極限運(yùn)算法則

關(guān)于極限運(yùn)算法則1第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一2利用極限的定義可以驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)在某一極限過(guò)程是否以常數(shù)A為極限,一般來(lái)說(shuō)是比較繁瑣的。但今后遇到的最多的問(wèn)題是判斷一極限過(guò)程中函數(shù)有沒(méi)有極限?如果有如何求出極限.這往往是通過(guò)一些已知的簡(jiǎn)單極限去尋求比較復(fù)雜的函數(shù)的極限,這就要用到極限的運(yùn)算法則。本節(jié)介紹的幾個(gè)定理,不僅可以用來(lái)求一些函數(shù)的極限,也可以用來(lái)判斷某些函數(shù)的極限是否存在,并可以導(dǎo)出其他一些運(yùn)算法則.學(xué)習(xí)時(shí)注意結(jié)論和結(jié)論的條件.極限運(yùn)算法則第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一3一、無(wú)窮大與無(wú)窮小無(wú)窮?。鹤⒁猓簾o(wú)窮小與很小的數(shù)的區(qū)別。定義：如果當(dāng)（或）時(shí)函數(shù)的極限為零，那么叫做（或）時(shí)的無(wú)窮小.以0為極限的數(shù)列也稱(chēng)為時(shí)的無(wú)窮小.第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一4

在的變化過(guò)程中是否為無(wú)窮小量，與x的變化趨勢(shì)有關(guān)。如當(dāng)?shù)谒捻?yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一5其中(x)為時(shí)的無(wú)窮小量.定理.

(無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類(lèi)似可證.第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一6時(shí),有無(wú)窮小的性質(zhì)定理1.

有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.證:

考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量.第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一7說(shuō)明:

無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，類(lèi)似可證:有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小.（P57,題3）第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一8定理2.

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無(wú)窮小.推論1

.

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2

.

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一9例1.求下列無(wú)窮小的和的極限解:

第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一10例2.求解:

利用定理2可知說(shuō)明:

y=0是的漸近線.第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一11第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一12第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一13第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一14第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一15第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一16第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一17第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一18第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一193二、無(wú)窮大第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一20定義2

.若任給

M>0,一切滿(mǎn)足不等式的

x,總有則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大,

使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一21注意1）無(wú)窮大是變量,

它是描述函數(shù)的一種狀態(tài),它不是很大的數(shù),不能與很大的數(shù)混淆.3)無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但2）不可認(rèn)為極限存在；是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.有界無(wú)界無(wú)窮大存在某“時(shí)刻”,那時(shí)刻后一切x，均滿(mǎn)足概念回放第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一22故函數(shù)為無(wú)窮大,必定無(wú)界.但反之不真!例如,

函數(shù)當(dāng)故函數(shù)為無(wú)界,但所以時(shí),不是無(wú)窮大!第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一234）若則直線為曲線的鉛直漸近線.第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一24例2.證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對(duì)滿(mǎn)足的一切x,有所以直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說(shuō)明:第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一25例3研究x→0時(shí)，函數(shù)是否為無(wú)窮小.解因x→0+時(shí)，當(dāng)x→0-時(shí)，第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一26因x→0時(shí)，函數(shù)的左右極限不等,極限不存在,故不是無(wú)窮小，但時(shí)為無(wú)窮小.第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一27

在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;證定理4恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系(證明)此時(shí)對(duì)使得當(dāng)?shù)诙唔?yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一28關(guān)于無(wú)窮大的討論,意義無(wú)窮小的討論.都可歸結(jié)為關(guān)于

在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;定理4恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.此時(shí)對(duì)使得當(dāng)?shù)诙隧?yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一29二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無(wú)窮小)于是由定理1可知也是無(wú)窮小,再利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3(1).若第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一30推論:

若且則利用保號(hào)性定理證明.說(shuō)明:

定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一31定理3(2)

.若則有提示:

利用極限與無(wú)窮小關(guān)系定理及無(wú)窮小乘法性質(zhì)證明.說(shuō)明:

定理2可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一32為無(wú)窮小定理3(3).

若且B≠0,則有證:

因有其中設(shè)無(wú)窮小有界因此由極限與無(wú)窮小關(guān)系定理,得為無(wú)窮小,第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一33定理4:若則有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此結(jié)論可由定理1,2,3直接得出.第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一34

x=3時(shí)分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說(shuō)明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.

若第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一35例5.

求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一36例6

.

求下列函數(shù)的極限解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”解:第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一37例7.

求解:分子分母同除以解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式3.

求第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一38一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一39定理6.

設(shè)且x

滿(mǎn)足時(shí),又則有2.若定理中則類(lèi)似可得三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則說(shuō)明:1.公式表明，在相應(yīng)條件下求復(fù)合函數(shù)的極限，可通過(guò)代換化復(fù)合函數(shù)為簡(jiǎn)單函數(shù).第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一403.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則(證明)定理.

設(shè)且

x滿(mǎn)足時(shí),又則有證:

當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一41例7.求解:

令已知∴原式=第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一42例8.求解:

方法1則令∴原式方法2第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一43例9*分析函數(shù)復(fù)合的層次：解首先改寫(xiě)第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一44例10：求下列函數(shù)的極限（分子有理化）第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一45例11.

求解法1原式=解法2令則原式=第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一46例12.

試確定常數(shù)a

使解:令則故因此第四十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一47解:利用前一極限式,可令再利用后一極限式,得可見(jiàn)是多項(xiàng)式,且求故例13第四十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一48內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無(wú)窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7第四十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一493.極限求法小結(jié)

多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;因式分解消去零因子法求極限;