【數(shù)學(xué)】2012新題分類匯編：選修4系列(高考真題+模擬新題)

PAGE選修4系列(高考真題+模擬新題)課標(biāo)理數(shù)5.N1[2011·北京卷]如圖1－2，AD，AE，BC分別與圓O切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G.圖1－2給出下列三個(gè)結(jié)論：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①②B．②③C．①③D．①②③課標(biāo)理數(shù)5.N1[2011·北京卷]A【解析】因?yàn)锳D、AE、BC分別與圓O切于點(diǎn)D、E、F，所以AD＝AE，BD＝BF，CF＝CE，又AD＝AB＋BD，所以AD＝AB＋BF，同理有AE＝CA＋FC.又BC＝BF＋FC，所以AD＋AE＝AB＋BC＋CA，故①正確；對(duì)②，由切割線定理有：AD2＝AF·AG，又AD＝AE，所以有AF·AG＝AD·AE成立；對(duì)③，很顯然，∠ABF≠∠AGD，所以③不正確，故應(yīng)選A.圖1－2課標(biāo)理數(shù)15.N1[2011·廣東卷](幾何證明選講選做題)如圖1－2，過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝________.課標(biāo)理數(shù)15.N1[2011·廣東卷]eq\r(35)【解析】因?yàn)镻A為圓O切線，所以∠PAB＝∠ACB，又∠APB＝∠BAC，所以△PAB∽△ACB，所以eq\f(PB,AB)＝eq\f(AB,CB)，所以AB2＝PB·CB＝35，所以AB＝eq\r(35).課標(biāo)文數(shù)15.N1[2011·廣東卷](幾何證明選講選做題)如圖1－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，圖1－3E、F分別為AD、BC上點(diǎn)，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_(kāi)_______．課標(biāo)文數(shù)15.N1[2011·廣東卷]7∶5課標(biāo)理數(shù)22.N1[2011·遼寧卷]選修4－1：幾何證明選講圖1－11如圖1－11，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，EC＝ED.(1)證明：CD∥AB；(2)延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．課標(biāo)理數(shù)22.N1[2011·遼寧卷]【解答】(1)因?yàn)镋C＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.圖1－12(2)由(1)知，AE＝BE，因?yàn)镋F＝EG，故∠EFD＝∠EGC.從而∠FED＝∠GEC.連結(jié)AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°，故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．課標(biāo)文數(shù)22.N1[2011·遼寧卷]如圖1－10，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線圖1－10與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC＝ED.(1)證明：CD∥AB；(2)延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．課標(biāo)文數(shù)22.N1[2011·遼寧卷]【解答】(1)因?yàn)镋C＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.圖1－11因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE，因?yàn)镋F＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC.連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．課標(biāo)文數(shù)22.N1[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]如圖1－10，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．圖1－10已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個(gè)根．(1)證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圓的半徑．課標(biāo)文數(shù)22.N1[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]圖1－11【解答】(1)證明：連結(jié)DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)，又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB，即∠ACB與∠EDB互補(bǔ)，所以∠CED與∠DBC互補(bǔ)，所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓．(2)m＝4，n＝6時(shí)，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連結(jié)DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，從而HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)(12－2)＝5.故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為5eq\r(2).課標(biāo)理數(shù)15.[2011·陜西卷](考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分)N4A.(不等式選做題)若關(guān)于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．圖1－5N1B.(幾何證明選做題)如圖1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________.N3C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為_(kāi)_______．課標(biāo)理數(shù)15.(1)N4[2011·陜西卷]a≥3或a≤－3【解析】令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值為3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.課標(biāo)理數(shù)15.(2)N1[2011·陜西卷]4eq\r(2)【解析】在Rt△ADC中，CD＝8eq\r(2)；在Rt△ADC與Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故eq\f(AB,AD)＝eq\f(BE,CD)，BE＝eq\f(AB,AD)×CD＝4eq\r(2).課標(biāo)理數(shù)15.(3)N3[2011·陜西卷]3【解析】由C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))消參得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為5，兩圓半徑都為1，故|AB|≥3，最小值為3.課標(biāo)文數(shù)15.[2011·陜西卷]N4A.(不等式選做題)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a對(duì)任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是________．圖1－7N1B.(幾何證明選做題)如圖1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________.N3C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為_(kāi)_______．課標(biāo)文數(shù)15A.N4[2011·陜西卷](－∞，3]【解析】由絕對(duì)值的幾何意義得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，則a≤3，即a∈(－∞，3]．課標(biāo)文數(shù)15B.N1[2011·陜西卷]2【解析】根據(jù)圖形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四點(diǎn)共圓，連接BD，則∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.因?yàn)锳E⊥BC，AE＝eq\f(1,2)AC＝2.課標(biāo)文數(shù)15C.N3[2011·陜西卷]1【解析】由C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝sinθ))消參得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為3，兩圓半徑都為1，故|AB|≥1，最小值為1.課標(biāo)數(shù)學(xué)21.[2011·江蘇卷]【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．圖1－7N1A．選修4－1：幾何證明選講如圖1－7，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值．N2B．選修4－2：矩陣與變換已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,21))，向量β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2)).求向量α，使得A2α＝β.N3C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosφ，,y＝3sinφ))(φ為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝3－t))(t為參數(shù))平行的直線的普通方程．N4D．選修4－5：不等式選講解不等式x＋|2x－1|<3.課標(biāo)數(shù)學(xué)21.[2011·江蘇卷]N1A．選修4－1：幾何證明選講本題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力．【解答】證明：連結(jié)AO1，并延長(zhǎng)分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連結(jié)BD，CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．從而∠ABD＝∠ACE＝eq\f(π,2)，所以BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2).所以AB∶AC為定值．N2B．選修4－2：矩陣與變換本題主要考查矩陣運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．【解答】A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,21))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32,43)).設(shè)α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y)).由A2α＝β，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32,43))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝1，,4x＋3y＝2.))解得x＝－1，y＝2，所以α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2)).N3C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．【解答】由題設(shè)知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝5，短半軸長(zhǎng)b＝3，從而c＝eq\r(a2－b2)＝4，所以右焦點(diǎn)為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直線的斜率為eq\f(1,2)，因此其方程為y＝eq\f(1,2)(x－4)，即x－2y－4＝0.N4D．選修4－5：不等式選講本題主要考查解絕對(duì)值不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論、運(yùn)算求解能力．【解答】原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x＋2x－1<3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1<0，,x－2x－1<3.))解得eq\f(1,2)≤x<eq\f(4,3)或－2<x<eq\f(1,2).所以原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<\f(4,3))))).課標(biāo)理數(shù)12.N1[2011·天津卷]如圖1－6所示，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖1－6課標(biāo)理數(shù)12.N1[2011·天津卷]eq\f(\r(7),2)【解析】設(shè)AF＝4k(k>0)，則BF＝2k，BE＝k.由DF·FC＝AF·BF，得2＝8k2，即k＝eq\f(1,2).∴AF＝2，BF＝1，BE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(7,2)，由切割線定理得CE2＝BE·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4)，∴CE＝eq\f(\r(7),2).課標(biāo)文數(shù)13.N1[2011·天津卷]如圖1－5，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖1－5課標(biāo)文數(shù)13.N1[2011·天津卷]eq\f(\r(7),2)【解析】設(shè)AF＝4k(k>0)，則BF＝2k，BE＝k.由DF·FC＝AF·BF得2＝8k2，即k＝eq\f(1,2).∴AF＝2，BF＝1，BE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(7,2)，由切割線定理得CE2＝BE·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4)，∴CE＝eq\f(\r(7),2).課標(biāo)理數(shù)21.[2011·福建卷]N2(1)選修4－2：矩陣與變換設(shè)矩陣M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a0),\s\do5(0b))))(其中a>0，b>0)．①若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1；②若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：eq\f(x2,4)＋y2＝1，求a，b的值．N3(2)坐標(biāo)系選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．①已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；②設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．N4(3)選修4－5：不等式選講設(shè)不等式|2x－1|<1的解集為M.①求集合M；②若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。n標(biāo)理數(shù)21.[2011·福建卷]【解答】N2(1)①設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x1y1),\s\do5(x2y2))))，則MM－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(10),\s\do5(01)))).又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(20),\s\do5(03))))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(20),\s\do5(03))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x1y1),\s\do5(x2y2))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(10),\s\do5(01)))).所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝eq\f(1,2)，y1＝0，x2＝0，y2＝eq\f(1,3).故所求的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(\f(1),\s\do5(2))0,0\f(1,3)))).②設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)．則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a0),\s\do5(0b))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x),\s\do5(y))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x′),\s\do5(y′))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＝x′,by＝y(tǒng)′.))又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線C′上，所以eq\f(x′2,4)＋y′2＝1.則eq\f(a2x2,4)＋b2y2＝1為曲線C的方程．又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))又a>0，b>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))N3(2)①把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))化為直角坐標(biāo)，得P(0,4)．因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上．②因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(eq\r(3)cosα，sinα)，從而點(diǎn)Q到直線l的距離為d＝eq\f(|\r(3)cosα－sinα＋4|,\r(2))＝eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋4,\r(2))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋2eq\r(2).由此得，當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為eq\r(2).N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1，所以M＝{x|0<x<1}．②由①和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.N3C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosφ，,y＝3sinφ))(φ為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝3－t))(t為參數(shù))平行的直線的普通方程．N4D．選修4－5：不等式選講解不等式x＋|2x－1|<3.課標(biāo)數(shù)學(xué)21.[2011·江蘇卷]N1A．選修4－1：幾何證明選講本題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力．【解答】證明：連結(jié)AO1，并延長(zhǎng)分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連結(jié)BD，CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．從而∠ABD＝∠ACE＝eq\f(π,2)，所以BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2).所以AB∶AC為定值．N2B．選修4－2：矩陣與變換本題主要考查矩陣運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．【解答】A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,21))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32,43)).設(shè)α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y)).由A2α＝β，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32,43))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝1，,4x＋3y＝2.))解得x＝－1，y＝2，所以α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2)).N3C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．【解答】由題設(shè)知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝5，短半軸長(zhǎng)b＝3，從而c＝eq\r(a2－b2)＝4，所以右焦點(diǎn)為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直線的斜率為eq\f(1,2)，因此其方程為y＝eq\f(1,2)(x－4)，即x－2y－4＝0.N4D．選修4－5：不等式選講本題主要考查解絕對(duì)值不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論、運(yùn)算求解能力．【解答】原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x＋2x－1<3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1<0，,x－2x－1<3.))解得eq\f(1,2)≤x<eq\f(4,3)或－2<x<eq\f(1,2).所以原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<\f(4,3))))).課標(biāo)理數(shù)5.N3[2011·安徽卷]在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圓ρ＝2cosθ的圓心的距離為()A．2B.eq\r(4＋\f(π2,9))C.eq\r(1＋\f(π2,9))D.eq\r(3)課標(biāo)理數(shù)5.N3[2011·安徽卷]D【解析】點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝2cos\f(π,3)＝1，,y＝ρsinθ＝2sin\f(π,3)＝\r(3).))圓ρ＝2cosθ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圓心(1,0)到點(diǎn)(1，eq\r(3))的距離為eq\r(3).課標(biāo)理數(shù)3.N3[2011·北京卷]在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))C．(1,0)D．(1，π)課標(biāo)理數(shù)3.N3[2011·北京卷]B【解析】由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化為普通方程為x2＋(y＋1)2＝1，其圓心坐標(biāo)為(0，－1)，所以其極坐標(biāo)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))，故應(yīng)選B.課標(biāo)理數(shù)21.[2011·福建卷]N2(1)選修4－2：矩陣與變換設(shè)矩陣M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a0),\s\do5(0b))))(其中a>0，b>0)．①若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1；②若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：eq\f(x2,4)＋y2＝1，求a，b的值．N3(2)坐標(biāo)系選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．①已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；②設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．N4(3)選修4－5：不等式選講設(shè)不等式|2x－1|<1的解集為M.①求集合M；②若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。n標(biāo)理數(shù)21.[2011·福建卷]【解答】N2(1)①設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x1y1),\s\do5(x2y2))))，則MM－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(10),\s\do5(01)))).又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(20),\s\do5(03))))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(20),\s\do5(03))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x1y1),\s\do5(x2y2))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(10),\s\do5(01)))).所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝eq\f(1,2)，y1＝0，x2＝0，y2＝eq\f(1,3).故所求的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(\f(1),\s\do5(2))0,0\f(1,3)))).②設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)．則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a0),\s\do5(0b))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x),\s\do5(y))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x′),\s\do5(y′))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＝x′,by＝y(tǒng)′.))又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線C′上，所以eq\f(x′2,4)＋y′2＝1.則eq\f(a2x2,4)＋b2y2＝1為曲線C的方程．又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))又a>0，b>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))N3(2)①把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))化為直角坐標(biāo)，得P(0,4)．因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上．②因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(eq\r(3)cosα，sinα)，從而點(diǎn)Q到直線l的距離為d＝eq\f(|\r(3)cosα－sinα＋4|,\r(2))＝eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋4,\r(2))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋2eq\r(2).由此得，當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為eq\r(2).N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1，所以M＝{x|0<x<1}．②由①和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.課標(biāo)理數(shù)14.N3[2011·廣東卷](坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知兩曲線參數(shù)方程分別為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2,y＝t))(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．課標(biāo)理數(shù)14.N3[2011·廣東卷]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))【解析】把參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))化為標(biāo)準(zhǔn)方程得eq\f(x2,5)＋y2＝1(y≥0)，把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))化為標(biāo)準(zhǔn)方程得y2＝eq\f(4,5)x(x>0)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋y2＝1，,y2＝\f(4,5)x，))得x＝1或x＝－5(舍去)，把x＝1代入y2＝eq\f(4,5)x得y＝eq\f(2\r(5),5)或y＝－eq\f(2\r(5),5)(舍去)，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).課標(biāo)理數(shù)9.N3[2011·湖南卷]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．課標(biāo)理數(shù)9.N3[2011·湖南卷]2【解析】曲線C1的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))化為普通方程：x2＋(y－1)2＝1，圓心為(0,1)，r＝1，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化為普通方程：x－y＋1＝0，則圓心在曲線C2上，直線與圓相交，故C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.課標(biāo)文數(shù)9.N3[2011·湖南卷]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝\r(3)sinα))(α為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．課標(biāo)文數(shù)9.N3[2011·湖南卷]2【解析】曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝\r(3)sinα，))化為普通方程：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1①，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化為普通方程：x－y＋1＝0②.聯(lián)立①，②得7x2＋8x－8＝0，此時(shí)Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.課標(biāo)理數(shù)15.N3[2011·江西卷](1)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______．課標(biāo)理數(shù)15.N3[2011·江西卷]【答案】x2＋y2－4x－2y＝0【解析】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))?cosθ＝eq\f(x,ρ)，sinθ＝eq\f(y,ρ)，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ得，ρ＝eq\f(2y,ρ)＋eq\f(4x,ρ)?ρ2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0.課標(biāo)理數(shù)23.N3[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα.))(α為參數(shù))M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的參數(shù)方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝eq\f(π,3)與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|.課標(biāo)理數(shù)23.N3[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]【解答】(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，由于M點(diǎn)在C1上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2cosα，,\f(y,2)＝2＋2sinα，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))從而C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))(α為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ.射線θ＝eq\f(π,3)與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1＝4sineq\f(π,3)，射線θ＝eq\f(π,3)與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2＝8sineq\f(π,3).所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2eq\r(3).課標(biāo)理數(shù)23.N3[2011·遼寧卷]選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝sinφ))(φ為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(a＞b＞0，φ為參數(shù))．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ＝α與C1，C2各有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)α＝0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合．(1)分別說(shuō)明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值；(2)設(shè)當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A1，B1，當(dāng)α＝－eq\f(π,4)時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積．課標(biāo)理數(shù)23.N3[2011·遼寧卷]【解答】(1)C1是圓，C2是橢圓．當(dāng)α＝0時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1,0)，(a,0)．因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2，所以a＝3.當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,1)，(0，b)．因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，射線l與C1交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x＝eq\f(\r(2),2)，與C2交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x′＝eq\f(3\r(10),10).當(dāng)α＝－eq\f(π,4)時(shí)，射線l與C1，C2的兩個(gè)交點(diǎn)A2，B2分別與A1，B1關(guān)于x軸對(duì)稱．因此四邊形A1A2B2B1為梯形，故四邊形A1A2B2B1的面積為eq\f(2x′＋2xx′－x,2)＝eq\f(2,5).課標(biāo)文數(shù)23.N3[2011·遼寧卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參\o"歡迎登陸全品高考網(wǎng)!"數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝sinφ，))(φ為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))(a＞b＞0，φ為參數(shù))．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ＝α與C1，C2各有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)α＝0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合．(1)分別說(shuō)明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值；(2)設(shè)當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A1，B1，當(dāng)α＝－eq\f(π,4)時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積．課標(biāo)文數(shù)23.N3[2011·遼寧卷]【解答】(1)C1是圓，C2是橢圓．當(dāng)α＝0時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1,0)，(a,0)，因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2，所以a＝3.當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,1)，(0，b)，因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，射線l與C1交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x＝eq\f(\r(2),2)，與C2交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x′＝eq\f(3\r(10),10).當(dāng)α＝－eq\f(π,4)時(shí)，射線l與C1，C2的兩個(gè)交點(diǎn)A2，B2分別與A1，B1關(guān)于x軸對(duì)稱，因此四邊形A1A2B2B1為梯形．故四邊形A1A2B2B1的面積為eq\f(2x′＋2xx′－x,2)＝eq\f(2,5).課標(biāo)文數(shù)23.N3[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα.))(α為參數(shù))M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的參數(shù)方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝eq\f(π,3)與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|.課標(biāo)文數(shù)23.N3[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]【解答】(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，由于M點(diǎn)在C1上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2cosα，,\f(y,2)＝2＋2sinα，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))從而C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα，))(α為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ.射線θ＝eq\f(π,3)與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1＝4sineq\f(π,3)，射線θ＝eq\f(π,3)與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2＝8sineq\f(π,3).所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2eq\r(3).課標(biāo)理數(shù)15.[2011·陜西卷](考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分)N4A.(不等式選做題)若關(guān)于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．圖1－5N1B.(幾何證明選做題)如圖1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________.N3C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為_(kāi)_______．課標(biāo)理數(shù)15.(1)N4[2011·陜西卷]a≥3或a≤－3【解析】令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值為3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.課標(biāo)理數(shù)15.(2)N1[2011·陜西卷]4eq\r(2)【解析】在Rt△ADC中，CD＝8eq\r(2)；在Rt△ADC與Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故eq\f(AB,AD)＝eq\f(BE,CD)，BE＝eq\f(AB,AD)×CD＝4eq\r(2).課標(biāo)理數(shù)15.(3)N3[2011·陜西卷]3【解析】由C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))消參得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為5，兩圓半徑都為1，故|AB|≥3，最小值為3.課標(biāo)文數(shù)15.[2011·陜西卷]N4A.(不等式選做題)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a對(duì)任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是________．圖1－7N1B.(幾何證明選做題)如圖1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________.N3C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為_(kāi)_______．課標(biāo)文數(shù)15A.N4[2011·陜西卷](－∞，3]【解析】由絕對(duì)值的幾何意義得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，則a≤3，即a∈(－∞，3]．課標(biāo)文數(shù)15B.N1[2011·陜西卷]2【解析】根據(jù)圖形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四點(diǎn)共圓，連接BD，則∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.因?yàn)锳E⊥BC，AE＝eq\f(1,2)AC＝2.課標(biāo)文數(shù)15C.N3[2011·陜西卷]1【解析】由C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝sinθ))消參得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為3，兩圓半徑都為1，故|AB|≥1，最小值為1.課標(biāo)數(shù)學(xué)21.[2011·江蘇卷]【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．圖1－7N1A．選修4－1：幾何證明選講如圖1－7，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值．N2B．選修4－2：矩陣與變換已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,21))，向量β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2)).求向量α，使得A2α＝β.N3C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosφ，,y＝3sinφ))(φ為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝3－t))(t為參數(shù))平行的直線的普通方程．N4D．選修4－5：不等式選講解不等式x＋|2x－1|<3.課標(biāo)數(shù)學(xué)21.[2011·江蘇卷]N1A．選修4－1：幾何證明選講本題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力．【解答】證明：連結(jié)AO1，并延長(zhǎng)分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連結(jié)BD，CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．從而∠ABD＝∠ACE＝eq\f(π,2)，所以BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2).所以AB∶AC為定值．N2B．選修4－2：矩陣與變換本題主要考查矩陣運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．【解答】A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,21))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32,43)).設(shè)α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y)).由A2α＝β，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32,43))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝1，,4x＋3y＝2.))解得x＝－1，y＝2，所以α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2)).N3C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．【解答】由題設(shè)知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝5，短半軸長(zhǎng)b＝3，從而c＝eq\r(a2－b2)＝4，所以右焦點(diǎn)為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直線的斜率為eq\f(1,2)，因此其方程為y＝eq\f(1,2)(x－4)，即x－2y－4＝0.N4D．選修4－5：不等式選講本題主要考查解絕對(duì)值不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論、運(yùn)算求解能力．【解答】原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x＋2x－1<3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1<0，,x－2x－1<3.))解得eq\f(1,2)≤x<eq\f(4,3)或－2<x<eq\f(1,2).所以原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<\f(4,3))))).課標(biāo)理數(shù)11.N3[2011·天津卷]已知拋物線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8t2，,y＝8t))(t為參數(shù))．若斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與圓(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝________.課標(biāo)理數(shù)11.N3[2011·天津卷]eq\r(2)【解析】由拋物線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8t2，,y＝8t，))消去t，得y2＝8x，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)．∴直線l的方程為y＝x－2.又∵直線l與圓(x－4)2＋y2＝r2相切，∴r＝eq\f(|4－2|,\r(12＋12))＝eq\r(2).課標(biāo)理數(shù)21.[2011·福建卷]N2(1)選修4－2：矩陣與變換設(shè)矩陣M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a0),\s\do5(0b))))(其中a>0，b>0)．①若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1；②若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：eq\f(x2,4)＋y2＝1，求a，b的值．N3(2)坐標(biāo)系選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．①已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；②設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．N4(3)選修4－5：不等式選講設(shè)不等式|2x－1|<1的解集為M.①求集合M；②若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。n標(biāo)理數(shù)21.[2011·福建卷]【解答】N2(1)①設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x1y1),\s\do5(x2y2))))，則MM－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(10),\s\do5(01)))).又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(20),\s\do5(03))))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(20),\s\do5(03))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x1y1),\s\do5(x2y2))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(10),\s\do5(01)))).所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝eq\f(1,2)，y1＝0，x2＝0，y2＝eq\f(1,3).故所求的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(\f(1),\s\do5(2))0,0\f(1,3)))).②設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)．則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a0),\s\do5(0b))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x),\s\do5(y))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x′),\s\do5(y′))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＝x′,by＝y(tǒng)′.))又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線C′上，所以eq\f(x′2,4)＋y′2＝1.則eq\f(a2x2,4)＋b2y2＝1為曲線C的方程．又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))又a>0，b>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))N3(2)①把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))化為直角坐標(biāo)，得P(0,4)．因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上．②因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(eq\r(3)cosα，sinα)，從而點(diǎn)Q到直線l的距離為d＝eq\f(|\r(3)cosα－sinα＋4|,\r(2))＝eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋4,\r(2))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋2eq\r(2).由此得，當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為eq\r(2).N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1，所以M＝{x|0<x<1}．②由①和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.課標(biāo)理數(shù)10.N4，E6[2011·湖南卷]設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值為_(kāi)_______．課標(biāo)理數(shù)10.N4，E6[2011·湖南卷]9【解析】方法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))＝1＋4x2y2＋eq\f(1,x2y2)＋4≥5＋2eq\r(4x2y2×\f(1,x2y2))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2＝eq\f(1,x2y2)時(shí)，“＝”成立．方法二：利用柯西不等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x×\f(1,x)＋\f(1,y)×2y))2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2＝eq\f(1,x2y2)時(shí)，等號(hào)成立．課標(biāo)理數(shù)15.N4[2011·江西卷](2)(不等式選做題)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為_(kāi)_______．課標(biāo)理數(shù)15.N4[2011·江西卷]【答案】5【解析】|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，|x－2y＋1|取得最大值5.課標(biāo)文數(shù)15.N4[2011·江西卷]對(duì)于x∈R，不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋10))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))≥8的解集為_(kāi)_______．課標(biāo)文數(shù)15.N4[2011·江西卷][0，＋∞)【解析】由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－10，,－x－10＋x－2≥8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－10<x≤2，,x＋10＋x－2≥8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x＋10－x＋2≥8，))解得x∈[0，＋∞)．課標(biāo)理數(shù)24.N4[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．課標(biāo)理數(shù)24.N4[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]【解答】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式可化為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x－a＋3x≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a，,a－x＋3x≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x≤\f(a,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a，,x≤－\f(a,2).))因?yàn)閍＞0，所以不等式組的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由題設(shè)可得－eq\f(a,2)＝－1，故a＝2.課標(biāo)理數(shù)24.N4[2011·遼寧卷]選修4－5：不等式選講已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．課標(biāo)理數(shù)24.N4[2011·遼寧卷]【解答】(1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3，x≤2，,2x－7，2＜x＜5，,3，x≥5.))當(dāng)2＜x＜5時(shí)，－3＜2x－7＜3.所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集；當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－eq\r(3)≤x＜5}；當(dāng)x≥5時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5≤x≤6}．綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－eq\r(3)≤x≤6}．課標(biāo)文數(shù)24.N4[2011·遼寧卷]已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．課標(biāo)文數(shù)24.N4[2011·遼寧卷]【解答】(1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3，x≤2，,2x－7，2＜x＜5，,3，x≥5.))當(dāng)2＜x＜5時(shí)，－3＜2x－7＜3.所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集；當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－eq\r(3)≤x＜5}；當(dāng)x≥5時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5≤x≤6}．綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－eq\r(3)≤x≤6}．課標(biāo)文數(shù)24.N4[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．課標(biāo)文數(shù)24.N4[2011·課標(biāo)全國(guó)卷]【解答】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式可化為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x－a＋3x≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a，,a－x＋3x≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x≤\f(a,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a，,x≤－\f(a,2).))因?yàn)閍>0，所以不等式組的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由題設(shè)可得－eq\f(a,2)＝－1，故a＝2.課標(biāo)理數(shù)15.[2011·陜西卷](考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分)N4A.(不等式選做題)若關(guān)于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．圖1－5N1B.(幾何證明選做題)如圖1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________.N3C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為_(kāi)_______．課標(biāo)理數(shù)15.(1)N4[2011·陜西卷]a≥3或a≤－3【解析】令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值為3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.課標(biāo)理數(shù)15.(2)N1[2011·陜西卷]4eq\r(2)【解析】在Rt△ADC中，CD＝8eq\r(2)；在Rt△ADC與Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故eq\f(AB,AD)＝eq\f(BE,CD)，BE＝eq\f(AB,AD)×CD＝4eq\r(2).課標(biāo)理數(shù)15.(3)N3[2011·陜西卷]3【解析】由C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))消參得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為5，兩圓半徑都為1，故|AB|≥3，最小值為3.課標(biāo)文數(shù)15.[2011·陜西卷]N4A.(不等式選做題)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a對(duì)任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是________．圖1－7N1B.(幾何證明選做題)如圖1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________.N3C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為_(kāi)_______．課標(biāo)文數(shù)15A.N4[2011·陜西卷](－∞，3]【解析】由絕對(duì)值的幾何意義得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，則a≤3，即a∈(－∞，3]．課標(biāo)文數(shù)15B.N1[2011·陜西卷]2【解析】根據(jù)圖形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四點(diǎn)共圓