題15．（2017·九原期末）已知函數(shù)f（x)＝3sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（