應用MATLAB求解經典物理若干典型問題本科生畢業(yè)論文

應用MATLAB求解經典物理若干典型問題大學本科生畢業(yè)論文應用MATLAB求解經典物理若干典型問題TheapplicationofMATLABinsolvingsomeclassicalphysicsquestions摘要MATLAB是MathWorks公司推出的一套科學計算軟件，MATLAB的意思是矩陣實驗室。MATLAB具有起點低、功能強大、易學易用以及兼有數(shù)值運算和符號運算功能的優(yōu)點。利用MATLAB，繪圖十分方便，它既可以繪制各種圖形，包括二維圖形和三維圖形，還可以對圖形進行修飾和控制。本文通過在MATLAB環(huán)境下編寫通過科學計算解決經典物理問題，如力學、熱學、電磁學中的一些常見問題。本文的思路主要是，先介紹經典物理習題，然后對習題進行分析，解答，再通過MATLAB軟件進行編程，模擬實驗結果。通過多次驗證。得到所需答案。再通過圖形繪制，形象的描繪出圖形，與預期結果進行比較、驗證。作出總結。本文展示的MATLAB軟件在解決物理問題中的應用。關鍵詞：力學；熱學；電磁學；MATLAB程序

ABSTRACT.MathWorksMATLABisintroducedinascientificcomputingsoftware,MATLABmeansMatrixLaboratory.MATLABhasalowstartingpoint,powerful,easytouse,andbothnumericalcalculationandsymbolicoperationadvantages.UsingMATLAB,thedrawingisveryconvenient,bothtodrawvariousgraphics,includingthetwo-dimensionalgraphicsandthree-dimensionalgraphics,graphicscanalsobemodifiedandcontrolled.ThisarticlewrittenbytheMATLABenvironmenttosolvebyclassicalphysicsscientificcomputingproblems,suchasmechanical,thermal,electromagneticssomecommonproblems.Themainideaofthispaperistointroduceclassicalphysicsproblems,andthenexercisestoanalyze,answer,andthenprogrammedbyMATLABsoftwaretosimulatetheexperimentalresults.Throughmultipleauthentication.Gettheanswersyouneed.Andthroughgraphicsrendering,imagedepictsthegraphics,comparedwiththeexpectedresultstoverify.ConclusiThisarticlepresentstheMATLABsoftwaretosolvetheproblemofphysics.KeyWords：Mechanics;heat;electromagnetism,;MATLAB目錄引言.................................................................11力學問題...........................................................31.1質點運動學..................................................................1.1已知質點的運動方程求其速度和加速度.....................................1.1.2已知質點的運動方程求質點的軌跡.........................................1.1.3考慮空氣阻力的拋射體運動...............................................1.1.4已知加速度求速度、運動方程和軌跡.......................................1.2盧瑟福散射（Rutherfordscattering)研究...........................................2熱學問題..........................................................112.1理想氣體物態(tài)方程............................................................2.2范德瓦耳斯方程..............................................................2.1范德瓦耳斯氣體等溫線...................................................2.2.2臨界參數(shù)...............................................................3電磁學問題........................................................153.1求電偶極子在其所在平面產生的電場中任一點P的電位...........................3.2由電位的表示式計算電場并畫出等電位線和電場方向..............................3.3帶電粒子在電磁場中的運動....................................................結論................................................................20參考文獻............................................................21致謝................................................................22I引言近幾十年來，計算機技術的廣泛應用已經深入地影響到社會的各個方面，大大加快了社會的變革進程，計算機的應用離不開計算語言，而計算語言本身也處于不斷的發(fā)展之中。MATLAB是MATrixLABoratory（矩陣實驗室）的縮寫，它自從1984年由美國MathWorks公司推出以來，經過不斷改進和發(fā)展，現(xiàn)已經成為國際公認的優(yōu)秀的工程應用開發(fā)環(huán)境。MATLAB是一種廣泛應用于工程計算及數(shù)值分析領域的新型高級語言。它以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位，使得矩陣運算變得非常簡捷、方便、高效。MATLAB提供了十分豐富的數(shù)值計算函數(shù)，而且MATLAB和著名的符號計算語言Maple相結合，使得MATLAB具有符號計算功能。MATLAB的繪圖功能也很強，它既可以繪制各種二維、三維圖形，還可以對圖形進行修飾和控制，以增強圖形的表現(xiàn)效果。MATLAB具有編程語言的基本特征，使用MATLAB也可以像使用BASIC、FORTRAN、C等傳統(tǒng)編程語言一樣，進行程序設計，而且簡單易學、編程效率高。MATLAB包含基本部分和各種可選的工具箱，其基本部分構成了MATLAB的核心內容，而MATLAB工具箱擴充了其功能。應用范圍也越來越廣。物理模型的建立及其數(shù)學處理在物理學的教學中占有重要地位，而MATLAB在這方面具有獨特的優(yōu)勢。因此，利用MATLAB這一先進的科學計算語言來輔助物理學的教學工作必將大大提高教學效率。另外，MATLAB起點低、功能強、易學易用以及兼有數(shù)值運算和符號運算功能的優(yōu)點，可以初步掌握這門科學計算語言，并在整個物理學習過程中不斷反復使用是完全必要和可行的。運動學的任務是描述隨時間的推移物體空間位置的變動，不涉及物體間相互作用與運動的關系。本文在力學中主要討論如何使用MATLAB描述質點理想模型的運動，最后引入伽利略變換，它和物理學一條基本原理即相對性原理密切相關。質點平面運動指質點在平面上的曲線運動。這時，質點經常改變運動方向，速度、加速度等物理量的矢量性更突出。如何選擇坐標系的問題更加重要。本文在質點運動方面，主要討論拋體運動，在理想情況下，受空氣阻力、斜拋等得運動軌跡如何在MATLAB中體現(xiàn)出來。以及，已知速度、如何求加速度等。本文在熱學方面主要處理了理想氣體物態(tài)方程、范德瓦耳斯方程如何用MATLAB描述出來。理想氣體，只要在足夠寬廣的溫度、壓強變化范圍內進行比較精細的研究，就可發(fā)現(xiàn)，氣體的物態(tài)方程相當復雜，而且不同氣體所遵循的規(guī)律也有所不同。但在壓強趨于零，其溫度不太高也不太低的情況下，不同種類氣體在物態(tài)方程上的差異可趨于消失，氣體所遵從的規(guī)律也趨于簡單。這種壓強趨于零的極限狀態(tài)下的氣體稱為理想氣體。荷蘭物理學家范德瓦耳斯在克勞修斯的論文的啟發(fā)下，對理想氣體的兩條基本假定即忽略分子固有體積、忽略除碰撞外分子間相互作用力作出了兩條重要修正，得出了能描述真實氣體行為的范德瓦耳斯方程。在發(fā)現(xiàn)電現(xiàn)象2000多年之后，人們才開始對電現(xiàn)象進行定量的研究。1785年，庫倫通過扭秤實驗總結出兩個靜止電荷之間電相互作用的定量規(guī)律，通常稱之為庫侖定律。實驗表明，靜電力具有疊加性。原則上，庫侖定律加上靜電力的疊加原理可以求解任意帶電體之間的靜電力。實驗也指出，試探電荷在場中所受的靜電力與試探電荷電量之比反映了電場本身的性質，該比值被稱為電場強度。電場強度也具有疊加性，由場強的定義加上場的疊加原理可以求解任意帶電體的場強分布。本文在電磁學中，主要研究如何用MATLAB求解電偶極子，帶電粒子在電場中運動的問題。本文在物理題目的選取上，主要是普遍、常見的問題，意在將計算語言和物理課程的學習結合起來，起到相輔相成的作用。在程序的編寫中，也力求簡潔。1力學問題1.1質點運動學在一些問題中，若物體的形狀和大小可以忽略，則可以把該物體視為具有一定質量的幾何點，這就是所謂的質點。質點運動學的基本問題是；已知質點的運動學方程求質點的軌跡、速度和加速度；已知質點的速度或加速度求質點的運動方程和軌跡。下面，結合大家熟悉的幾個具體例子來說明如何用MATLAB處理上述問題1.1.1已知質點的運動方程求其速度和加速度 例：某質點的運動學方程為r10i15tj5t3k（單位：m，s），求t=1s時質點的速度矢量。解題分析 質點的位置矢量為r(t)x(t)iy(t)jz(t)k，dxdydz質點的速度矢量為vijk，dt dt dt質點速度大小和方向余弦分別為 v v vvv2v2v2cosxcosycoszx y z v v v程序symstr=[-10,15*t,5*t^3];%用數(shù)組表示位置矢量V=diff(r,t);%求速度v=sqrt(sum(V.^2))%求速度矢量長度，即速度矢量的大小alpha=acos(V(1)/v);beta=acos(V(2)/v);gamma=acos(V(3)/v);%求速度矢量的方向角v1=subs(v,t,1),alpha=subs(alpha,t,1),beta=subs(beta,t,1),gamma=subs(gamma,t,1)%求t=1s時質點的速率和方向角，使用了置換命令的函數(shù)subs運行結果：v1=21.2132alpha=1.5708beta=0.7854gamma=0.78541.1.2已知質點的運動方程求質點的軌跡例：設一物體以拋射角，速度拋出，落點與射點在同一水平面，且不計空氣阻力。求物體在空氣中飛行的時、落點距離和飛行的最大高度。解題分析：質點運動學，有 1 1xcostat2yvsintat2 0 2x 0 2y解出t，它就是落點時間t.t有兩個解，只取其中的一個有效解，然后求最 i i大飛行距離x。maxxvcostmax001MATLAB程序：clearally0=0;x0=5;%取初始位置，為了畫出豎拋運動，未將x0取在原點。v0=input('v0=');theta=input('theta=');%輸入拋射速率和岀射角度v0x=v0*cosd(theta);v0y=v0*sind(theta);%輸入初速度的x分量和y分量ay=-9.81;ax=0;%加速度的y分量和x分量tf=roots([ay/2,v0y,y0]);有兩個解，只取有效解%解出方程的根，求飛行時間。tf=max(tf);%落點時間t=0:0.1:tf;%為了畫圖，取時間數(shù)組y=y0+v0y*t+ay*t.^2/2;x=x0+v0x*t+ax*t.^2/2;%t時刻，質點的位置xf=max(x),%飛行達到的最遠距離，即射程yf=max(y),%飛行中達到的最大高度gridon,holdon%畫網格，保持圖形plot(x,y),%畫圖，xlabel('x'),ylabel('y')%坐標標注holdoff仿真結果與討論：運行該程序，例如，取初速度=30，岀射角分別取35,45,55,65，75,85，90，則可畫出圖1.1所示曲線，并命令窗口中給出相應的射程、飛行時間和最大高度。圖1.1拋體的運動軌跡在上述程序中，我們設定了目標高度為零。我們還可對上述程序進行修改，使其能預先設定目標高度。1.1.3考慮空氣阻力的拋射體運動例：一物體在有阻力的空氣中作拋體運動，設拋體質量為m，初速度為（可設v5,v19），受到的空氣阻力大小與速率v的一次方成正比，b是 x0 y0數(shù)。求拋體的運動軌跡和速度的x、y分量以及速率v隨時間的變化。解題分析：以地面為參考系，以拋出點為原點建立直角坐標系。質點受重力和空氣阻力的作用，其運動微分方程為d2rmmgbvdt2令y(1)=x,y(2)=dx/dt,y(3)=y,y(4)=dy/dt,將方程寫成一階微分方程組的形式dy(1)dty(2)dy(2)by(2)(y2(2)y2(4))1/2 dt m dy(3)y(4)dt dy(4) by(4) g(y2(2)y2(4))1/2 dt m再用命令函數(shù)ode45解此常微分方程組。MATLAB程序m=1;%為簡單起見，取m=1.b=input('b=');%輸入b值，例如，b=0.3.[t,y]=ode45('ex1',[0:0.01:5],[0,5,0,19],[],b,m);%使用了數(shù)值法解微分方程的命令函數(shù)ode45v=sqrt(y(:,2).^2+y(:,4).^2);subplot(2,1,1)%繪制子圖plot(y(:,1),y(:,3))%繪制運動軌跡，即x-y曲線，注意：y(1)=x,y(3)=y.subplot(2,1,2)plot(t,y(:,2),t,y(:,4),t,v)%繪制速度的x，y分量以及速率v時間t的變化曲線。函數(shù)文件functionydot=ex1(t,y,flag,b,m)ydot=[y(2);-b./m.*y(2).*sqrt(y(2).^2+y(4).^2);y(4);-9.8-b./m.*y(4).*sqrt(y(2).^2+y(4).^2)];運行結果如圖1.2所示?？梢愿淖僢值（例如b分別取0.3和0）來觀察運動軌跡和速度的x分量、y分量及速率v隨時間的變化。（a)b=0.3(b)b=0圖1.2有空氣阻力時拋射體的運動軌跡及速度隨時間的變化1.1.4已知加速度求速度、運動方程和軌跡aAcost,aBsint,AB,A0,B0例：一質點平面運動的加速度為x y 。初始條件為t0,vB,xA,y0。求質點軌跡。 0 0x 0 0解題分析：將加速度對時間求積分可得速度，將速度對時間求積分可得位置坐標。在得到參數(shù)方程后，給定時間數(shù)組，就可以畫出運動軌跡。vva(t)dt vva(t)dtt tx 0x x y 0y y t t0 0xxv(t)dt yyv(t)dtt t 0 x 0 y t t0 0MATLAB程序clearallsymstABv0xv0yx0y0vxvyaxaytt1t2;v0x=0;v0y=B;x0=A;y0=0;%初始條件ax=-A*cos(t);ay=-B*sin(t);%加速度的x分量和y分量。vx=v0x+int(ax,t,0,t1),vy=v0y+int(ay,t,0,t1),%速度的x分量和y分量x=A+int(vx,t1,0,t2);y=int(vy,t1,0,t2);%求參數(shù)方程x=vpa(subs(x,{A,B},{1,0.5}),3)%使用了vpa計算數(shù)值；使用subs用數(shù)據(jù)替換A和B。y=vpa(subs(y,{A,B},{1,0.5}),3)運行結果：vx=-A*sin(t1)vy=-B*cos(t1)x=cos(t2)y=500*sin(t2)%下面繪制質點的軌跡cleart2=0:0.1:2*pi;x=cos(t2);y=.500*sin(t2);plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y')從圖1.3給出了程序的運行結果，可知質點的運動軌跡是橢圓。圖1.3：質點的軌跡1.2盧瑟福散射（Rutherfordscattering)研究例：盧瑟福等人發(fā)現(xiàn)用粒子轟擊金箔時有些入射粒子散射偏轉角很大，甚至超過90。盧瑟福于1911年提出原子必有以帶正電的核心，即原子核；此即原子結構的行星模型。已知粒子的質量為m，以速度v接近電荷為Ze的重原子核，瞄準距離為0b，如圖所示。設原子核質量比粒子大很多，可以近似看作靜止。求粒子接近重原子核最近距離d。畫出粒子在不同初始條件下的軌道，并通過改變初始條件來研究影響散射角的因素。解題分析粒子受靜電力始終指向重核中心，粒子在一平面內運動。設z軸垂直于此平面且通過重核中心，則粒子所受靜電力對z軸的力矩為零，即對z軸的角動量守恒。粒子以速度v運動，對z軸的角動量是bmv，粒子最接近 0 0重核（距離為d）時，速度v應與粒子至核的連線垂直，角動量為dmv。于是bdmvbmv或vv 0 0d（1）在散射過程中，只有庫侖斥力作用，故能量守恒。1 kZe21mv2 mv2 2 d 20（2）其中，左邊第二項是庫侖斥力勢能。聯(lián)解（1）、（2）式，可得d的表達式。選擇在直角坐標系，原點O位于力心重核處。根據(jù)牛頓運動定律，粒子的運動方程在直角坐標Oxy中的投影方程為 d2x kZe2x d2y kZe2y dt2m(x2y2)3/2 dt2m(x2y2)3/2令yx,ydx/dt，yy，ydy/dt，則上述方程組可寫為 1 2 3 4dydt1y2 dy kZe2ydt2m(y2y21)3/2 1 2dy3y dt 4 dy4kZe2y3dtm(y12y32)3/2令粒子沿Ox方向入射，入射速率為v，初始條件為0yx,yv,yy,y0。為了能得到多粒子的運動軌跡程，序中采用input數(shù)不始。MATLAB程序求粒子接近重原子核最近距離d。symsvv0bkZemd;[d,v]=solve('v=v0*b/d','m*v^2/2+k*Z*e^2/d=m*v0^2/2',d,v)運行結果：d=1/2/m/v0^2*(2*k*Z*e^2+2*(k^2*Z^2*e^4+m^2*v0^4*b^2)^(1/2))v=2*v0^3*b*m/(2*k*Z*e^2+2*(k^2*Z^2*e^4+m^2*v0^4*b^2)^(1/2)) kZe2 kZe22即dmv02mv02b2畫出粒子在不同初始條件下的軌道y0=input('請輸入初始條件:');%例如，可輸入：[-201100];line(0,0,'marker','.','markersize',50,'color','r');text(2,0,'靶粒子');holdon[t,y]=ode23('ex2f',[0:.1:42],y0,[],3);axis([-2020,-2020])plot(y(:,1),y(:,3)),holdon以下是獨立的函數(shù)文件，文件名為ex2f.m,其中pkZe2/m。functionydot=ex2f(t,y,flag,p)ydot=[y(2);p*y(1)./sqrt(y(1).*y(1)+y(3).*y(3)).^3;y(4);p*y(3)./sqrt(y(1).*y(1)+y(3).*y(3)).^3];運行結果如圖1.4所示。圖1.4：粒子的散射軌道2熱學問題2.1理想氣體物態(tài)方程理想氣體是將實際氣體外推到壓強趨于零的極限情況下得到的一個理想模型。1857年，克勞修斯進一步提出了理想氣體的微觀模型，并通過計算氣體的壓強得到了理想氣體的物態(tài)方程。而在此之前，理想氣體物態(tài)方程是由氣體三大實驗定律外推得到的。例：編寫一個繪制帶有等高線的理想氣體狀態(tài)方程pV=RT的曲面。解題分析理想氣體的物態(tài)方程為pVRT。其中，p，V，分別為氣體的壓強、體積和摩爾數(shù)，R為氣體普適常數(shù)，其值為R=8.31J/mol*K.圖2.1：理想氣體狀態(tài)方程曲面圖MATLAB程序clearR=8.31;p=(1:20).*1e5;v=(1:20)*1e-3;[v,p]=meshgrid(v,p);T=p.*v./R;meshc(v,p,T),xlabel('v'),ylabel('p'),zlabel('T'),運行結果如圖2.1所示。實驗指出，理想氣體狀態(tài)方程在一定程度上反映了真實氣體的性質，但對低溫和高密度狀態(tài)下的氣體以及氣體和液體之間的相變卻無能為力，因而是一個理想的“永久氣體”狀態(tài)方程。2.2范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯方程1873年，荷蘭物理學家范德瓦耳斯（vanderWaals)在克勞修斯的理想氣體模型和安德魯斯發(fā)現(xiàn)的臨界點現(xiàn)象的啟發(fā)下，考慮了分子體積和分子間吸引力這兩個因素，對理想氣體進行了修正，得到了能描述真實氣體行為的范德瓦耳斯方程：a(p)(vb)RT v2 00其中，常數(shù)a和b分別是1mol范氏氣體的壓強修正系數(shù)和體積修正系數(shù)，其數(shù)值隨氣體種類的不同而異。下表1列出了幾種氣體的a，b值及臨界參量。表1：幾種氣體的a、b值及臨界參量氣體氣體a)10(*3Pab)10(*5PaPcTc(K))10(*33mVcAr0.13490.0332747.9789150.86760.09682CO0.36060.0428072.9079304.06400.1284CO0.14560.0395434.4925132.89470.1186He0.0034140.023712.24925.19650.07112H0.024610.0266812.804933.28960.0800Ne0.020910.0169726.892244.4680.05092N0.13500.0386433.4885126.08970.11592O0.13630.0318449.7950154.49200.09552.2.1范德瓦耳斯氣體等溫線例:編寫一個繪制范德瓦爾斯氣體等溫線的程序，要求輸入溫度值后便可畫出相應的等溫線。解題分析以二氧化碳為例，從表1查得a0.3606，b0.04280*103，由范德瓦爾斯方程a(p)(vb)RTv2可繪制等溫線簇，溫度選取如圖所示。MATLAB程序v=(0.06:0.001:1).*1e-3;T=input('T=');b=0.0428e-3;a=0.3606;R=8.31;p=R.*T./(v-b)-a./v.^2;gridon,plot(v,p),axis([0,0.4e-3,-2e7,6e7])holdon;運行結果如圖2.2所示圖2.2：范德瓦耳斯氣體等溫線范德瓦爾斯方程不僅對氣體性質的描述優(yōu)于理想氣體物態(tài)方程，而且還能描述液相及氣、液兩相轉變的性質以及臨界點的特征。2.2.2臨界參數(shù)范德瓦爾斯等溫線中有一個特殊的狀態(tài)——臨界點。臨界點所對應的壓強、體積和溫度分別稱為臨界壓強p、臨界體積V和臨界溫度T。在臨界點所發(fā)生的氣屬于二級變；而低于臨界點是的氣液相變屬于一級相變。在臨界點以上，氣體是不能夠通過等溫壓縮被轉變?yōu)橐合嗟?。系統(tǒng)在臨界點具有許多特殊性質，稱為臨界現(xiàn)象。下面來介紹臨界點的確定。例:由范德瓦爾斯物態(tài)方程求臨界參量p、V、T。ccc解題分析從圖可以看出，臨界點是一拐點，它同時滿足下列條件： p 2pvT0，v2T0利用上述拐點條件，將范德瓦爾斯方程對v求導并聯(lián)解方程，便可求得范德瓦爾斯氣體的三個臨界參量。MATLAB程序clearsymsabRTD1=diff('(p+a/v^2)*(v-b)-R*T','v');D2=diff(D1,'v');[pc,vc]=solve(D1,D2,'v','p')Tc=solve((pc+a/vc^2)*(vc-b)-R*T,'T')運行結果pc=1/27*a/b^2vc=3*bTc=8/27*a/b/Ra即p；c27b28av3b，T c c27bR3電磁學問題3.1求電偶極子在其所在平面產生的電場中任一點P的電位例：已知電偶極子中兩電荷-q和+q的距離為l。計算中可取l3,q1.6*1019C。解題分析設場點P到q的距離為r和r，則q單獨存在時P點的電位分別為 1 21q 1qUU 14r 24r 01 0 2由電位疊加原理，電偶極子產生的電場在P點的電位為UUU 1 2MATLAB程序clear;q=1.6e-19;%單位電荷電量C0=9e9;l=3.0;%偶極子正負電荷之間的距離lx=-5:0.5:5;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y);r1=sqrt((X-1./2).^2+(Y-0).^2);%電荷距離空間P（x，y）點的距離r2=sqrt((X+1./2).^2+(Y-0).^2);U=q.*C0.*(1./r1-1./r2);%求出空間任意一點P（x，y）的電位plot(-1/2,0,'ro',-1/2,0,'r-')%標出負電荷holdon,plot(1/2,0,'ro',1/2,0,'r+')%標出正電荷C=contour(X,Y,U,'k-');clabel(C);%畫等位線并標出電位值axis('square')運行結果如圖3.1所示3.1電位梯度與電場強度電位是標量，它在空間中每點都有一定的數(shù)值，所以電位是標量場。標量場在空間中沿不同方向的變化率稱為梯度，對電位場而言稱為電位梯度，用gradU或U來表示。可以證明，電位梯度U和電場強度E的關系為UUU Egrad(U)U(i jk) x y z利用上式，可從已知的電位分布求電場強度。3.2由電位的表示式計算電場并畫出等電位線和電場方向解題分析如果已知空間的電位分布UU(x,y,z)則空間的電場強度為UUU EU(i jk) x y z按照本題的要求，可利用讀入字符串的指令input('U'(x,y)=','s')來輸入電位方程。在MATLAB中，梯度函數(shù)的調用格式為gradient（），它是靠數(shù)值微分得到的。因此，空間觀測點應取得密一些，以獲得較高的精度。MATLAB程序clearallU=input('請輸入電位方程，U=(x,y)=','s');%例如，取U(x,y)=log(x.^2+y.^2)。xmax=5;ymax=5;Ngrid=20;%繪圖區(qū)從x=-xmax到xmax，網格線數(shù)為20xplot=linspace(-xmax,xmax,Ngrid);%繪圖用x的數(shù)組[x,y]=meshgrid(xplot);%x，y取同樣范圍，生成二維網格Uplot=eval(U);%執(zhí)行輸入的字符串U,計算各點U的值[Explot,Eyplot]=gradient(-Uplot);%電場等于電位的負梯度clf;subplot(1,2,1),meshc(Uplot);%劃分子圖；繪制含等位線的三維曲面xlabel('x');ylabel('y');zlabel('U');subplot(1,2,2),axis([-xmax,xmax,-ymax,ymax]);%規(guī)定等位線的范圍cs=contour(x,y,Uplot);%畫等位線，cs是等位線值clabel(cs);%標出等位線的值holdon;quiver(x,y,Explot,Eyplot);%保持圖形，在原圖形上疊加矢量場圖xlabel('x');ylabel('y');holdoff;圖3.2：Ulog(x2y2)的電位分布與電場分布運行上述程序，所得結果如圖3.2所示。3.3帶電粒子在電磁場中的運動例：設質量為m，帶電量為q的粒子在電磁場中的運動微分方程為d2rmqEqvBdt2 選場中某點為原點，以E為Oy方向，B沿Oz方向，建立坐標系Oxyz。qB令，上式的投影方程為m d2x dy dt2 dt d2yqE dx dt2 m dtd2z0dt2令yx,ydx/dt,yy,ydy/dt,yz,ydz/dt，上述方程可改寫為 1 2 3 4 5 6下列一階微分方程組：dydt1y2;dydt2y4;dydt3y4 dy4qEy;dy5y;dy60 dtm 2dt 6dtMATLAB程序%%符號法求離子運動微分方程的特解并繪圖clearsymswxyztBEmq;E=input('E=');B=input('B=');%輸入E和B值[x,y,z]=dsolve('D2x=q*B/m*Dy','D2y=q*E/m-q*B/m*Dx','D2z=0','x(0)=0','y(0)=0','z(0)=0','Dx(0)=0.01','Dy(0)=6','Dz(0)=0.01');%初始條件取x(0)=y(0)=z(0)=0,Dx(0)=0.01,Dy(0)=0.01q=1.6e-2;m=0.02X=subs([x,y,z]);x=X(1),y=X(2),z=X(3),ezplot3(X(1),X(2),X(3))運行上述程序，例如，取E=4，B=8可得下列特解并給出圖3.3x=-15/16*cos(32/5*t)-49/640*sin(32/5*t)+1/2*t+15/16y=15/16*sin(32/5*t)-49/640*cos(32/5*t)+49/640z=1/100*t(a)E=4,B=8(b)E=0.01,B=8(c)E=8,B=1圖3.3：帶電粒子在電磁場中的運動下面我們給出一段用數(shù)值方法求解該問題的程序，用以比較。q=1.6e-2;m=0.02;B=[2;2;0];E=[1;0;1];figurestrd{1}='E\neq0,B\neq0';strd{2}='E=0,B\neq0';strd{3}='E\neq0,B=0';fori=1:3[t,y]=ode23('ex3f',[0:0.1:20],[0,0.01,0,6,0,0.01],[],q,m,B(i),E(i));axes('unit','normalized','position',[0.0293+(i-1)*0.3250.0620.280.658]);plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5),'linewidth',2);gridontitle(strd{i},'fontsize',12,'fontweight','demi');view([-51,18]);End函數(shù)文件是一個獨立的文件，文件名為ex3f.mfunctionydot=ex3f(t,y,flag,q,m,b,e)ydot=[y(2);q*b*y(4)/m;y(4);q*e/m-q*b*y(2)/m;y(6);0];運行該程序，可得到與上圖3.3相同的結果。結論從本文利用MATLAB語言對經典物理一些具體問題的分析，并得出最終結論，首先，應用MATLAB求解這些問題，使原來繁瑣的手工計算變得簡便，而且可將物理題中的解及一些特殊函數(shù)以圖形的形式顯示出來，形象、直觀，便于理解。而且MATLAB強大的科學運算、靈活的程序設計、便捷的與其他程序和語言接口的功能，顯示出很強的優(yōu)越性。其次，應用MATLAB解決以上物理題方程的時候解決掉了手工計算式子多，計算繁雜，求解過程復雜的問題。得出的圖形直觀，對掌握物理問題有一定幫助。參考文獻孫祥.MATLAB7.0基礎教程.北京:清華大學出版社2006劉衛(wèi)國.MATLAB程序設計教程.北京:中國水利水電出版社.北京:2005陳懷琛.MATLAB及其在理工課程中的應用指南.西安:西安電子科技大學出版社，2000張志涌.精通MATLAB6.5版.北京:北京航空航天大學出版社，2004彭芳麟.數(shù)學物理方程的MATLAB解法與可視化.北京:清華大學出版社，2005薛定宇,陳陽泉.高等應用數(shù)學問題的MATLAB求解.北京:清華大學出版社,2004黃忠霖,黃京.MATLAB符號運算及其應用.北京:國防工業(yè)出版社,2004蘇金明,張蓮花等.MATLAB工具箱應用.北京:電子工業(yè)出版社,2004陸果.基礎物理學.北京:高等教育出版社,1997汪志城.熱力學?統(tǒng)計物理（第三版）.北京:高等教育出版社,2003秦允豪.熱學(第二版).北京:高等教育出版社,2004.6漆安慎,杜嬋英.力學(第二版).北京:高等教育出版社,2005.6梁燦彬,秦光戎等.電磁學.北京:高等教育出版社,2004.5盧德馨.大學物理學.北京:高等教育出版社,1998彭芳麟.理論力學的計算機模擬.北京:清華大學出版社,2002致謝在此論文撰寫過程中，要特別感謝我的導師的指導與督促，感謝他的諒解與包容。還得感謝我的母校、感謝所有授予我知識、幫助我的老師。還有同學們的幫助。在你們的幫助下完成了這篇論文。謝謝我的父母，沒有他們辛勤的付出也就沒有我的今天，在這一刻，將最崇高的敬意獻給你們！本文參考了大量的文獻資料，在此，向各學術界的前輩們致敬！畢業(yè)設計（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權說明原創(chuàng)性聲明本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設計（論文），是我個人在指導教師的指導下進行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得及其它教育機構的學位或學歷而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻的個人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。作者簽名：日期：指導教師簽名：日期：使用授權說明本人完全了解大學關于收集、保存、使用畢業(yè)設計（論文）的規(guī)定，即：按照學校要求提交畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版本；學校有權保存畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務；學校可以采用影印、縮印、數(shù)字化或其它復制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉績热荨Ｗ髡吆灻喝掌冢簩W位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導師的指導下獨立進行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標注引用的內容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫的成果作品。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。作者簽名：日期：年月日學位論文版權使用授權書本學位論文作者完全了解學校有關保留、使用學位論文的規(guī)定，同意學校保留并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權大學可以將本學位論文的全部或部分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。涉密論文按學校規(guī)定處理。作者簽名：日期：年月日導師簽名：日期：年月日指導教師評閱書指導教師評價：一、撰寫（設計）過程學生在論文（設計）過程中的治學態(tài)度、工作精神□優(yōu)□良□中□及格□不及格學生掌握專業(yè)知識、技能的扎實程度□優(yōu)□良□中□及格□不及格學生綜合運用所學知識和專業(yè)技能分析和解決問題的能力□優(yōu)□良□中□及格□不及格研究方法的科學性；技術線路的可行性；設計方案的合理性□優(yōu)□良□中□及格□不及格完成畢業(yè)論文（設計）期間的出勤情況□優(yōu)□良□中□及格□不及格二、論文（設計）質量論文（設計）的整體結構是否符合撰寫規(guī)范？□優(yōu)□良□中□及格□不及格是否完成指定的論文（設計）任務（包括裝訂及附件）？□優(yōu)□良□中□及格□不及格三、論文（設計）水平論文（設計）的理論意義或對解決實際問題的指導意義□優(yōu)□良□中□及格□不及格論文的觀念是否有新意？設計是否有創(chuàng)意？□優(yōu)□良□中□及格□不及格論文（設計說明書）所體現(xiàn)的整體水平□優(yōu)□良□中□及格□不及格建議成績：□優(yōu)□良□中□及格□不及格（在所選等級前的□內畫“√”）指導教師：（簽名）單位：（蓋章）年月日評閱教師評閱書評閱教師評價：一、論文（設計）質量1、論文（設計）的整體結構是否符合撰寫規(guī)范？□優(yōu)□良□中□及格□不及格2、是否完成指定的論文（設計）任務（包括裝訂及附件）？□優(yōu)□良□中□及格□不及格二、論文（設計）水平1、論文（設計）的理論意義或對解決實際問題的指導意義□優(yōu)□良□中□及格□不及格2、論文的觀念是否有新意？設計是否有創(chuàng)意？□優(yōu)□良□中□及格□不及格3、論文（設計說明書）所體現(xiàn)的整體水平□優(yōu)□良□中□及格□不及格建議成績：□優(yōu)□良□中□及格□不及格（在所選等級前的□內畫“√”）評閱教師：（簽名）單位：（蓋章）年月日天津職業(yè)技術師范大學2011屆本科生畢業(yè)論文天津職業(yè)技術師范大學2011屆本科生畢業(yè)論文天津職業(yè)技術師范大學2011屆本科生畢業(yè)論文教研室（或答辯小組）及教學系意見學位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師的指導下進行的研究工作所取得的成果。盡我所知，除文中已經特別注明引用的內容和致謝的地方外，本論文不包含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以