專題-數(shù)列求和的基本方法和技巧 verygood(5份)

11n1nnnn3*n數(shù)列求和基本方法和巧11n1nnnn3*n數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容又學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基.在考和各種數(shù)競賽中都占有重要的地數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和需要一定的技巧下，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技一利常求公求利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方、等數(shù)列求和公式：

n

na)nn122、等比數(shù)列求和公式：

S

n

na(1)1

(q(q、、

Sn2k1kSnn3n2k

4

Sn

k

k

2

1(1)(2n6[例1]已知x3

32

，求

x

2

3

n

的前和.xlog解：由2由等比數(shù)列求和公式得

3

1x232nn1)(12n＝＝＝－1112

12n

（利用常用公式）[例2]設(shè)S＝…+n，∈求n

Sf(n(n

n

的最大解：由等差數(shù)列求和公式得

n

12

1nn，S(n2)2

（利用常用公式）∴

Sf(n(n

n

＝

nn2n＝＝(n

18n

)2

1501

nn∴當(dāng)

n

88

，即＝8時

f)max

150二錯相法和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前項公式時所用的方法這種方法主要用于求{·b}前nn項和，其中{a}{}別是等差數(shù)列和等比數(shù)n[例3]求和：

xx3n

n

……①解：由題可知，{

n

}通項是等差數(shù){2n－1}通項與等比數(shù)列{

n

}通項之積設(shè)

xxn

2

3

4

n

……….②

（設(shè)制錯位）①－②得

)xxn

n

（錯位相再利用等比數(shù)列的求和公式得：

(1)xn

n

n∴

n

n

n)

n

)[例4]求數(shù)列

2462,,22232

前的.21解：由題可知，{}通是等差數(shù){的通項與等比數(shù)列{}通項之積2n設(shè)

22223n

………………①16nS22223

……………②制錯位）①－②得

1222)222342n122n

（錯位相∴

n

n2n三反相法和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序它與原數(shù)列相加，就可以得到n個

(a)1

[例5]求證：

C12nnnn證明：設(shè)

Cn

01C2nnn

…………..①2

nn把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得nn(2nn

nn

(2nC

nn

1n

C

0n

（反序）又由

Cmnn

可得(2nCCnnn

…………..……..②①②

Cn

0n

1n

nn

C

nn

2(n

n

（反序相加）∴

nn

n[例6]求sin

2

2

2

2

2

的值解：設(shè)

Ssin

sin2

sin3

89

………….①將①式右邊反序得S

2

2

i

i

………②

（反序）又因為

sinxcos(90

x2x①②

（反序相加）

2

cos

2

)(sin

2

2

)

2

cos

2

)

＝89∴＝四分法和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即.[例7]求數(shù)列的前n項：

1

11aan

n

，解：設(shè)

n

112)aan將其每一項拆開再重新組合得11aa2an

（分組）當(dāng)a，

n

(3nnnn＝2

（分組求和）當(dāng)

a

時，

S

(3a(3＝a[例8]求數(shù)列{的項和解：設(shè)

1)(2k2kk

3

k

2

3

nnnnnnnnnnnnnn∴

Skkn

k

3

2

)kk將其每一項拆開再重新組合得＝

2

k

3

k

（分組）k

k＝

3

3

3

)

2

2

)＝

2

(nnnn(2

（分組求和）＝

(

(2)五裂法和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用裂法實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目.通分（裂項：（1

(nf(nn

（2

sin1n

tan(n

tan

（3

n

11nn

（4

(2)211a()(2（5

n

[(n2)2nn(n2)

]

an

n111則n(2nn2nn(nn(n

n[例9]求數(shù)列

,

3

,

n

,

的前n項和.解：設(shè)

nn

（裂項）則

n

2

3

n

（裂項求和）＝＝

21)3)4

nn[例在數(shù){}，n

an

12nn

，又

bn

2an

n

，求數(shù)列{}前n項和n解：∵

an

12nn2∴

21bn22

（裂項）∴數(shù)列{}前n項n11111))))]234

（裂項求和）＝

1n

)

＝

8nn[例求證：

1cos2cos88sin解：設(shè)

0

1cos1

12

88

1cos89

∵

sin1cosn

tan(nn

（裂項）∴

11028889

（裂項求和）＝

1

{(tan1

tan0)2

)(tan3

tan2)89

]}＝

1)＝sin1sin1

＝

1∴原式成立六合法和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，將這些項放在一起先求和，然后再求n[求°cos2°°cos178°cos179°的值.解：設(shè)＝cos1+cos2°cos3°cos178°cos179°n∵

cos

cos(180

)

（找特殊性質(zhì)項）∴＝（°+°）（°°）（°+°+·n+（cos89+°）cos90合并求和）＝[例數(shù){}n

aa123

n

n

n

，求2002解：設(shè)＝2002

123

20025

由

a2,a1

n

n

n

可得a46aaa7810??

6k

a

6

a

6

a

6k

a

6k

6

∵

6

6k

6

6

6k

6k

（找特殊性質(zhì)項）∴＝

123

2002

（合并求和）＝

(a12367812

6k

6k

6k

)1993

1994

1998

)1999

2000

2001

2002＝

1999

2000

2001

2002＝

6

6

6

6k＝5[例在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若

aa5310

的值.解：設(shè)

logaan312310由等比數(shù)列的性質(zhì)

man

（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì)

logMlogNlogaaa

得a)(loga)log)n31310335

（合并求和）＝＝

)a))31032log933＝10七利數(shù)的項和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的律來求數(shù)列的前和，是一個重要的方.[例求

1111個1

之和6

nnnn解：由于

111個1

19

19999個1

（找通項及特征）∴

1111個＝

111(101(103999

n

（分組求和）＝＝

1129個＝

181

(10

n

[例已知數(shù){}

an

8(3)

,求n)nnn

的值解：∵

(nn

n

)