2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基?？贾v義專(zhuān)題13：排列組合二項(xiàng)式定理【解析版】

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專(zhuān)題13排列組合二項(xiàng)式定理一、真題特點(diǎn)分析：1.【2020上海交大6】從2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，5個(gè)白球（同色球完全相同）中任意取6個(gè)，有_______________種不同的取法．2.【2021中科大】設(shè)個(gè)人進(jìn)行互相傳球游戲，每個(gè)拿球的人等可能地把球傳給其他人中的任何一位，．若初始時(shí)球彺甲手中，則第次傳球之后，球又回到甲手中的概率為_(kāi)_______．答案：3.【2020年清華11】從0到9這十個(gè)數(shù)中任取五個(gè)數(shù)組成一個(gè)五位數(shù)（可以等于0），則的概率為（）．A． B． C． D．二、知識(shí)要點(diǎn)拓展1.分類(lèi)加法原理（加法原理）:.2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）:.3.排列數(shù)公式:==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.4.排列恒等式：（1）；（2）；（3）；(4).5.組合數(shù)公式：===(，，且).6.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：(1)=；(2)+=；注:規(guī)定.7.組合恒等式（1）；（2）=；（3）；(4)；(5)；(6)；8.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：.9.二項(xiàng)式定理：;二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：.幾個(gè)基本組合恒等式：①；②；③；④；⑤；⑥（范德蒙公式）。不盡相異的個(gè)元素的全排列：在個(gè)元素中，有個(gè)元素相同，又另有個(gè)元素相同，。。。。，一直到另有個(gè)元素相同，且，這個(gè)元素的全排列叫做不盡相異的個(gè)元素的全排列。不難得到，此全排列數(shù)計(jì)算公式為：。從個(gè)元素里取個(gè)元素的環(huán)排列：從個(gè)不同元素中任取個(gè)元素按照?qǐng)A圈排列，這種排列叫做從個(gè)元素里取個(gè)元素的環(huán)排列。如果元素之間的相對(duì)位置沒(méi)有改變，它們就是同一種排列。把一個(gè)個(gè)元素的環(huán)在個(gè)不同的位置拆開(kāi)，即得個(gè)不同的線(xiàn)排列。由于個(gè)不同元素中任務(wù)個(gè)元素的排列方法種，所以個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的環(huán)排列方法有種。特別地，個(gè)不同元素的環(huán)排列方法有（種）。?注：排列數(shù)，有些地方也記為。一次不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)等于（或）；正整數(shù)解的個(gè)數(shù)等于（或）。錯(cuò)位排列問(wèn)題：設(shè)集合，所有元素的一種全排列，滿(mǎn)足，則稱(chēng)這樣的排列為錯(cuò)位全排列。用表示錯(cuò)位全排列總數(shù)，則。排列、組合應(yīng)用題常用的解法有：①運(yùn)用兩個(gè)基本原理（加法原理、乘法原理）；②特殊元素（位置）優(yōu)先考慮；③捆綁法；④插入法；⑤排除法；⑥機(jī)會(huì)均等法；⑦轉(zhuǎn)化法。證明組合恒等式的常用方法有：①賦值法；②母函數(shù)法；③構(gòu)造組合模型法。三、典例精講例1．（華南理工）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）。（B）（C）（D）?答案A?分析與解答：的系數(shù)。例2．（2011“卓越聯(lián)盟”）數(shù)列共有11項(xiàng)，，且。滿(mǎn)足這種條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）（A）100（B）120（C）140（D）160?分析與解答：依題意，或，設(shè)有個(gè)1，則有個(gè)-1，依題意知：，所以。從而所有這樣的數(shù)列個(gè)數(shù)為。故選B。例3．（復(fù)旦）對(duì)于一個(gè)四位數(shù)，其各位數(shù)字至多有兩個(gè)不相同，試求共有多少個(gè)這種四位數(shù)？?分析與解答：顯然，四位數(shù)全部相同的四位數(shù)恰有9個(gè)，下面考慮四位數(shù)字恰有兩個(gè)不同數(shù)字的四位數(shù)，分三個(gè)步驟考慮：第一步，先考慮千位數(shù)字，有9種可能取法：1,2,3，。。。9第二步，再考慮百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字，由于恰有兩個(gè)不同數(shù)字，故除了千位數(shù)字外，再?gòu)闹羞x出1個(gè)數(shù)碼。第三步：前兩步兩個(gè)數(shù)碼確定后，再對(duì)個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字進(jìn)一步確定；這三個(gè)位置上分別各有2種可選擇性，但要去掉一種情況：即個(gè)位、十位、百位上的數(shù)碼選出的都和千位數(shù)字完全相同，故有種選法。綜上，共有四位數(shù)個(gè)。例4．（復(fù)旦）三邊均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形共有（）個(gè)。（A）20（B）26（C）30（D）36?答案：D?分析與解答：不妨設(shè)三邊長(zhǎng)為，且，則。若，，共1個(gè)；若，共2個(gè)；若，共3個(gè)；若，共4個(gè)；若，共5個(gè)；若，共6個(gè)；若，共5個(gè)；若，共4個(gè)；若，共3個(gè)；若，共2個(gè)；若，共1個(gè)。故共有個(gè)。例5．（同濟(jì)）若多項(xiàng)式，則。?答案：-10?分析與解答：考慮兩邊的系數(shù)，易知。再考慮兩邊的系數(shù)，右邊。左邊的系數(shù)為0，所以。例6．（上海交大）中的系數(shù)為。?答案：?分析與解答：原式，故的系數(shù)為。例7．（上海交大）通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或1（）。設(shè)，表示和中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)。問(wèn)存在多少個(gè)5元數(shù)組，使得；問(wèn)存在多少個(gè)5元數(shù)組，使得；令，求證：。?分析與解答：（1）滿(mǎn)足條件的數(shù)組共有個(gè)。滿(mǎn)足條件的數(shù)組共有個(gè)。設(shè)中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為0的共有個(gè)，同時(shí)為1的共有個(gè)，從而對(duì)應(yīng)項(xiàng)一項(xiàng)為1、一項(xiàng)為0的共有個(gè)，這里，從而。而，得證。例8．8個(gè)女孩和25個(gè)男孩圍成一圈，任何兩個(gè)女孩之間至少站兩個(gè)男孩，問(wèn)共有多少種不同的排列方法（只要把圈旋轉(zhuǎn)一下就重合的排法認(rèn)為是相同的）.?分析：以1個(gè)女孩和2個(gè)男孩為一組，且使女孩恰好站在兩個(gè)男孩中間，余下的9個(gè)男孩和這8個(gè)組被看成是17個(gè)元素，顯然這17個(gè)元素任意的圓排列是滿(mǎn)足題意的．?分析：先從25個(gè)男孩中選出9個(gè)男孩共有種可能。其次，上述17個(gè)元素的圓排列數(shù)為種.再次，分在8個(gè)組內(nèi)的16個(gè)男孩在16個(gè)位置上的排列是，所以總的排列方法數(shù)為：．例9．（北大）求證:對(duì)任意的正整數(shù)，必可表示成的形式，其中。?分析與解答：由二項(xiàng)式定理，。而，所以，，當(dāng)時(shí)，令，則，顯然，且；當(dāng)時(shí)，令即可。四、真題訓(xùn)練1.（復(fù)旦）設(shè)有個(gè)不同顏色的球，放入個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，則不同的放法有（）種。（B）（C）（D）2.（復(fù)旦）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，若前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）（A）2（B）3（C）4（D）53.（復(fù)旦）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中系數(shù)之比為的相鄰兩項(xiàng)是（）。（A）第29、30項(xiàng)（B）第33、34項(xiàng)（C）第55、56項(xiàng)（D）第81、82項(xiàng)4.（復(fù)旦）5個(gè)不同元素排成一列，規(guī)定不許排第一，不許排第二，不同的排法共有（）（A）64種（B）72種（C）78種（D）84種5.（復(fù)旦）設(shè)是由三個(gè)不同元素組成的集合，且是的子集族，滿(mǎn)足性質(zhì)：空集和屬于，并且中任何兩個(gè)元的交集和并集還屬于。問(wèn)所有可能的的個(gè)數(shù)為（）。（A）29（B）33（C7）43（D）596.（復(fù)旦）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使一條棱的兩端點(diǎn)異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)為（）（A）120（B）260（C）340（D）4207.（復(fù)旦）在的展開(kāi)式中有（）項(xiàng)為有理數(shù)。（A）10（B）11（C）12（D）138.（復(fù)旦）在集合中任選兩個(gè)數(shù)作為橢圓方程中的和，則能組成落在矩形區(qū)域內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)是（）（A）70（B）72（C）80（D）889.（武大）某停車(chē)場(chǎng)內(nèi)有序號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)車(chē)位順次排成一排，現(xiàn)在四輛車(chē)需要停放，若兩車(chē)停放的車(chē)位必須相鄰，則停放方式種數(shù)為（）。（A）120（B）48（C）24（D）1210.（復(fù)旦）在的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（）。第4,6項(xiàng)（B）第5,6,項(xiàng)（C）第5,7項(xiàng)（D）第6,7項(xiàng)11.（復(fù)旦）對(duì)所有滿(mǎn)足的，極坐標(biāo)方程表示的不同雙曲線(xiàn)條數(shù)為（）。（A）6（B）9（C）12（D）1512.（武大）a,b,c,d,e五人站成一排準(zhǔn)備合影，如果a要求既不與b相鄰，也不與c相鄰，那么不同的排法有（）（A）12種（B）24種（C）36種（D）72種13.（武大）設(shè)是等差數(shù)列，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)仍能成等差數(shù)列，則這樣不同的等差數(shù)列最多有（）。（A）90個(gè)（B）120個(gè)（C）180個(gè)（D）200個(gè)14.（武大）如果9名同學(xué)分別到三個(gè)不同的工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐調(diào)查活動(dòng)，每個(gè)工廠3人，那么不同的分配方案共有（）種（B）種（C）種（D）種15.（武大）一個(gè)口袋中裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從袋中每次至少取一個(gè)球，共4次取完，那么不同的取球方式共有（）（A）40種（B）28種（C）16種（D）10種16.（武大）在的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和是（）。（A）1（B）（C）-1（D）真題訓(xùn)練答案1.【答案】D【分析與解答】：由條件，個(gè)盒子所放球只能為1個(gè)盒子放2個(gè)，其余個(gè)盒子放1個(gè)；其中放2個(gè)球盒子共有種選法放在一起的2個(gè)球共有種選法，其余個(gè)球放在個(gè)盒子中，共有種選法。故不同放法共有種。2.【答案】B【分析與解答】：由條件，前3項(xiàng)系數(shù)分別為1、、，故解得。從而，其中。要使為有理項(xiàng)，則，從而，故共有3項(xiàng)有理項(xiàng)。3.【答案】B【分析與解答】：，則，故相鄰兩項(xiàng)為第33、34項(xiàng)。4.【答案】C【分析與解答】：若排第一，共有種排法；若排第二，共有種排法；若排第一且排第二，有種排法。由容斥原理，共有種不同排法。5.【答案】A【分析與解答】：按照集合所含元素個(gè)數(shù)分類(lèi)。若為二元集，即，共1個(gè)；若為三元集，有、、、、、，共6個(gè)；若為四元集，有、、、、、、、、，共9個(gè)；若為五元集，有、、、、、，共6個(gè)；若為六元集，有、、、、、，共6個(gè)；若為七元集，不存在集合滿(mǎn)足要求；若為八元集，即，共1個(gè)。故共有個(gè)。6.【答案】D【分析與解答】：若用五種顏色，則共有種方法；若用四種顏色，共有種方法；若用三種顏色，由于四個(gè)側(cè)面中任一個(gè)面確定下來(lái)，其余也隨之確定，故共有種方法。從而不同染色方法共有種。7.【答案】D【分析與解答】：，要使其為有理數(shù)，則。又，故，從而共有13項(xiàng)為有理數(shù)。8.【答案】B【分析與解答】：對(duì)橢圓，有，故落在矩形區(qū)域內(nèi)的橢圓滿(mǎn)足且，故共有個(gè)。9.【答案】B【分析與解答】：可停在共有4種可能，且可互換位置；可停在余下3個(gè)位置，共有種可能。故停放方式共有種。10.【答案】C【分析與解答】：，為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，又，故或6時(shí)，最大，即為第5、7項(xiàng)。11.【答案】A【分析與解答】：離心率，故，從而，共有6條。12.【答案】C【分析與解答】：若相鄰，將看成整體，共有種排法；若相鄰，同理也有48種排法；若相鄰且相鄰，則將看成整體，有種，又可換，故此時(shí)共有種排法。從而所求排法數(shù)為種。13.【答案】C【分析與解答】：易知成等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)成等差數(shù)列，即，即只要與同奇偶就對(duì)應(yīng)1個(gè)等差數(shù)列。令，則、同屬于A或同屬于B，從而不同等差數(shù)列共有個(gè)。14.【答案】A【分析與解答】：9個(gè)人中先選3個(gè)人到第一個(gè)工廠，再在余下6個(gè)人中選3個(gè)人到第二個(gè)工廠，那么剩下的3個(gè)人去第三個(gè)工廠，共有種方案。15.【答案】B【分析與解答】：4次中有1次取2個(gè)球，則這一次共有4種可能。所取2個(gè)球若為2個(gè)白球，則剩下3個(gè)紅球，只有1種可能；若所取為2個(gè)紅球則剩下1個(gè)紅球和2個(gè)白球，可能為紅、白、白或白、紅、白或白、白、紅，有3種可能；若所取為1個(gè)紅球1個(gè)白球，則剩下2個(gè)紅球和1個(gè)白球，同理有3種可能。故不同的取球方式有種。16.【答案】D【分析與解答】：設(shè)，令，得。五、強(qiáng)化訓(xùn)練A組1、（華南理工）在的展開(kāi)式，的系數(shù)為（）（A） （B） （C） （D）【詳解】易知的系數(shù)為故選A。2、（復(fù)旦）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，若前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【詳解】易知或1（舍），則，若是有理項(xiàng)，只需是的倍數(shù)即可，故可取，共3項(xiàng)，故選B。3、（復(fù)旦）5個(gè)不同元素排成一列，規(guī)定不許排第一，不許排第二，不同的排法共有（）（A）64種 （B）72種 （C）78種 （D）84種【詳解】當(dāng)排第一時(shí)，有種方法；當(dāng)不排第一時(shí)，，共種，故選C。4、（復(fù)旦）設(shè)是由三個(gè)不同元素所組成的集合，且是的子集族，滿(mǎn)足性質(zhì)：空集和屬于，并且中任何兩個(gè)元的交集和并集還屬于。問(wèn)所有可能的的個(gè)數(shù)為（）（A）29 （B）33 （C）43 （D）59【詳解】可以T的元素個(gè)數(shù)來(lái)討論，若T為二元集，則只有1個(gè)；若T為三元集，有共6個(gè)；若T為四元集，有等共9個(gè)；若T為五元集，有等共6個(gè)；若T為六元集，有等共6個(gè)；若T為七元集，有0個(gè)；若T為八元集，即包含所有子集，即1個(gè)，共計(jì)29個(gè)，故選A。5、（復(fù)旦）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使一條棱的兩端點(diǎn)異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)為（）（A）120 （B）260 （C）340 （D）420【詳解】共有5個(gè)頂點(diǎn)，若用五種顏色，則種；若用4種顏色，共有種；若用3種顏色，則必有一個(gè)側(cè)面確定下來(lái)，剩下兩點(diǎn)也能夠確定，故共有種，故共有420種方法，選D。6、（復(fù)旦）求在十進(jìn)制中最后4位?！驹斀狻?，易得末尾4位為，即。7、10人圍圓桌而坐，如果甲、乙兩個(gè)中間相隔4個(gè)，有多少種坐法？【詳解】甲固定座好，則乙有兩種坐法，其他8人全排列，共有種坐法。8、（交大）通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或。設(shè)，表示和中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)。（1），問(wèn)存在多少個(gè)5元數(shù)組，使得；（2），問(wèn)存在多少個(gè)5元數(shù)組，使得；（3）令，，求證：。【詳解】（1）；（2）；（3）設(shè)中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為0的有個(gè)，同時(shí)為1的有個(gè)，則不同的項(xiàng)共有項(xiàng)，而，即，而，得證。9、（復(fù)旦）設(shè)，計(jì)算：（1）的不同取值個(gè)數(shù)；（2）的所有不同取值的積與和?！驹斀狻浚?）易知由組成，故有個(gè)不同取值；（2）易知中出現(xiàn)1個(gè)2和2個(gè)2的可能性是相同的，均為次，同理可得，出現(xiàn)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)3的可能性也相同，均為18次，出現(xiàn)1、2、3、4、5個(gè)5均為12次，所以的所有不同取值的積為；和為。B組1、（北大）求證：對(duì)任意的正整數(shù)，必可表示成的形式，其中?！驹斀狻?，，則，，則，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則得證。2、（北大）在1，2，…，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個(gè)數(shù)？【詳解】此題是組合與數(shù)論的綜合題，將1~2012分成三組數(shù)，分別被3除余0、1、2，，，，后面兩組元素最多，如，任意兩數(shù)之差都是3的倍數(shù)，而兩數(shù)之和被3除的余數(shù)為2，顯然不能被3整除，顯然符合；若取672個(gè)數(shù)，則必有兩個(gè)數(shù)之差小于3，若為1，則顯然可整數(shù)兩數(shù)之和，若為2，則兩數(shù)同奇同偶，2能夠整除兩數(shù)之和，綜上，至多能選取671個(gè)數(shù)。3、（交大）世界杯預(yù)選賽中，中國(guó)、澳大利亞、卡塔爾和伊拉克被分在A組，進(jìn)行主客場(chǎng)比賽。規(guī)定每場(chǎng)比賽勝者得三分，平局各得一分，敗者不得分。比賽結(jié)束后前兩名可以晉級(jí)。（1）由于4支隊(duì)伍均為強(qiáng)隊(duì)，每支隊(duì)伍至少得3分。于是甲專(zhuān)家預(yù)測(cè)：中國(guó)隊(duì)至少得10分才能確保出線(xiàn)；乙專(zhuān)家預(yù)測(cè)：中國(guó)隊(duì)至少得11分才能確保出線(xiàn)。問(wèn)：甲、乙專(zhuān)家哪個(gè)說(shuō)的對(duì)？為什么？（2）若不考慮（1）中條件，中國(guó)隊(duì)至少得多少分才能確保出線(xiàn)？13分【詳解】（1）乙專(zhuān)家說(shuō)的對(duì)，若中國(guó)隊(duì)得10分，可能會(huì)出現(xiàn)其余三隊(duì)12分、10分、3分的情況，因此中國(guó)隊(duì)無(wú)法確保晉級(jí)；而中國(guó)隊(duì)若得了11分而無(wú)法晉級(jí)，則必為第三名，而第一、二名不少于11分，而第四名不少于3分。12場(chǎng)比賽在無(wú)平局情況下只有36分，前三名11分、最后一名3分，而11分則意味著出現(xiàn)平局，則出現(xiàn)矛盾，故乙專(zhuān)家說(shuō)的對(duì)。（2）若12分，可能出現(xiàn)如下情況：澳澳中中卡卡伊伊總分澳30303312中03033312卡03303312伊0000000仍然無(wú)法晉級(jí)。而13分則必能出線(xiàn)，因?yàn)槿?3分為第三名，則前三名則已達(dá)39分，超過(guò)最大了36分，矛盾，即13分確保出線(xiàn)。4、（北