固體物理第章平面波法

關(guān)于固體物理第章平面波法第一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日§5.3平面波方法模型：平面波方法就是三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似。勢能是具有周期性的函數(shù)，可以作傅氏展開。由勢場的周期性因為是實數(shù)，所以因為為正格矢，所以必為倒格矢，即第二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日5.3.1微擾計算哈密頓量可寫為為方便計算，我們?nèi)菽芷骄礦0=0，這樣第三頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日考慮到后解薛定諤方程，由布洛赫定理可知波函數(shù)應(yīng)為：其中周期性因子展成傅里葉級數(shù)，將代入薛定諤方程第四頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日上式點乘并對整個晶體積分得：在上式求解過程中，利用了關(guān)系式：第五頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日因為有無數(shù)多個取值，所以上式是一個無限多項的方程式。在計算精度范圍內(nèi)，可取有限項平面波來作的近似。在此情況下，上式就變?yōu)橐粋€有限項的方程。這樣的方程構(gòu)成了一個齊次方程組。有解的條件是，它的系數(shù)行列式為零。若以為行的指標(biāo)，為列的指標(biāo)，行列式的元素為如下形式：第六頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日由此行列式可求出電子的能量。如果電子的行為接近于自由電子時，其波函數(shù)與平面波相近:其他系數(shù)是小量；電子能量也與自由電子能量近似在中電子的近自由電子行為是由勢場決定的，此種情況的勢場起伏不大，中心方程中的系數(shù)是小量。若忽略掉二級小量，中心方程簡化為：第七頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日即當(dāng)遠(yuǎn)離時，由于是小量，所以也是小量，但當(dāng)時，變得很大，此時中心方程中除和不能忽略外其它項仍是二級小量,可以忽略。中心方程化為:第八頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日利用：就可得到：由此可知，當(dāng)時，波矢k將對應(yīng)兩個能級，第九頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日這兩能極之間的能量區(qū)間稱為禁帶，禁帶寬度為相應(yīng)傅里葉分量絕對值的二倍。發(fā)生能量不連續(xù)的波矢滿足的條件可改寫為：在禁帶中不存在布洛赫波描述的電子態(tài)。禁帶寬度0上式的幾何意義是：在空間中從原點所作的倒格矢的垂直平分面的方程。第十頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日我們令，則從圖中可以看出，不僅與的模相等，而且，若把看作中垂面的入射波矢，恰是中垂面的反射波矢。若不考慮雜質(zhì)和缺陷引起的散射，電子的散射只能是晶格引起的。波矢為態(tài)的反射波就是與垂直的晶面族引起的。由第一章知，這組晶面的面間距0第十一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日由圖可知這正是與垂直的晶面族對應(yīng)的布拉格反射公式。一維：屬于一個布里淵區(qū)的能級構(gòu)成一個能帶，不同的布里淵區(qū)對應(yīng)不同的能帶，在布里淵區(qū)邊界能帶與能帶之間出現(xiàn)能隙。