演示文稿高斯求積公式數(shù)值微分

當(dāng)前1頁(yè)，總共50頁(yè)。一、高斯點(diǎn)定義：高斯公式機(jī)械求積公式含有2n+2個(gè)待定參數(shù)

若適當(dāng)選擇這些參數(shù)使求積公式具有盡量高次（2n+1次?!）代數(shù)精度，則這類公式稱為高斯公式。(4.1)當(dāng)前2頁(yè)，總共50頁(yè)。定義：高斯公式的求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)。???請(qǐng)回顧:以前學(xué)過(guò)的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式嗎？

除中矩形公式外都不是！注：機(jī)械型高斯求積公式一定是插值求積公式。當(dāng)前3頁(yè)，總共50頁(yè)。舉例求

[a,b]上的兩點(diǎn)高斯公式。解

設(shè)兩點(diǎn)高斯公式為當(dāng)前4頁(yè)，總共50頁(yè)。這是關(guān)于四個(gè)未知數(shù)的非線性方程組，是否有解？一般難于求解…要求其代數(shù)精度最高，四個(gè)未知數(shù)，可列出4個(gè)方程:當(dāng)前5頁(yè)，總共50頁(yè)。高斯點(diǎn)具有以下性質(zhì)：定理插值型求積公式(4.1)成為Gauss求積公式的充要條件：求積節(jié)點(diǎn)為n+1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)。如何求高斯公式?當(dāng)前6頁(yè)，總共50頁(yè)。正交多項(xiàng)式概述：當(dāng)前7頁(yè)，總共50頁(yè)。首先證明對(duì)于任給節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn，均存在某個(gè)次數(shù)為2n+2的多項(xiàng)式f(x),機(jī)械型求積公式不能精確成立，即其最高代數(shù)精度不能達(dá)到2n+2。如取：證明則有：當(dāng)前8頁(yè)，總共50頁(yè)。設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為n+1次正交多項(xiàng)式ωn+1(x)

的零點(diǎn)?，F(xiàn)證充分性。即求積公式是高斯型。證明當(dāng)前9頁(yè)，總共50頁(yè)?，F(xiàn)對(duì)于任意給定的次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式f(x),用除f(x)，記商為P(x)，余式為Q(x)，即≤2n+1n+1≤

n≤n由已知條件，ω(x)與P(x)正交，故得當(dāng)前10頁(yè)，總共50頁(yè)。由于所給求積公式(4.1)是插值型的，它至少具有n次代數(shù)精度，故對(duì)Q(x)能準(zhǔn)確成立：再注意到ω(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，從而有綜之得：這說(shuō)明公式對(duì)一切次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，綜之說(shuō)明xk是高斯點(diǎn)。當(dāng)前11頁(yè)，總共50頁(yè)。再證必要性，即若是高斯求積公式設(shè)P(x)是任意次數(shù)不超過(guò)n

的多項(xiàng)式，則P(x)ω(x)的次數(shù)不超過(guò)2n+1，因此應(yīng)準(zhǔn)確成立但故.求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的當(dāng)前12頁(yè)，總共50頁(yè)。注：1、總可通過(guò)施密特正交化求出[a,b]上與所有次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式都正交的多項(xiàng)式ωn+1(x)。2、命題：n次正交多項(xiàng)式有n個(gè)單零點(diǎn)。當(dāng)前13頁(yè)，總共50頁(yè)。解：設(shè)P0(x)=C，ω1(x)=x–x0。由于即展開(kāi)，得則一個(gè)點(diǎn)的高斯公式為中矩形公式例.求[-1，1]上與次數(shù)為0的多項(xiàng)式正交的多項(xiàng)式ω1(x)=？當(dāng)前14頁(yè)，總共50頁(yè)。二、高斯—勒讓得公式若[a,b]=[-1,1]，其上的高斯公式為稱為高斯-勒讓得公式。[-1，1]上的正交多項(xiàng)式稱為勒讓得多項(xiàng)式，勒讓得多項(xiàng)式Pn+1(x)的零點(diǎn)就是高斯點(diǎn)。當(dāng)前15頁(yè)，總共50頁(yè)。幾個(gè)Legandre多項(xiàng)式：當(dāng)前16頁(yè)，總共50頁(yè)。

若取P1(x)=x

的零點(diǎn)x0=0作求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式：令它對(duì)f(x)=1準(zhǔn)確成立，即可定出A0=2.從而得到一點(diǎn)高斯公式：中矩形公式當(dāng)前17頁(yè)，總共50頁(yè)。令它對(duì)f(x)=1,x

準(zhǔn)確成立，即可定出A0,A1可得兩點(diǎn)高斯—勒讓得公式為若取的零點(diǎn)作求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式注：更高階的公式見(jiàn)書(shū)p122。當(dāng)前18頁(yè)，總共50頁(yè)。???請(qǐng)思考:高斯—勒讓得公式的求積區(qū)間是[-1，1]，那么對(duì)于任意求積區(qū)間[a,b]如何辦？解作變換可以化到區(qū)間[-1，1]上，這時(shí)當(dāng)前19頁(yè)，總共50頁(yè)。三、帶權(quán)的高斯公式（更一般的表現(xiàn)形式）有時(shí)需要求如下帶權(quán)的積分：稱上述ρ(x)≥0是權(quán)函數(shù)。當(dāng)前20頁(yè)，總共50頁(yè)。定義：若求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，則稱這類公式為帶權(quán)的高斯公式.高斯點(diǎn)我們類似的可有：當(dāng)前21頁(yè)，總共50頁(yè)。定理是高斯點(diǎn)的充要條件：是區(qū)間[a,b]上帶權(quán)ρ(x)正交的多項(xiàng)式。當(dāng)前22頁(yè)，總共50頁(yè)。若[a,b]=[-1，1]，權(quán)函數(shù)為所建立的高斯公式切比雪夫—高斯公式稱為切比雪夫—高斯公式。xk是切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)。當(dāng)前23頁(yè)，總共50頁(yè)。4.7.4Gauss-Chebyshelv

quadratureformula當(dāng)前24頁(yè)，總共50頁(yè)。Remark1threetermrecurrenceformula

v.s.

Schmidtorthogonolization;Remark2Tnare

perpendicular

polynomials;當(dāng)前25頁(yè)，總共50頁(yè)。當(dāng)前26頁(yè)，總共50頁(yè)。Atlast,we’llstatetheerrorestimationoftheGauss-Chebyshelvformulawithouttheproof:當(dāng)前27頁(yè)，總共50頁(yè)。AccordingtotheerrorestimationoftheGauss-Typeformula,wehave:

當(dāng)前28頁(yè)，總共50頁(yè)。Consultthetableinp122.當(dāng)前29頁(yè)，總共50頁(yè)。當(dāng)前30頁(yè)，總共50頁(yè)。構(gòu)造高斯公式的一般方法：1、構(gòu)造正交多項(xiàng)式，繼而求其零點(diǎn)，再按插值求積公式獲得高斯公式；2、待定系數(shù)法此外，還可涉及到無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分等。例如：---拉蓋爾-高斯積分當(dāng)前31頁(yè)，總共50頁(yè)。舉例要構(gòu)造下列形式的高斯公式解則其代數(shù)精度應(yīng)為即求解…?!當(dāng)前32頁(yè)，總共50頁(yè)。定理（穩(wěn)定性）高斯求積公式的求積系數(shù)Ak>0.證明：事實(shí)上這表明高斯求積法是穩(wěn)定的。當(dāng)前33頁(yè)，總共50頁(yè)。關(guān)于積分余項(xiàng)和收斂性有：積分余項(xiàng)：收斂性：設(shè)f(x)∈C[a,b],則有：當(dāng)前34頁(yè)，總共50頁(yè)。4.1NumericalDifferentiationHowever,(i)Thereisnoerrorestimation;(ii)ArethereanyothernumericalmethodsforND?Howtoconstructthem&whatabouterror?Toanswerthesequestions,weobservefirst:當(dāng)前35頁(yè)，總共50頁(yè)。ErrorBound當(dāng)前36頁(yè)，總共50頁(yè)。當(dāng)前37頁(yè)，總共50頁(yè)。當(dāng)前38頁(yè)，總共50頁(yè)。Calledforwarddifference¢raldifferenceformula.Therearealsobackwarddifferenceformulas.當(dāng)前39頁(yè)，總共50頁(yè)。Five-pointformulabelowcanbeobtainedsimilarly:Itthenbecalledcompactform.當(dāng)前40頁(yè)，總共50頁(yè)。Forhigherorderderivatives,itcanalsobeobtainedbyinterpolationliketothe1storderderivativeusingmorepoints.

Alternately,wecanobtaintheformulaswhicharealgebraicallytediousbyTaylor’sexpansionsuchas:Cf.theresultsobtainedbythetwomethods.當(dāng)前41頁(yè)，總共50頁(yè)。Balancebetweenround-off&truncatederror當(dāng)前42頁(yè)，總共50頁(yè)。4.2Richardson’sExtrapolation(1927)Richardson’sExtrapolationisusedtogeneratehigh-accuracyresultswhileusinglow-accuracyformulas.當(dāng)前43頁(yè)，總共50頁(yè)。當(dāng)前44頁(yè)，總共50頁(yè)。ThencombinedwiththeformulaofN2(h)toeliminatetheh2term,weobtain:Whichposseshigherordertruncatederror!當(dāng)前45頁(yè)，總共50頁(yè)。當(dāng)前46頁(yè)，總共50頁(yè)。Thegeometryexplanation(Forh→0,theapproximationshouldbeaccuracy):Relatedtopic:steffensen’saccelerationforconvergentlinearlyiterativesequence.當(dāng)前47頁(yè)，總共50頁(yè)。NumericalDifferentiationRevisit

-------UsingExtrapolationMethod當(dāng)前48頁(yè)，總共50頁(yè)。ThetechniqueofRichardson’sextrapolationisalsousedinapproximatingdefiniteintegralsandindeterminingapproximatesolutiontodifferentialequationsinla