計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本數(shù)學(xué)工具(1)公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第二章回憶：《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》基本數(shù)學(xué)工具代數(shù)知識(shí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)主要內(nèi)容概率論基礎(chǔ)第1頁(yè)求和運(yùn)算子（SummationOperator）是用以表達(dá)多種數(shù)求和運(yùn)算一種縮略符號(hào)。假如表達(dá)n個(gè)數(shù)一種序列，那么我們就把這n個(gè)數(shù)總和寫為：第一節(jié)代數(shù)知識(shí)一、求和運(yùn)算子與描述記錄量1、求和運(yùn)算子第2頁(yè)性質(zhì)SUM.1:對(duì)任意常數(shù)c，

求和運(yùn)算子性質(zhì)性質(zhì)SUM.2:對(duì)任意常數(shù)c，

性質(zhì)SUM.3:若是n個(gè)數(shù)對(duì)構(gòu)成一種集合，且a和b是常數(shù)，則

第3頁(yè)2、平均數(shù)給定n個(gè)數(shù)，我們把它們加起來(lái)再除以n，便算出它們平均數(shù)（average）或均值：當(dāng)這些是某特定變量（如受教育年數(shù)）一種數(shù)據(jù)樣本時(shí)，我們常稱之為樣本均值，以強(qiáng)調(diào)它是從一種特定數(shù)據(jù)集計(jì)算出來(lái)。樣本均值是描述記錄量（DescriptiveStatistic）一種例子；此時(shí)，這個(gè)記錄量描述了點(diǎn)集集中趨勢(shì)。第4頁(yè)均值性質(zhì)假設(shè)我們?nèi)每次觀測(cè)值并從中減去其均值：（這里“d”表達(dá)對(duì)均值離差）。那么，這些離差之和必為零：第5頁(yè)均值離差重要性質(zhì)離差平方和等于平方和減去平方n倍:請(qǐng)加以證明。另請(qǐng)證明：給定兩個(gè)變量數(shù)據(jù)集

第6頁(yè)集中趨勢(shì)另一種表達(dá)：中位數(shù)均值是我們所關(guān)注集中趨勢(shì)指標(biāo)，但有時(shí)用中位數(shù)（Median）或樣本中位數(shù)表達(dá)中心值也有價(jià)值。為了得到n個(gè)數(shù)中位數(shù)，我們先把值按從小到大次序排列。然后，若n是奇數(shù)，則樣本中位數(shù)就是按次序居中那個(gè)數(shù)，例如，給定一組數(shù)字，中位數(shù)就是2。一般說(shuō)來(lái)，中位數(shù)和均值相比，對(duì)數(shù)列中級(jí)（大或?。┲底兓瘺](méi)那么敏感。若n是偶數(shù)，則居中數(shù)字便有兩個(gè)，此時(shí)定義中位數(shù)措施就不是唯一。一般把中位數(shù)定義為兩個(gè)居中數(shù)字均值（仍指從小到大排序數(shù)列）。第7頁(yè)二、線性函數(shù)性質(zhì)

假如兩個(gè)變量x和y關(guān)系是：我們便說(shuō)y是x線性函數(shù)（LinearFunction）：而和是描述這一關(guān)系兩個(gè)參數(shù)，為截距（Intercept），為斜率（Slope）。一種線性函數(shù)定義特性在于，y變化量總是x變化量倍：其中，表達(dá)“變化量”。換句話說(shuō)，x對(duì)y邊際效應(yīng)（MarginalEffect）是一種等于常數(shù)。第8頁(yè)例2.1.1線性住房支出函數(shù)假定每月住房支出和每月收入關(guān)系式是Housing=164+0.27ine那么，每增長(zhǎng)1元收入，就有0.27元用于住房支出，假如家庭收入增長(zhǎng)200元，那么住房支出就增長(zhǎng)0.27×200=54元。機(jī)械解釋上述方程，即時(shí)一種沒(méi)有收入家庭也有164元住房支出，這當(dāng)然是不真實(shí)。對(duì)低收入水平家庭，這個(gè)線性函數(shù)不能很好描述housing和ine之間關(guān)系，這就是為何我們最終還得用其他函數(shù)形式來(lái)描述這種關(guān)系。第9頁(yè)圖2.1.1Housing=164+0.27ine圖形例2.1.1線性住房支出函數(shù)第10頁(yè)例2.1.1線性住房支出函數(shù)在上述方程中，把收入用于住房邊際消費(fèi)傾向（MPC）是0.27。它不一樣樣于平均消費(fèi)傾向（APC）：APC并非常數(shù)，它總比MPC大，但伴隨收入增長(zhǎng)越來(lái)越靠近MPC。第11頁(yè)線性函數(shù)性質(zhì)多于兩個(gè)變量線性函數(shù)：假定y與兩個(gè)變量和有一般形式關(guān)系：由于這個(gè)函數(shù)圖形是三維，因此相稱難以想象，不過(guò)仍然是截距（即=0和=0時(shí)y取值），且和都是特定斜率度量。由方程（A.12）可知，給定和變化量，y變化量是若不變化，即，則有因此是關(guān)系式在坐標(biāo)上斜率：第12頁(yè)由于它度量了保持固定期，y怎樣隨而變，因此常把叫做對(duì)y偏效應(yīng)（PartialEffect）。由于偏效應(yīng)包括保持其他原因不變，因此它與其他條件不變（CeterisParibus）概念有親密聯(lián)絡(luò)，參數(shù)可作類似解釋：即若，則因此，是對(duì)y偏效應(yīng)。線性函數(shù)性質(zhì)第13頁(yè)假定大學(xué)生每月對(duì)CD需求量與CD價(jià)格和每月零花錢有如下關(guān)系：式中，price為每張碟價(jià)格，ine以元計(jì)算。需求曲線表達(dá)在保持收入（和其他原因）不變狀況下，quantity和price關(guān)系。例2.1.2對(duì)CD需求第14頁(yè)圖2.1.2quantity=120-9.8price+0.03ine在ine固定為900元時(shí)圖形例2.1.2對(duì)CD需求第15頁(yè)圖2.1.2描繪了在收入水平為900元時(shí)二維圖形。需求曲線斜率-9.8是價(jià)格對(duì)數(shù)量偏效應(yīng)：保持收入固定不變，假如CD碟價(jià)格增長(zhǎng)1元，那么需求量就下跌9.8。（我們把CD碟只能離散購(gòu)置事實(shí)抽象化。）收入增長(zhǎng)只是使需求曲線向上移動(dòng)（變化了截距），但斜率仍然不變。例2.1.2對(duì)CD需求第16頁(yè)線性函數(shù)基本性質(zhì)：不管x初始值是什么，x每變化一種單位都導(dǎo)致y同樣變化。x對(duì)y邊際效應(yīng)是常數(shù)，這對(duì)許多經(jīng)濟(jì)關(guān)系來(lái)說(shuō)多少有點(diǎn)不真實(shí)。例如，邊際酬勞遞減這個(gè)重要經(jīng)濟(jì)概念就不符合線性關(guān)系。為了建立多種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象模型，我們需要研究某些非線性函數(shù)（nonlinearfunction）。非線性函數(shù)特點(diǎn)是，給定x變化，y變化依賴于x初始值。三、若干特殊函數(shù)及其性質(zhì)第17頁(yè)1.二次函數(shù)刻畫酬勞遞減規(guī)律一種簡(jiǎn)樸措施，就是在線性關(guān)系中添加一種二次項(xiàng)?？紤]方程式式中，，和為參數(shù)。當(dāng)時(shí)，y和x之間關(guān)系呈拋物線狀，并且可以證明，函數(shù)最大值出目前第18頁(yè)1.二次函數(shù)例如，若y=6+8x-2x2。（從而=8且=-2），則y最大值出目前x*=8/4=2處，并且這個(gè)最大值是6+8×2-2×（2）2=14。圖2.1.3y=6+8x-2x2

圖形第19頁(yè)對(duì)方程式意味著x對(duì)y邊際效應(yīng)遞減（diminishingmarginaleffect），這從圖中清晰可見(jiàn)，應(yīng)用微積分知識(shí)，也可以通過(guò)求這個(gè)二次函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)得出。斜率=方程右端是此二次函數(shù)對(duì)x導(dǎo)數(shù)（derivative）。同樣，則意味著x對(duì)y邊際效應(yīng)遞增（increasingmarginaleffect），二次函數(shù)圖形就呈U行，函數(shù)最小值出目前點(diǎn)處。1.二次函數(shù)第20頁(yè)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中起著最重要作用非線性函數(shù)是自然對(duì)數(shù)（naturelogarithm），或簡(jiǎn)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)（logfunction），記為尚有幾種不一樣樣符號(hào)可以表達(dá)自然對(duì)數(shù)，最常用是或。當(dāng)對(duì)數(shù)使用幾種不一樣樣底數(shù)時(shí)，這些不一樣樣符號(hào)是有作用。目前，只有自然對(duì)數(shù)最重要，因此我們都用表達(dá)自然對(duì)數(shù)。2.自然對(duì)數(shù)第21頁(yè)2.自然對(duì)數(shù)圖2.1.4y=log（x）圖形第22頁(yè)2.自然對(duì)數(shù)從圖能看出如下性質(zhì)：1.當(dāng)y=log（x）時(shí)，y和x關(guān)系體現(xiàn)出邊際酬勞遞減。2.當(dāng)y=log（x）時(shí)，x對(duì)y永遠(yuǎn)沒(méi)有負(fù)效應(yīng)：函數(shù)斜率伴隨x增大越來(lái)越靠近零，然而這個(gè)斜率永遠(yuǎn)到不了零，因此更不會(huì)是負(fù)。3.log（x）可正可負(fù)：log（x）<0，0<x<1；log（1）=0；log（x）>0，x>14.某些有用性質(zhì)（牢記）：log（x1·x2）=log（x1）+log（x2），x1，x2>0log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），x1，x2>0log（xc）=c·log（x），x>0，c為任意實(shí)數(shù)第23頁(yè)2.自然對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)可用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用中多種近似計(jì)算。1.對(duì)于x≈0，有l(wèi)og（1+x）≈x。這個(gè)近似計(jì)算伴隨x變大而越來(lái)越不精確。2.兩對(duì)數(shù)之差可用作比例變化近似值。令x0和x1為兩個(gè)正數(shù)，可以證明（運(yùn)用微積分），對(duì)x微小變化，有假如我們用100乘以上述方程，并記那么，對(duì)x微小變化，便有“微小”含義取決于詳細(xì)狀況。第24頁(yè)2.自然對(duì)數(shù)近似計(jì)算作用：定義y對(duì)x彈性（elasticity）為換言之，y對(duì)x彈性就是當(dāng)x增長(zhǎng)1%時(shí)y百分?jǐn)?shù)變化。若y是x線性函數(shù)：，則這個(gè)彈性是它明顯取決于x取值（彈性并非沿著需求曲線保持不變）。第25頁(yè)2.自然對(duì)數(shù)不僅在需求理論中，在許多應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，彈性都是非常重要。在許多狀況下，使用一種常彈性模型都很以便，而對(duì)數(shù)函數(shù)能協(xié)助我們?cè)O(shè)定這樣模型。假如我們對(duì)x和y都使用對(duì)數(shù)近似計(jì)算，彈性就近似等于因此，一種常彈性模型（constantelasticitymodel）可近似描述為方程式中，為y對(duì)x彈性（假定x，y>0）。此類模型在經(jīng)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中飾演著重要角色。目前，式中只是靠近于彈性這一事實(shí)并不重要，可以忽視。第26頁(yè)例2.1.3常彈性需求函數(shù)若q代表需求量而p代表價(jià)格，并且兩者關(guān)系為則需求價(jià)格彈性是-1.25.初略地說(shuō)，價(jià)格每增長(zhǎng)1%，將導(dǎo)致需求量下降1.25%。第27頁(yè)2.自然對(duì)數(shù)在經(jīng)驗(yàn)研究工作中還常常出現(xiàn)使用對(duì)數(shù)函數(shù)其他也許性。假定y>0，且則，從而。由此可知，當(dāng)y和x有上述方程所示關(guān)系時(shí)，第28頁(yè)例2.1.4對(duì)數(shù)工資方程假設(shè)小時(shí)工資與受教育年數(shù)有如下關(guān)系：根據(jù)前面所述方程，有由此可知，多受一年教育將使小時(shí)工資增長(zhǎng)約9.4%。一般把%△y/△x稱為y對(duì)x半彈性（semi-elasticity），半彈性表達(dá)當(dāng)x增長(zhǎng)一種單位時(shí)y百分?jǐn)?shù)變化。在上述模型中，半彈性是個(gè)常數(shù)并且等于，在上述例子中，我們可以以便把工資和教育關(guān)系概括為：多受一年教育——不管所受教育起點(diǎn)怎樣——都將使工資提高約9.4%。這闡明了此類模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中重要作用。第29頁(yè)2.自然對(duì)數(shù)另一種關(guān)系式在應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中也是故意義：其中，x>0。若取y變化，則有，這又可以寫為。運(yùn)用近似計(jì)算，可得當(dāng)x增長(zhǎng)1%時(shí)，y變化個(gè)單位。第30頁(yè)例2.1.5勞動(dòng)供應(yīng)函數(shù)假定一種工人勞動(dòng)供應(yīng)可描述為式中，wage為小時(shí)工資而hours為每周工作小時(shí)數(shù)，于是，由方程可得：換言之，工資每增長(zhǎng)1%，將使每周工作小時(shí)增長(zhǎng)約0.45或略不不小于半個(gè)小時(shí)。若工資增長(zhǎng)10%，則或約四個(gè)半小時(shí)。注意：不適宜對(duì)更大工資百分?jǐn)?shù)變化應(yīng)用這個(gè)近似計(jì)算。第31頁(yè)考慮方程此處log（y）是x線性函數(shù)，不過(guò)怎樣寫出y自身作為x一種函數(shù)呢？指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction）給出了答案。我們把指數(shù)函數(shù)寫為y=exp（x），有時(shí)也寫為，但在我們課程中這個(gè)符號(hào)不常用。指數(shù)函數(shù)兩個(gè)重要數(shù)值是exp（0）=1和exp（1）=2.7183（取4位小數(shù)）。

3.指數(shù)函數(shù)第32頁(yè)3.指數(shù)函數(shù)圖2.1.4y=exp（x）圖形第33頁(yè)從上圖可以看出，exp（x）對(duì)任何x值均有定義，并且總不小于零。指數(shù)函數(shù)在如下意義上是對(duì)數(shù)函數(shù)反函數(shù)：對(duì)所有x，均有l(wèi)og﹝exp（x）﹞=x，而對(duì)x>0，有exp﹝log（x）﹞=x。換言之，對(duì)數(shù)“解除了”指數(shù)，反之亦然。對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。指數(shù)函數(shù)兩個(gè)有用性質(zhì)是exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2）和exp﹝c·log（x）﹞=xc3.指數(shù)函數(shù)第34頁(yè)記憶：經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用某些函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有

4.微分學(xué)第35頁(yè)當(dāng)y是多元函數(shù)時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)（partialderivative）概念便很重要。假定y=f（x1，x2），此時(shí)便有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，一種有關(guān)x1，另一種有關(guān)x2。y對(duì)x1偏導(dǎo)數(shù)記為，就是把x2看做常數(shù)時(shí)方程對(duì)x1一般導(dǎo)數(shù)。類似，就是固定x1時(shí)方程對(duì)x2導(dǎo)數(shù)。若則這些偏導(dǎo)數(shù)可被視為經(jīng)濟(jì)學(xué)所定義偏效應(yīng)。4.微分學(xué)第36頁(yè)把工資與受教育年數(shù)和工作經(jīng)驗(yàn)（以年計(jì)）相聯(lián)絡(luò)一種函數(shù)是exper對(duì)wage偏效應(yīng)就是上式對(duì)exper偏導(dǎo)數(shù)：這是增長(zhǎng)一年工作經(jīng)驗(yàn)所導(dǎo)致工資近似變化。注意這個(gè)偏效應(yīng)與exper和educ初始水平均有關(guān)系。例如，一種從educ=12和exper=5開(kāi)始工人，再增長(zhǎng)一年工作經(jīng)驗(yàn)，將使工資增長(zhǎng)約0.19-0.08×5+0.007×12=0.234元。精確變化通過(guò)計(jì)算，成果是0.23，和近似計(jì)算成果非?？拷?。例2.1.6含交互項(xiàng)工資方程第37頁(yè)在最小化或最大化單或多變量函數(shù)時(shí)，微分計(jì)算起著重要作用。假如是一種k元可微函數(shù)，則在所有也許xj值中最小化或最大化f必要條件是換言之，f所有偏導(dǎo)數(shù)在處都必須取值為零。這些條件被稱為函數(shù)最小化或最大化一階條件（firstordercondition）。4.微分學(xué)第38頁(yè)參看附件習(xí)題冊(cè)。思索題第39頁(yè)一、隨機(jī)變量及其概率分布假設(shè)我們擲一枚錢幣10次，并計(jì)算出現(xiàn)正面次數(shù)，這就是一種試驗(yàn)（experiment）例子。一般地說(shuō)，一種試驗(yàn)是指至少在理論上可以無(wú)限反復(fù)下去任何一種程序，并且它有一種定義完好成果集。一種隨機(jī)變量（randomvariable）是指一種具有數(shù)值特性并由一種試驗(yàn)來(lái)決定其成果變量。

第二節(jié)概率論基礎(chǔ)第40頁(yè)按照概率和記錄學(xué)通例，我們一律用大寫字母如常見(jiàn)W，X，Y和Z表達(dá)隨機(jī)變量，而用對(duì)應(yīng)小寫字母w，x，y和z表達(dá)隨機(jī)變量特定成果。例如，在擲幣試驗(yàn)中，令X為一枚錢幣投擲10次出現(xiàn)正面次數(shù)。因此X并不是任何詳細(xì)數(shù)值，但我們懂得X將在集合中取一種值。比方說(shuō)，一種特殊成果是x=6。我們用下標(biāo)表達(dá)一系列隨機(jī)變量。例如，我們記錄隨機(jī)選擇20個(gè)家庭去年收入。可以用X1，X2，··，X20表達(dá)這些隨機(jī)變量，并用x1，x2，···，x20表達(dá)其特殊成果。一、隨機(jī)變量及其概率分布第41頁(yè)如定義所言，雖然隨機(jī)變量描述是某些定性事件，我們也總定義它成果是數(shù)值。例如，考慮只擲一枚錢幣，其兩個(gè)成果是正面和背面。我們可以定義一種隨機(jī)變量如下：假如出現(xiàn)正面則X=1；假如出現(xiàn)背面則X=0。一種只能取0和1兩個(gè)值隨機(jī)變量叫做貝努利（或二值）隨機(jī)變量〔Bernoulli（orbinary）randomvariable〕。X～Bernoulli（θ）（讀作“X服從一種成功概率為θ貝努利分布）：P（X=1）=θ，P（X=0）=1-θ一、隨機(jī)變量及其概率分布第42頁(yè)1.離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量（discreterandomvariable）是指一種只取有限個(gè)或可數(shù)無(wú)限個(gè)數(shù)值隨機(jī)變量?！翱蓴?shù)無(wú)限個(gè)”：雖然隨機(jī)變量可取無(wú)限個(gè)值，但這些值可以和正整數(shù)一一對(duì)應(yīng)。貝努力隨機(jī)變量是離散隨機(jī)變量最簡(jiǎn)樸例子。

一、隨機(jī)變量及其概率分布第43頁(yè)一種離散隨機(jī)變量要由它所有也許值和取每個(gè)值對(duì)應(yīng)概率來(lái)完整描述。假如X取k個(gè)也許值其概率p1，p2，···，pk被定義為pj=P（X=xj），j=1，2，···，k（讀作：“X取值xj概率等于pj”。）其中，每個(gè)pj都在0-1之間，并且p1+p2+···+pk=11.離散隨機(jī)變量第44頁(yè)X概率密度函數(shù)（probabilitydensityfunction，pdf）概括了X也許成果及其對(duì)應(yīng)概率信息：

并且對(duì)某個(gè)j，但凡不等于xjx均有f（x）=0。換言之，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，f（x）都是隨機(jī)變量X取該特定值x概率。當(dāng)我們?cè)O(shè)計(jì)多于一種隨機(jī)變量時(shí)，有時(shí)需要給所考慮pdf加一種下標(biāo)：例如fx是Xpdf，fY是Ypdf等等。1.離散隨機(jī)變量第45頁(yè)給定任一離散隨機(jī)變量pdf，就不難計(jì)算有關(guān)該隨機(jī)變量任何事件概率。例如，設(shè)X為一名籃球運(yùn)動(dòng)員在兩次罰球中命中次數(shù)。因此X三個(gè)也許值是｛0，1，2｝。假定Xpdf是f（0）=0.20，f（1）=0.44和f（2）=0.36這三個(gè)概率之和必然為1.運(yùn)用這個(gè)pdf，我們能算出該運(yùn)動(dòng)員至少投中一球概率：P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=0.44+0.36=0.80。Xpdf如下圖示：1.離散隨機(jī)變量第46頁(yè)012xf（x）1.離散隨機(jī)變量圖2.2.1兩次罰球命中次數(shù)pdf第47頁(yè)2.持續(xù)隨機(jī)變量持續(xù)隨機(jī)變量（continuousrandomvariable）是指一種取任何實(shí)數(shù)概率都為零變量。這個(gè)定義有點(diǎn)違反直覺(jué)，由于在任何應(yīng)用中，我們最終都會(huì)觀測(cè)到一種隨機(jī)變量獲得某種成果。這里思想是，一種持續(xù)隨機(jī)變量X也許取值如此之多，以致我們無(wú)法用正整數(shù)去計(jì)算，因而，邏輯上一致性就規(guī)定X必須以零概率取每一種值。

一、隨機(jī)變量及其概率分布第48頁(yè)在計(jì)算持續(xù)隨機(jī)變量概率時(shí)，討論一種持續(xù)隨機(jī)變量取某特定值概率是沒(méi)故意義，最以便是使用累積分布函數(shù)（cumulativedistributionfunction，cdf）。設(shè)X為任意隨機(jī)變量，它對(duì)任何實(shí)數(shù)xcdf被定義為F（x）≡P（X≤x）對(duì)于一種持續(xù)隨機(jī)變量，F(xiàn)（x）就是概率密度函數(shù)f之下、點(diǎn)x以左面積。由于F（x）就是一種概率，因此它總是介于0-1之間。此外，若x1<x2，則P（X≤x1）≤P（X≤x2），即F（x1）≤F（x2）。這意味著cdf是x一種增（至少非減）函數(shù)。2.持續(xù)隨機(jī)變量第49頁(yè)cdf有如下兩個(gè)對(duì)計(jì)算概率頗為有用重要性質(zhì)：1.對(duì)任何數(shù)c，P（X>c）=1-F（c）2.對(duì)任何兩個(gè)數(shù)a<b，P（a<X≤b）=F（b）-F（a）在我們學(xué)習(xí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)課時(shí)，用cdf僅計(jì)算持續(xù)隨機(jī)變量概率，因此在概率命題中不等式與否嚴(yán)格不等便無(wú)所謂。也就是說(shuō)，對(duì)于一種持續(xù)隨機(jī)變量X，有P（X≥c）=P（X>c）和P（a<X<b）=P（a≤X≤b）=P（a≤X<b）=P（a<X≤b）對(duì)于概率和記錄學(xué)中所有重要持續(xù)分布，其累積分布函數(shù)已被制成表格，其中最為人們熟知是正態(tài)分布。2.持續(xù)隨機(jī)變量第50頁(yè)1.聯(lián)合分布與獨(dú)立性令X和Y為離散隨機(jī)變量。那么（X，Y）聯(lián)合分布（jointdistribution）由它們聯(lián)合概率密度函數(shù)充足描述：上式右端是X=x和Y=y概率。若我們懂得X和Ypdf，就輕易得到它們聯(lián)合pdf。詳細(xì)而言，我們說(shuō)X和Y互相獨(dú)立充要條件是，對(duì)所有x和y，均有式中，fX為Xpdf而fY為Ypdf。二、聯(lián)合分布、條件分布與獨(dú)立性第51頁(yè)在多種隨機(jī)變量背景中，fX和fY這兩個(gè)pdf常被稱為邊緣概率密度函數(shù)（marginalprobabilitydensityfunction），以辨別于聯(lián)合pdf，即fX，Y。上述獨(dú)立性定義合用于離散和持續(xù)隨機(jī)變量。假如X和Y都是離散，那么上式就等同于P（X=x，Y=y）=P（X=x）·P（Y=y）由于僅需要懂得P（X=x）與P（Y=y），因此計(jì)算聯(lián)合概率相稱輕易。若兩隨機(jī)變量不獨(dú)立，則稱它們是相依。1.聯(lián)合分布與獨(dú)立性第52頁(yè)考慮籃球運(yùn)動(dòng)員兩次罰球。令X為貝努利隨機(jī)變量：假如第一次命中它等于1，否則等于0。再令Y為貝努利隨機(jī)變量：假如第二次命中它等于1，否則等于0。假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員每次罰球命中率都是80%，即P（X=1）=P（Y=1）=0.8，問(wèn)兩罰兩中概率是多少？例2.2.1罰球命中率若X和Y獨(dú)立，則很輕易回答這個(gè)問(wèn)題：P（X=1，Y=1）=P（X=1）·P（Y=1）=0.8×0.8=0.64。因此，有64%機(jī)會(huì)兩罰兩中。若第二次命中機(jī)會(huì)依賴于第一次與否命中，即X和Y不獨(dú)立，這種簡(jiǎn)樸計(jì)算便不再對(duì)旳。第53頁(yè)隨機(jī)變量獨(dú)立性是一種十分重要概念。若X和Y獨(dú)立，則懂得X成果并不變化Y出現(xiàn)多種也許成果概率，反之亦然。有關(guān)獨(dú)立性一種有用結(jié)論是，若X和Y獨(dú)立，而我們對(duì)任意函數(shù)g和h定義兩個(gè)新隨機(jī)變量g（X）和h（Y），則這些新隨機(jī)變量也是獨(dú)立。1.聯(lián)合分布與獨(dú)立性第54頁(yè)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們一般也對(duì)一種隨機(jī)變量（稱之為Y）與此外一種或多種隨機(jī)變量聯(lián)絡(luò)感愛(ài)好。暫且假設(shè)我們只對(duì)一種變量影響感愛(ài)好，并稱之為X。有關(guān)X怎樣影響Y，我們所能懂得，都包括在給定X時(shí)Y條件分布（conditionaldistribution）中，由條件概率密度函數(shù)概括這一信息被定義為：對(duì)所有滿足x值，均有2.條件分布第55頁(yè)當(dāng)X和Y都是離散變量時(shí)，上式可解釋為其中，上式右端讀作“給定X=x時(shí)Y=y概率”。當(dāng)Y是持續(xù)變量時(shí)，由于前述理由，不能直接解釋為概率，但可以通過(guò)計(jì)算條件概率密度函數(shù)之下面積來(lái)求出條件概率。條件分布一種重要性質(zhì)是，若X和Y是獨(dú)立隨機(jī)變量，懂得X取什么值無(wú)助于確定Y取各值概率（反之亦然）。這就是說(shuō)，且。2.條件分布第56頁(yè)再次考慮籃球員兩次投籃例子。假定條件密度是這意味著球員第二次罰球命中概率依賴于第一次罰球與否命中：假如第一次命中，則第二次命中概率是0.85；假如第一次失誤，則第二次命中概率是0.70。這就是說(shuō)，X和Y不是獨(dú)立，而是有關(guān)。我們?nèi)舳肞（X=1），便可以計(jì)算P（X=1，Y=1）。假定第一次命中概率是0.8，即P（X=1）=0.8，那么我們得到兩罰兩中概率為P（X=1，Y=1）=P（Y=1|X=1）·P（X=1）=0.85×0.8=0.68例2.2.2罰球命中率第57頁(yè)多數(shù)狀況下我們只對(duì)隨機(jī)變量分布少數(shù)幾種性質(zhì)感愛(ài)好。這些特性可提成三類：集中趨勢(shì)度量、變異或分散程度度量以及兩個(gè)隨機(jī)變量之間關(guān)聯(lián)性度量。1.集中趨勢(shì)一種度量：期望值期望值是我們?cè)谟?jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)習(xí)中碰到最重要概率性概念之一。設(shè)X為一隨機(jī)變量。它期望值（expectedvalueorexpectation），記做E（X），就是對(duì)X所有也許值一種加權(quán)平均。權(quán)數(shù)由概率密度函數(shù)決定。有時(shí)期望值又被稱為總體均值，尤其是在我們強(qiáng)調(diào)X代表了總體中某個(gè)變量時(shí)。三、概率分布特性第58頁(yè)當(dāng)X是取有限個(gè)值[比方說(shuō)]離散隨機(jī)變量時(shí)，期望值精確定義最為簡(jiǎn)樸。令f（x）表達(dá)X概率密度函數(shù)，則X期望值為加權(quán)平均：給定pdf在X每個(gè)也許成果處取值，這很輕易計(jì)算。1.集中趨勢(shì)一種度量：期望值第59頁(yè)假定X分別以概率1/8、1/2和3/8取值-1、0和2，則

E（X）=（-1）×1/8+0×（1/2）+2×（3/8）=5/8例2.2.3計(jì)算一種期望值第60頁(yè)假如X是一種持續(xù)隨機(jī)變量，則E（X）被定義為一種積分：這仍然可以解釋為一種加權(quán)平均。和離散情形不一樣樣，E（X）總是X也許成果之一。本課程中，雖然我們需要用到概率論中某些特殊隨機(jī)變量期望值有關(guān)熟悉結(jié)論，但我們并不需要用積分去計(jì)算期望值。1.集中趨勢(shì)一種度量：期望值第61頁(yè)給定隨機(jī)變量X和函數(shù)g（·），可以產(chǎn)生一種新隨機(jī)變量g（X）。例如，若X是一隨機(jī)變量，則X2和log（X）（X>0）也是隨機(jī)變量。g（X）期望值仍然是一種加權(quán)平均：

或者，對(duì)一種持續(xù)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，1.集中趨勢(shì)一種度量：期望值第62頁(yè)例2.2.3：假定X分別以概率1/8、1/2和3/8取值-1、0和2，則：

E（X）=（-1）×1/8+0×（1/2）+2×（3/8）=5/8

對(duì)于例2.2.3中隨機(jī)變量，令g（X）=X2，便有E（X2）=（-1）2×1/8+（0）2×（1/2）+（2）2×（3/8）=13/8例2.2.4X2期望值第63頁(yè)性質(zhì)1.對(duì)任意常數(shù)c，E（c）=c。性質(zhì)2.對(duì)任意常數(shù)a和b，E（aX+b）=aE（X）+b。性質(zhì)3.假如是常數(shù)而是隨機(jī)變量，則或者，運(yùn)用求和符號(hào)，作為一種特例，取每個(gè)aj=1，我們有因此，和期望值就是期望值之和。在數(shù)理記錄推導(dǎo)中常常用到這個(gè)性質(zhì)。2.期望值性質(zhì)第64頁(yè)令X1，X2和X3分別為比薩店在某日發(fā)售小、中、大比薩個(gè)數(shù)。這些隨機(jī)變量期望值是E（X1）=25，E（X2）=57和E（X3）=40。小、中、大比薩價(jià)格分別是5.50、7.60和9.15美元。因此，該日發(fā)售比薩期望收入是E（5.5X1+7.60X2+9.15X3）=5.50E（X1）+7.60E（X2）+9.15E（X3）=5.5×25+7.60×57+9.15×40=936.70即936.70美元。這不過(guò)是期望收入，詳細(xì)某一天實(shí)際收入一般都會(huì)有所差異。例2.2.5求期望收入第65頁(yè)度量集中趨勢(shì)另一種措施是用中位數(shù)（median）。若X是持續(xù)，則X中位數(shù)（比方說(shuō)m）就是這樣一種數(shù)：pdf之下二分之一面積在m之左，另二分之一面積在m之右。當(dāng)X是離散且取有奇數(shù)個(gè)值時(shí)，中位數(shù)就是按大小排序后居中一種數(shù)。若X也許取偶數(shù)個(gè)值，則實(shí)際上有兩個(gè)中位數(shù)；有時(shí)取這兩個(gè)數(shù)平均，便得到唯一一種中位數(shù)。一般而言，中位數(shù)，有時(shí)記為Med（X），和期望值E（X）是不相似。作為集中趨勢(shì)度量，不能說(shuō)哪一種比另一種更好，兩者都是度量X分布中心有效措施。2.集中趨勢(shì)另一種度量：中位數(shù)第66頁(yè)盡管一種隨機(jī)變量集中趨勢(shì)頗有價(jià)值，但它還不能告知我們有關(guān)這個(gè)隨機(jī)變量分布一切。下圖給出了兩個(gè)具有相似均值隨機(jī)變量pdf。顯然X分布比Y分布更緊密地集中在其中心周圍。3.變異性度量：方差與原則差圖2.2.2有相似均值但不相似分布隨機(jī)變量fXfY第67頁(yè)對(duì)一種隨機(jī)變量X，令μ=E（X）。為了度量X離其期望值多遠(yuǎn)，有許多種措施，而最簡(jiǎn)樸一種代數(shù)措施就是用差異平方（X-μ）2。（平方是為了消除距離度量符號(hào)，由此得到正值符合我們對(duì)距離直觀認(rèn)識(shí)。）因這一距離隨X每一成果而變，故自身就是一種隨機(jī)變量。正如我們需要用一種數(shù)來(lái)總結(jié)X集中趨勢(shì)那樣，我們也需要用一種數(shù)來(lái)告訴我們X平均而言離μ有多遠(yuǎn)。一種這樣數(shù)就是方差（variance），它告訴我們X對(duì)其均值期望距離：方差有時(shí)記為，由方程知方差必然非負(fù)。4.方差第68頁(yè)性質(zhì)1.當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)c使得P（X=c）=1時(shí)[此時(shí)E（X）=c]，Var（X）=0。也就是說(shuō)，任何常數(shù)方差都是零，并且，若一種隨機(jī)變量有零方差，則它本質(zhì)上就是常量。性質(zhì)2.對(duì)任意常數(shù)a和b，均有Var（aX+b）=a2Var（X）。這意味著，把一種常數(shù)加到一種隨機(jī)變量上不會(huì)變化其方差，但用一種常數(shù)去乘一種隨機(jī)變量使其方差增大該常數(shù)平方倍。例如，若X指攝氏溫度，而Y=32+（9/5）X為華氏溫度，則Var（Y）=（9/5）2Var（X）=（81/25）Var（X）方差兩個(gè)重要性質(zhì)第69頁(yè)一種隨機(jī)變量原則差，記為sd（X），就是它方差正平方根：sd（X）≡+。原則差有時(shí)又記做。原則差有兩個(gè)重要性質(zhì)可從方差兩個(gè)性質(zhì)中直接推出。性質(zhì)1.對(duì)任意常數(shù)c，sd（c）=0性質(zhì)2.對(duì)任意常數(shù)a和b，sd（aX+b）=|a|sd（X）尤其是，若a>0，則sd（aX）=a·sd（X）。5.原則差第70頁(yè)作為方差和原則差性質(zhì)一種應(yīng)用——并且自身也是有實(shí)際意義一種問(wèn)題——假如給定隨機(jī)變量X，我們將它減去其均值μ并除以其原則差б，便定義了一種新隨機(jī)變量Z≡這又可寫為Z=aX+b，其中a=（1/б）而b=-（μ/б）。可得：E（Z）=aE（X）+b=（μ/б）-（μ/б）=0Var（Z）=a2Var（X）=б2/б2=1因此，隨機(jī)變量Z均值為零，方差（或者原則差）為1。這一過(guò)程有時(shí)被稱為將隨機(jī)變量X原則化，而Z則叫做原則化隨機(jī)變量（standardizedrandomvariable）。5.原則化一種隨機(jī)變量第71頁(yè)1.關(guān)聯(lián)度：協(xié)方差與有關(guān)雖然兩個(gè)隨機(jī)變量聯(lián)合pdf完整地描述了它們之間關(guān)系，但對(duì)于它們大體怎樣互相變動(dòng)，仍需要一種扼要度量手段。正準(zhǔn)期望值和方差同樣，此類似于用一種數(shù)字來(lái)概括整個(gè)分布某首先，目前要概括便是兩個(gè)隨機(jī)變量聯(lián)合pdf。四、聯(lián)合與條件分布特性第72頁(yè)兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y之間協(xié)方差（covariance）（有時(shí)也叫做總體協(xié)方差，以強(qiáng)調(diào)它考慮是描述一種總體兩個(gè)隨機(jī)變量之間關(guān)系），被定義為乘積（X-μX）（Y-μY）期望值：有時(shí)又記為。若，則平均而言，當(dāng)X超過(guò)其均值時(shí)，Y也超過(guò)其均值；若，則平均而言，當(dāng)X超過(guò)其均值時(shí)，Y低于其均值。2.協(xié)方差第73頁(yè)計(jì)算幾種有用表達(dá)式如下：協(xié)方差度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間線性相依性（lineardependence）。一種正協(xié)方差表達(dá)兩隨機(jī)變量同向移動(dòng)，而一種負(fù)協(xié)方差則表達(dá)兩隨機(jī)變量反向移動(dòng)。2.協(xié)方差第74頁(yè)性質(zhì)Cov.1：若X和Y互相獨(dú)立，則注意：此性質(zhì)反命題并不成立：X和Y之間協(xié)方差為零并不意味著X和Y互相獨(dú)立。性質(zhì)Cov.2：對(duì)任意常數(shù)a1，b1，a2和b2，均有此性質(zhì)重要含義在于，兩個(gè)隨機(jī)變量之間協(xié)方差會(huì)由于將兩者或者兩者之一乘以一種常數(shù)倍而變化。這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中之因此重要，是由于諸如貨幣變量和通貨膨脹率等，都可使用不一樣樣度量單位進(jìn)行定義而不變化其實(shí)質(zhì)。協(xié)方差性質(zhì)第75頁(yè)最終，懂得任何兩隨機(jī)變量之協(xié)方差絕對(duì)值必然不會(huì)超過(guò)它們?cè)瓌t差之積也有用處，此即著名柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwartzinequality）。性質(zhì)COV.3協(xié)方差性質(zhì)第76頁(yè)假定我們想懂得勞動(dòng)總體中受教育程度和年薪之間關(guān)系，我們就可令X代表教育，Y代表薪水，然后計(jì)算它們協(xié)方差。然而我們得到答案卻取決于教育和薪水度量單位。協(xié)方差性質(zhì)Cov.2意味著，教育和薪水之間協(xié)方差，視薪水是以美元還是以千美元度量或者教育是以月還是以年計(jì)算而定。很明顯，變量度量單位選擇對(duì)它們有多強(qiáng)關(guān)系并沒(méi)有影響。不過(guò)它們之間協(xié)方差卻與度量單位有關(guān)。3.有關(guān)系數(shù)第77頁(yè)取決于度量單位是協(xié)方差一種缺陷。為克服這一缺陷，現(xiàn)引進(jìn)X和Y有關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）：X和Y有關(guān)系數(shù)有時(shí)記做（并且有時(shí)稱總體有關(guān)）。3.有關(guān)系數(shù)第78頁(yè)性質(zhì)Corr.1-1≤Corr（X，Y）≤1若Corr（X，Y）=0，或等價(jià)地Cov（X，Y）=0，則X和Y之間就不存在線性關(guān)系，并稱X和Y為不有關(guān)隨機(jī)變量（uncorrelatedrandomvariables）；否則X和Y就是有關(guān)。Corr（X，Y）=1意味著一種完全正線性關(guān)系，意思是說(shuō)，我們對(duì)某常數(shù)a和某常數(shù)b＞0可以寫Y=a+bX。Corr（X，Y）=-1則意味著一種完全負(fù)線性關(guān)系，使得對(duì)某個(gè)b<0有Y=a+bX。+1和-1兩個(gè)極端情形很少出現(xiàn)?？拷?或-1值便意味著較強(qiáng)線性關(guān)系。3.有關(guān)系數(shù)第79頁(yè)性質(zhì)Corr.2對(duì)于常數(shù)a1，b1，a2和b2，若a1a2>0，則Corr（a1X+b1，a2Y+b2）=Corr（X，Y）若a1a2<0，則Corr（a1X+b1，a2Y+b2）=-Corr（X，Y）作為一種例子，假定薪水和教育總體有關(guān)系數(shù)是0.15.這一度量將與用美元、千美元或任何其他單位計(jì)算薪水都無(wú)關(guān)；與用年、季、月或其他單位來(lái)衡量受教育時(shí)間也無(wú)關(guān)。3.有關(guān)系數(shù)第80頁(yè)一旦定義了協(xié)方差和有關(guān)系數(shù)，就可以把方差重要性質(zhì)完整地列出來(lái)。性質(zhì)VAR.3對(duì)于常數(shù)a和b，有由此可知，若X和Y不有關(guān)（從而Cov（X，Y）=0）則和在后一情形中，要注意為何差方差是（兩個(gè)）方差之和，而不是方差之差。4.隨機(jī)變量之和方差第81頁(yè)例：令X為星期五夜晚某酒店賺到利潤(rùn)，而Y為接下來(lái)星期六夜晚賺到利潤(rùn)。因此，Z=X+Y就是這兩個(gè)夜晚賺利潤(rùn)。假定X和Y均有一種300美元期望值和一種15美元原則差（因而方差為225）。兩夜晚期望利潤(rùn)將是E（Z）=E（X）+E（Y）=2×300=600美元。若X和Y獨(dú)立，從而它們也不有關(guān)，則總利潤(rùn)方差便是兩個(gè)方差之和：Var（Z）=Var（X）+Var（Y）=2×225=450。于是總利潤(rùn)原則差是，約為21.21美元。4.隨機(jī)變量之和方差第82頁(yè)從兩個(gè)變量推廣到多于兩個(gè)變量情形。若隨機(jī)變量中每一種變量與集合中其他任何一種變量都不有關(guān)，我們便稱其為兩兩不有關(guān)隨機(jī)變量（pairwiseuncorrelatedrandomvariables）。也就是說(shuō)，對(duì)所有，均有4.隨機(jī)變量之和方差第83頁(yè)性質(zhì)VAR.4若是兩兩不有關(guān)隨機(jī)變量且是常數(shù)，則用求和符號(hào)便可寫為此性質(zhì)一種特殊情形就是，對(duì)所有i都取ai=1.這時(shí)，對(duì)兩兩不有關(guān)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，和方差就是方差之和：4.隨機(jī)變量之和方差第84頁(yè)協(xié)方差和有關(guān)系數(shù)都是對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系度量，并且對(duì)稱地處理兩者。在社會(huì)科學(xué)中更多狀況是，我們想用一種變量X去解釋另一種變量Y。并且，若Y和X有非線性形式關(guān)系，則我們還但愿懂得這個(gè)形式。把Y叫做被解釋變量，而X叫做解釋變量。例如Y代表小時(shí)工資，而X代表受過(guò)正式教育年數(shù)?？梢酝ㄟ^(guò)給定X下Y條件期望（conditionalexpectation）（有時(shí)又稱條件均值）來(lái)概括Y和X之間關(guān)系。即，一旦我們懂得X取了某個(gè)特定值x，就能根據(jù)X這個(gè)成果算出Y期望值。記作E（Y|X=x）或簡(jiǎn)記E（Y|x）。一般情形是，伴隨x變化，E（Y|x）也會(huì)變化。5.條件期望第85頁(yè)當(dāng)Y是取值為離散隨機(jī)變量時(shí)，則有當(dāng)Y持續(xù)時(shí)，E（Y|x）便由對(duì)y所有也許值求積分來(lái)定義。好比無(wú)條件期望那樣，條件期望也是對(duì)Y所有也許值一種加權(quán)平均，只不過(guò)這時(shí)權(quán)數(shù)反應(yīng)了X已取了某個(gè)特殊值情形。因此，E（Y|x）是x某個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)告訴我們Y期望值怎樣隨x而變化。5.條件期望第86頁(yè)例令（X，Y）代表一種工人總體，其中X為受教育年數(shù)，Y為小時(shí)工資。那么，E（Y|x=12）便是總體中所有受了教育（相稱于讀完高中）工人平均小時(shí)工資。E（Y|x=16）則是所有受過(guò)教育工人平均小時(shí)工資。跟蹤多種教育水平期望值，便為工資和教育之間關(guān)系提供了重要信息。5.條件期望第87頁(yè)5.條件期望4812EDUCE（WAGE|EDUC）1620圖2.2.3小時(shí)工資在給定多種教育水平下期望值第88頁(yè)原則上，可以在每個(gè)教育水平上求出小時(shí)工資期望值，然后將這些期望值列表。由于教育變化范圍很大——且可度量為一年某個(gè)分?jǐn)?shù)——因此用這種措施顯示平均工資和受教育程度之間關(guān)系很啰嗦。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)典措施是，設(shè)定某些足以刻畫這種關(guān)系簡(jiǎn)樸函數(shù)。作為一種例子，假設(shè)WAGE在給定EDUC時(shí)期望值是如下線性函數(shù)：E（WAGE|EDUC）=1.05+0.45EDUC假定這一關(guān)系對(duì)工人總體成立，則受8年和教育者平均工資分別是多少？EDUC系數(shù)怎樣解釋？5.條件期望第89頁(yè)條件期望也也許是個(gè)非線性函數(shù)。例如，令E（Y|x）=10/x，其中X是一種恒不小于零隨機(jī)變量。這個(gè)函數(shù)圖形如下圖。它可以代表一種需求函數(shù)，其中Y為需求量，而X為價(jià)格。若Y和X關(guān)系確實(shí)如此，則諸如有關(guān)分析一類線性關(guān)聯(lián)分析便不合適。5.條件期望E（Y|x）x第90頁(yè)條件期望某些基本性質(zhì)對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中推導(dǎo)頗為有用。性質(zhì)CE.1對(duì)任意函數(shù)c（X），均有E[c（X）|X]=c（X）。這意味著，當(dāng)我們計(jì)算以X為條件期望值時(shí)，X函數(shù)可視為常數(shù)。例如E（X2|X）=X2。直觀上，這無(wú)非就是說(shuō)，若懂得了X，也就懂得了X2。

6.條件期望性質(zhì)第91頁(yè)性質(zhì)CE.2對(duì)任意函數(shù)a（X）和b（X），有

例如，我們能很輕易地計(jì)算像XY+2X2這種函數(shù)條件期望：6.條件期望性質(zhì)第92頁(yè)性質(zhì)CE.3若X和Y互相獨(dú)立，則E（Y|X）=E（Y）。這個(gè)性質(zhì)意味著，若X和Y互相獨(dú)立，則Y在給定X時(shí)期望值與X無(wú)關(guān)，這是E（Y|X）必然等于Y（無(wú)條件）期望。在工資與教育一例中，假設(shè)工資獨(dú)立于教育，則高中畢業(yè)生和大學(xué)畢業(yè)生平均工資便相似。這幾乎無(wú)疑是錯(cuò)誤，因此我們不能假定工資與教育是獨(dú)立。6.條件期望性質(zhì)第93頁(yè)性質(zhì)CE.4E[E（Y|X）]=E（Y）。這個(gè)性質(zhì)意味著，假如我們先把E（Y|X）看做X函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)期望值，那么成果就是E（Y）。

例：令Y=WAGE和X=EDUC，其中WAGE為小時(shí)工資，而EDUC為受教育年數(shù)。假定給定EDUC下WAGE期望值是E（WAGE|EDUC）=4+0.6EDUC，且E（EDUC）=11.5。則有E（WAGE）=E（4+0.6EDUC）=4+0.6E（EDUC）=10.90美元/小時(shí)。6.條件期望性質(zhì)第94頁(yè)性質(zhì)CE.5若E（Y|X）=E（Y），則Cov（X，Y）=0（因而Corr（X，Y）=0。實(shí)際上X每個(gè)函數(shù)都與Y不有關(guān)。該性質(zhì)含義是，若對(duì)X理解不能變化Y期望值，則X和Y必然不有關(guān)。注意：此性質(zhì)逆命題不成立。若X和Y不有關(guān)，E（Y|X）仍然也許取決于X。6.條件期望性質(zhì)第95頁(yè)給定隨機(jī)變量X和Y，Y以X=x為條件方差，無(wú)非就是在給定X=x下與Y條件分布相聯(lián)絡(luò)方差：公式常用于計(jì)算。性質(zhì)CV.1若X和Y互相獨(dú)立，則Var（Y|X）=Var（Y）。由于在給定X下Y分布與X無(wú)關(guān)，而Var（Y|X）無(wú)非就是這個(gè)分布特性之一，因此這個(gè)性質(zhì)相稱明顯。7.條件方差第96頁(yè)1.正態(tài)分布正態(tài)分布和由它衍生出來(lái)分布是記錄學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中最廣泛使用分布。假定在總體上定義隨機(jī)變量是正態(tài)分布，將使概率計(jì)算得以簡(jiǎn)化。五、正態(tài)及其有關(guān)分布μx一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量fx圖2.2.4正態(tài)概率密度函數(shù)一般形狀第97頁(yè)在數(shù)學(xué)上，Xpdf可寫為：其中，和。我們說(shuō)X有一種均值為μ和方差為б2正態(tài)分布（normaldistribution），記作X~Normal（μ，б2）。因正態(tài)分布對(duì)稱于μ，故μ也是X中位數(shù)。有時(shí)又把正態(tài)分布叫做高斯分布，以紀(jì)念注明記錄學(xué)家高斯（）。1.正態(tài)分布第98頁(yè)某些隨機(jī)變量粗略地看似乎遵照正態(tài)分布。人類身高和體重、考試得分以及某縣失業(yè)率，大體上均有類似于正態(tài)分布圖形pdf。另某些分布如收入分布，則不像正態(tài)密度函數(shù)那樣分布。在大多數(shù)國(guó)家里，收入都不對(duì)稱于任何數(shù)值而分布；分布是朝上端偏斜。有時(shí)一種變量可通過(guò)變換而獲得正態(tài)性。一種常見(jiàn)變換是取自然對(duì)數(shù)，這對(duì)取正值隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)是故意義。若X是正隨機(jī)變量（例如收入），而Y=log（X）具有正態(tài)分布，我們便說(shuō)X服從一種對(duì)數(shù)正態(tài)（lognormal）分布。人們發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布頗適合許多國(guó)家收入分布。諸如商品價(jià)格等另某些變量，看來(lái)也適合描述為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。1.正態(tài)分布第99頁(yè)正態(tài)分布一種特殊情形是它均值為0和方差（因而原則差）為1。若隨機(jī)變量Z服從Normal（0，1）分布，我們便說(shuō)它服從原則正態(tài)分布（standardnormaldistribution），一種原則正態(tài)隨機(jī)變量pdf被記為φ（z）；根據(jù)μ=0和б2=1式，它由下式給出：2.原則正態(tài)分布第100頁(yè)-303z010.5圖2.2.5原則正態(tài)累積分布函數(shù)原則正態(tài)累積分布函數(shù)被記為φ（z），即位于φ之下、z以左面積；φ（z）=P（Z≤z）；因Z是持續(xù)，故也可以寫成φ（z）=P（Z<z）。2.原則正態(tài)分布第101頁(yè)沒(méi)有可用來(lái)求φ（z）值簡(jiǎn)樸公式[由于φ（z）是函數(shù)積分，而這個(gè)積分沒(méi)有一種封閉形式]。然而φ（z）值很輕易制成表格。對(duì)于z≤-3.1，φ（z）不不小于0.001，而對(duì)于z≥-3.1，φ（z）不小于0.999.大多數(shù)記錄學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件包都具有計(jì)算原則正態(tài)cdf值簡(jiǎn)樸命令，因此我們完全能防止使用印刷表格而獲得對(duì)應(yīng)于任意z值概率。2.原則正態(tài)分布第102頁(yè)借助于概率論中基本結(jié)論——尤其是有關(guān)cdf性質(zhì)——我們可以運(yùn)用原則正態(tài)cdf計(jì)算包括一種原則正態(tài)隨機(jī)變量任何事件概率。最重要公式是P（Z>z）=1-φ（z）P（Z<-z）=P（Z>z）和P（a≤Z≤b）=φ（b）-φ（a）由于Z是持續(xù)隨機(jī)變量，因此不管不等式與否嚴(yán)格，這三個(gè)公式全都成立。2.原則正態(tài)分布第103頁(yè)在大多數(shù)應(yīng)用中，我們首先碰到是一種正態(tài)分布隨機(jī)變量X~Normal（μ，б2），其中μ不等于0且б2≠1。運(yùn)用如下性質(zhì)，可將任何一種正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成一種原則正態(tài)分布。性質(zhì)NORMAL.1：若X~Normal（μ，б2），則（X-μ）/б~Normal（0，1）。這闡明了怎樣把任意一種正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成原則正態(tài)。例如，X~Normal（3，4），而我們要計(jì)算P（X≤1）。我們總是把X規(guī)范化為一種原則正態(tài)變量：P（X≤1）=P（X-3≤1-3）=P[（X-3）/2≤-1]=P（Z≤-1）=φ（-1）=0.1592.原則正態(tài)分布第104頁(yè)首先我們計(jì)算當(dāng)X~Normal（4，9）時(shí)P（2<X≤6）（由于X是持續(xù)隨機(jī)變量，因此用或都無(wú)關(guān)緊要）。目前下面我們來(lái)計(jì)算P（|X|>2）：例2.2.6正態(tài)隨機(jī)變量概率第105頁(yè)性質(zhì)NORMAL.2：若X~Normal（μ，б2），則aX+b~Normal（aμ+b，a2б2）。性質(zhì)NORMAL.3：若X和Y聯(lián)合正態(tài)分布，則它們獨(dú)立充要條件是Cov（X，Y）=0性質(zhì)NORMAL.4：獨(dú)立同分布正態(tài)隨機(jī)變量任意線性組合都是正態(tài)分布。這闡明了，獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量平均是一種正態(tài)分布變量。若Y1，Y2，···，Yn為獨(dú)立隨機(jī)變量，且每一遍了都服從Y~Normal（μ，б2）分布，則這個(gè)結(jié)論在對(duì)正態(tài)總體均值記錄推斷中起關(guān)鍵作用。3.正態(tài)分布其他性質(zhì)第106頁(yè)卡方分布（分布）是一種持續(xù)型隨機(jī)變量概率分布。這個(gè)分布是由別奈梅(Benayme)、赫爾默特(Helmert)、皮爾遜分別于1858年、1876年、19所發(fā)現(xiàn)，它是由正態(tài)分布派生出來(lái)，重要用于列聯(lián)表檢查。1.卡方分布數(shù)學(xué)形式設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…Xk，互相獨(dú)立，且都服從同一正態(tài)分布N(μ，σ2)。那么，我們可以先把它們變?yōu)樵瓌t正態(tài)變量Z1，Z2，…Zk，k個(gè)獨(dú)立原則正態(tài)變量平方和被定義為卡方分布（分布）隨機(jī)變量（讀作卡方）六、卡方分布第107頁(yè)X即所謂具有n個(gè)自由度（degreesoffreedom，df）分布。自由度概念在我們計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中飾演著重要角色。1.卡方分布數(shù)學(xué)形式第108頁(yè)下圖為具有不一樣樣自由度pdf圖形。2.卡方分布性質(zhì)圖2.2.6有多種自由度分布第109頁(yè)t分布在經(jīng)典記錄學(xué)和多元回歸分析中廣為應(yīng)用：它可以從一種原則正態(tài)和一種分布得到。設(shè)Z服從原則正態(tài)分布，而X服從自由度為n分布。于是，隨機(jī)變量便服從自由度為nt分布（tdistribution），記為T~tn。t分布自由度得子分母中隨機(jī)變量。t分布pdf有一種類似于原則正態(tài)分布形狀，只是它更散開(kāi)某些，因而尾端有較大面積。伴隨自由度不停變大，t分布越來(lái)越靠近于原則正態(tài)分布。七、t分布第110頁(yè)圖2.2.7有多種自由度t分布七、t分布第111頁(yè)記錄學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中另一重要分布是F分布。尤其是在多元回歸分析中，要用F分布去檢查假設(shè)。為了定義F隨機(jī)變量，令和，并假定X1和X2獨(dú)立，則隨機(jī)變量服從一種自由度為（k1，k2）F分布（Fdistribution）。記為。八、F分布第112頁(yè)圖2.2.8多種自由度k1和k2分布八、F分布第113頁(yè)參看附件習(xí)題冊(cè)。思索題第114頁(yè)一、總體、參數(shù)與隨機(jī)抽樣記錄推斷指運(yùn)用來(lái)自總體一種樣本而獲知該總體某些狀況。所謂總體（population），指任何定義完好一組對(duì)象，這些對(duì)象可以是個(gè)人、企業(yè)、都市或其他諸多也許性。所謂“獲知”，可以有諸多含義，但大體歸類為估計(jì)（estimation）和假設(shè)檢查（hypothesistesting）兩個(gè)范圍。

第三節(jié)數(shù)理記錄基礎(chǔ)第115頁(yè)例1：勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家想理解中國(guó)全體就業(yè)成人教育回報(bào)，問(wèn)再多受一年教育，工作平均增長(zhǎng)百分?jǐn)?shù)是多少？要獲得中國(guó)全體就業(yè)人口工資和教育信息既不現(xiàn)實(shí)又不經(jīng)濟(jì)，但我們可以獲得總體中一種子集數(shù)據(jù)。運(yùn)用搜集到這些數(shù)據(jù)，一位勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家也許能匯報(bào)他對(duì)再受一年教育回報(bào)最佳估計(jì)為7.5%。這就是點(diǎn)估計(jì)（pointestimate）一種例子。或者，他想?yún)R報(bào)一種范圍，比方說(shuō)“教育回報(bào)在5.6%~9.4%之間”。這是區(qū)間估計(jì)（intervalestimate）一種例子。一、總體、參數(shù)與隨機(jī)抽樣第116頁(yè)例2：都市經(jīng)濟(jì)學(xué)家想懂得鄰里犯罪計(jì)劃與否與低犯罪率有關(guān)。通過(guò)在取自總體一種樣本中比較了安排和不安排監(jiān)控計(jì)劃鄰里犯罪率，他可以得到兩結(jié)論之一：鄰里犯罪監(jiān)控計(jì)劃對(duì)犯罪率確實(shí)有影響，或者沒(méi)有影響。這個(gè)例子就屬于假設(shè)檢查范圍。一、總體、參數(shù)與隨機(jī)抽樣第117頁(yè)記錄推斷第一步就是要明確所關(guān)注總體，并且一定要使之非常詳細(xì)。一旦明確了總體是什么，就可對(duì)所關(guān)注總體關(guān)系建立或設(shè)定一種模型。這個(gè)模型將包括某些概率分布或概率分布特性，而這又取決于某些未知參數(shù)。所謂參數(shù)，就是決定變量關(guān)系之方向和強(qiáng)度某些常數(shù)。如勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)例子中，所關(guān)注參數(shù)是總體中教育回報(bào)（率）。一、總體、參數(shù)與隨機(jī)抽樣第118頁(yè)令Y為一種隨機(jī)變量，代表著概率密度函數(shù)為f（y;θ）一種總體，其中f（y;θ）依賴于單個(gè)參數(shù)θ。假定除了θ值未知外，Y概率密度函數(shù)pdf是已知。不一樣樣θ值將意味著不一樣樣概率分布，因此我們對(duì)θ值感愛(ài)好。假如我們能得到該總體某種樣本，就能理解θ某些狀況。最輕易處理抽樣方案是隨機(jī)抽樣。抽樣第119頁(yè)若Y1，Y2，···Yn是具有同一概率密度函數(shù)f（y;θ）獨(dú)立隨機(jī)變量，我們稱為來(lái)自f（y;θ）隨機(jī)樣本（randomsample）[或者說(shuō)來(lái)自由所代表總體一種隨機(jī)樣本]。

當(dāng)是來(lái)自密度f(wàn)（y;θ）一種隨機(jī)樣本時(shí)，我們又稱Yi是取自f（y;θ）獨(dú)立同分布（independent，identicallydistributed，i.i.d）樣本。抽樣第120頁(yè)在隨機(jī)抽樣定義中，Y1，Y2，···Yn隨機(jī)性質(zhì)反應(yīng)了這樣事實(shí)：在抽樣實(shí)際完畢之前，許多不一樣樣成果均有也許。例如，我們獲取了n=100個(gè)中國(guó)家庭家庭收入，那么對(duì)于由100個(gè)家庭構(gòu)成每個(gè)不一樣樣本，我們觀測(cè)到收入都將有所不一樣樣。一旦得到了一種樣本，我們就得到一種數(shù)集，比方說(shuō)，這就是我們要加以研究數(shù)據(jù)。假定這個(gè)樣本來(lái)自一種隨機(jī)抽樣模式與否合適，還規(guī)定我們對(duì)實(shí)際抽樣過(guò)程有所理解。抽樣第121頁(yè)“有限樣本”一詞來(lái)自如下事實(shí)：不管樣本容量怎樣，所討論性質(zhì)對(duì)任何樣本容量都成立。有時(shí)把這些性質(zhì)叫做小樣本性質(zhì)。1.估計(jì)量與估計(jì)值給定一種隨機(jī)樣本，它來(lái)自一種取決于某未知參數(shù)θ總體分布，θ一種估計(jì)量（estimator）就是賦予樣本每個(gè)也許成果一種θ值法則。這個(gè)法則在進(jìn)行抽樣之前就已經(jīng)確立，詳細(xì)而言，不管實(shí)際得到什么樣數(shù)據(jù)，這個(gè)法則都不會(huì)變化。二、估計(jì)量有限樣本性質(zhì)第122頁(yè)作為估計(jì)量一種例子，令為取自均值為μ總體一種隨機(jī)樣本。μ一種估計(jì)量，就是這個(gè)隨機(jī)樣本均值我們把叫做樣本均值（sampleaverage），不過(guò)它不一樣樣于我們?cè)诖鷶?shù)知識(shí)中作為一種描述記錄量而定義一種數(shù)集樣本均值。這里是一種估計(jì)量。給定隨機(jī)變量Y1，Y2，···Yn任何一種成果，我們都用同樣法則去估計(jì)μ：取其平均。對(duì)于實(shí)際成果，估計(jì)值（estimate）就是該樣本均值：1.估計(jì)量與估計(jì)值第123頁(yè)假設(shè)我們得到美國(guó)10個(gè)都市如下失業(yè)率樣本：例2.3.1：都市失業(yè)率城市失業(yè)率123456789105.16.49.24.17.58.32.63.55.87.5我們對(duì)美國(guó)平均都市失業(yè)率估計(jì)值是。一般地說(shuō)，每個(gè)樣本均有一種不一樣樣估計(jì)值，不過(guò)求估計(jì)值法則是同樣，不管在樣本中出現(xiàn)是哪些都市，也不管樣本中有多少個(gè)都市。第124頁(yè)更一般地說(shuō)，參數(shù)θ一種估計(jì)量W可表達(dá)為一種抽象數(shù)學(xué)公式：其中，h代表隨機(jī)變量Y1，Y2，···Yn某個(gè)已知函數(shù)。如同樣本均值特殊情形那樣，W也因取決于隨機(jī)樣本而成為一種隨機(jī)變量：W伴隨我們從總體中抽到不一樣樣隨機(jī)樣本而也許變化。當(dāng)我們把一種特定數(shù)集[例如]帶入函數(shù)h中時(shí)，我們便得到θ一種估計(jì)值，記為：。有時(shí)把W叫做點(diǎn)估計(jì)量，而把w叫做點(diǎn)估計(jì)值，以辨別區(qū)間估計(jì)量和區(qū)間估計(jì)值。1.估計(jì)量與估計(jì)值第125頁(yè)為了評(píng)價(jià)不一樣樣估計(jì)措施，我們研究隨機(jī)變量W之概率分布多種性質(zhì)。一種估計(jì)量分布常被稱為抽樣分布（samplingdistribution），由于這個(gè)分布描述了W在不一樣樣隨機(jī)樣本上取多種成果也許性。由于有無(wú)限種組合數(shù)據(jù)以估計(jì)參數(shù)法則，我們需要某些故意義準(zhǔn)則來(lái)挑選估計(jì)量，或者至少淘汰某些估計(jì)量。因此，我們必須辭別描述記錄量范圍，不再僅為總結(jié)一組數(shù)據(jù)而計(jì)算諸如樣本均值之類東西。在數(shù)理記錄學(xué)中，我們研究是估計(jì)量抽樣分布。1.估計(jì)量與估計(jì)值第126頁(yè)原則上，給定Yi概率分布和函數(shù)h，我們就能求出W整個(gè)抽樣分布。一般在評(píng)價(jià)W作為θ一種估計(jì)量時(shí)，集中考慮W分布少數(shù)幾種特性比較簡(jiǎn)樸。一種估計(jì)量第一種重要性質(zhì)就是有關(guān)它期望值。無(wú)偏估計(jì)量：若θ估計(jì)量W對(duì)一切也許θ值，均有E（W）=θ則W是一種無(wú)偏估計(jì)量（unbiasedestimator）2.無(wú)偏性第127頁(yè)一種估計(jì)量若是無(wú)偏，則其概率分布期望值就等于它所估計(jì)參數(shù)。無(wú)偏性并不是說(shuō)我們用任何一種特定樣本得到估計(jì)值等于θ，或者很靠近θ。而是說(shuō)，假如我們可以從總體中抽取有關(guān)Y無(wú)限多種樣本，并且每次都計(jì)算一種估計(jì)值，那么將所有隨機(jī)樣本這些估計(jì)值平均起來(lái)，我們便得到θ。由于在大多數(shù)應(yīng)用中，我們僅使用一種隨機(jī)樣本，因此這個(gè)思維試驗(yàn)有點(diǎn)抽象。2.無(wú)偏性第128頁(yè)對(duì)于一種不是無(wú)偏估計(jì)量，我們定義它偏誤如下。假如W是一種偏誤估計(jì)量（biasedestimator），則它偏誤（bias）可定義為：Bias（W）≡E（W）-θ2.無(wú)偏性Wθ=E（W1）E（W2）W2pdfW1pdff(w)圖2.3.1一種無(wú)偏估計(jì)量W1和一種有正偏誤估計(jì)量W2第129頁(yè)一種估計(jì)量無(wú)偏性和也許偏誤大小取決于Y分布和函數(shù)h。一般，Y分布不是我們所能控制（雖然我們常常為這個(gè)分布選擇一種模型）：它由自然規(guī)律或社會(huì)力量來(lái)決定。但法則h選擇則操縱在我們手中，我們?nèi)粝胍环N無(wú)偏估計(jì)量，就必須對(duì)h作對(duì)應(yīng)選擇?？梢宰C明，有些估計(jì)量在一般情形下是無(wú)偏。2.無(wú)偏性第130頁(yè)目前我們來(lái)證明，樣本均值是總體均值μ一種無(wú)偏估計(jì)量，不管其背后總體怎樣分布。2.無(wú)偏性第131頁(yè)為了作假設(shè)檢查，我們尚有必要從均值為μ總體中估計(jì)方差。令隨機(jī)樣本取自E（Y）=μ和總體，定義估計(jì)量為

它常被稱為樣本方差（samplevariance）?？梢宰C明是無(wú)偏估計(jì)量：。用n-1而不用n作除數(shù)，是由于均值μ使用是估計(jì)而非已知。假如μ已知，則一種無(wú)偏估計(jì)量將是。然而實(shí)踐中很少懂得μ。2.無(wú)偏性第132頁(yè)雖然無(wú)偏性作為估計(jì)量一種性質(zhì)頗有吸引力——它反義詞“偏誤”確實(shí)有些消極含義——但它并非沒(méi)有問(wèn)題。無(wú)偏性一種缺陷是，某些合理甚至相稱好估計(jì)量卻不是無(wú)偏。我們很快就會(huì)看到這方面一種例子。無(wú)偏性另一種重要缺陷是，實(shí)際上存在著相稱糟糕無(wú)偏估計(jì)量?？紤]我們?cè)诠烙?jì)一種總體均值μ。假定我們不用樣本均值去估計(jì)μ，而是在搜集了一種容量為n樣本后，只保留第一種觀測(cè)，并拋棄所有其他觀測(cè)，然后用作為μ估計(jì)量，由于，因此這個(gè)估計(jì)量也是無(wú)偏。這種做法把樣本中大部分信息都丟棄了，并非明智之舉。2.無(wú)偏性第133頁(yè)無(wú)偏性缺陷表明我們還需要用更多準(zhǔn)則來(lái)評(píng)價(jià)一種估計(jì)量好壞。無(wú)偏性僅保證估計(jì)量概率分布有一種等于它所估計(jì)參數(shù)均值。這自然是好，但我們還需懂得這個(gè)估計(jì)量分布究竟有多么分散。一種估計(jì)量可以在平均意義下等于θ，但它仍然會(huì)以很大概率偏離到很遠(yuǎn)處。

3.估計(jì)量抽樣方差圖2.3.2θ兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量抽樣分布Wf（w）θW2pdfW1pdf第134頁(yè)目前，我們來(lái)求用以估計(jì)總體均值樣本均值μ方差：3.估計(jì)量抽樣方差若是取自均值為μ和方差為總體一種隨機(jī)樣本。則有和總體同樣均值，但它方差等于總體方差除以樣本容量n。第135頁(yè)如圖3.3.2所示，在無(wú)偏估計(jì)量中，我們偏好有最小方差估計(jì)量。這就使我們能淘汰某些估計(jì)量。對(duì)一種來(lái)自均值為μ和方差為總體隨機(jī)樣本，我們懂得是無(wú)偏，且。那么僅用第一次觀測(cè)Y1估計(jì)量又怎樣呢？既然Y1是來(lái)自總體一種隨機(jī)抽取，就應(yīng)有。因此，即便樣本較小，和之間差異也也許大。假如n=10，那么便是10倍。這就給我們一種規(guī)范措施，排除Y1作為μ估計(jì)量。3.估計(jì)量抽樣方差第136頁(yè)3.估計(jì)量抽樣方差y112345678910-0.641.064.271.033.162.771.682.982.252.041.981.431.651.882.342.581.582.231.962.11表2.3.1對(duì)μ=2一種Normal（μ，1）分布估計(jì)量模擬表2.3.1給出了一種小型模擬研究成果，運(yùn)用記錄軟件，從一種μ=2和=1正態(tài)分布中生成樣本容量為1010個(gè)隨機(jī)樣本。我們愛(ài)好在于估計(jì)μ。對(duì)10個(gè)隨機(jī)樣本中每一種，我們都計(jì)算兩個(gè)估計(jì)值y1和。由表可見(jiàn)，y1值遠(yuǎn)比分散。此外10個(gè)樣本中有8個(gè)樣本比y1更靠近于μ=2。所有模擬中y1平均值約為2.188，而平均值為1.976。這兩個(gè)平均值都靠近于2，闡明這兩個(gè)估計(jì)量無(wú)偏性。不過(guò)只比較這些隨機(jī)抽樣平均值，就會(huì)掩蓋樣本均值作為μ估計(jì)量遠(yuǎn)勝于y1事實(shí)。第137頁(yè)相對(duì)有效性假如W1和W2是θ兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，那么，假如對(duì)所有θ均有，且至少對(duì)一種θ值不等式嚴(yán)格成立，則稱W1比W2更有效。前面我們證明了，為估計(jì)總體均值μ，只要n>1，對(duì)任何值均有。因此在估計(jì)上，比Y1相對(duì)更有效。3.估計(jì)量抽樣方差第138頁(yè)從前面例子我們看到，作為總體均值μ估計(jì)量，Y1盡管是無(wú)偏，卻是一種糟糕估計(jì)量，它方差也許比樣本均值方差大得多。Y1一種明顯特性是，對(duì)任何大小樣本容量它都具有同樣方差?？磥?lái)，規(guī)定任何估計(jì)程序都必須伴隨樣本容量擴(kuò)大而改善也是合乎情理。為了估計(jì)總體均值μ