2019版數(shù)學(xué)（理）培優(yōu)增分一輪全國經(jīng)典版培優(yōu)講義：第2章 第12講定積分與微積分基本定理 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第12講定積分與微積分基本定理板塊一知識梳理·自主學(xué)習(xí)［必備知識]考點(diǎn)1定積分的概念在eq\i\in（a,b,)f(x）dx中，a,b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間［a，b]叫做積分區(qū)間，f（x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f（x）dx叫做被積式．考點(diǎn)2定積分的性質(zhì)（1）eq\i\in（a，b,)kf（x)dx＝keq\i\in(a，b，）f(x)dx（k為常數(shù))．(2)eq\i\in（a，b,）[f1（x）±f2(x)]dx＝eq\i\in（a,b,)f1（x）dx±eq\a\vs4\al(\i\in(a，b，）f2xdx）。（3）eq\i\in(a，b，）f（x）dx＝eq\i\in（a，c，)f(x)dx＋eq\i\in（c,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b）．考點(diǎn)3微積分基本定理如果f(x）是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x）＝f（x），那么eq\i\in(a,b，）f(x）dx＝F（b）－F(a)，這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式．為了方便，常把F(b)－F（a)記成F(x)｜eq\o\al（b，a），即eq\i\in（a,b，）f(x）dx＝F(x)|eq\o\al（b,a）＝F（b)－F(a)．［必會結(jié)論］1．定積分應(yīng)用的常用結(jié)論當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值為正；當(dāng)曲邊梯形位于x軸下方時,定積分的值為負(fù)；當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形與位于x軸下方的曲邊梯形面積相等時，定積分的值為零．2．函數(shù)f(x）在閉區(qū)間[－a,a］上連續(xù)，則有(1）若f(x）為偶函數(shù)，則eq\i\in（-a,a,）f（x)dx＝2eq\i\in(0,a，)f（x)dx.(2）若f(x）為奇函數(shù)，則eq\i\in(—a,a,)f（x）dx＝0。［考點(diǎn)自測]1．判斷下列結(jié)論的正誤．（正確的打“√"，錯誤的打“×”)（1）設(shè)函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間[a，b］上連續(xù),則eq\i\in（a，b，）f（x)dx＝eq\i\in（a,b,)f(t）dt.（)（2)若函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間[a，b］上連續(xù)且恒正,則eq\i\in(a,b，）f(x）dx>0。()(3）若eq\i\in（a，b,)f(x）dx<0，那么由y＝f（x），x＝a，x＝b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方．（)（4）微積分基本定理中的F（x）是唯一的．(）(5)曲線y＝x2與y＝x所圍成圖形的面積是eq\i\in（0,1，）（x2－x)dx.（）答案（1）√(2）√（3）×(4)×(5）×2．[課本改編］eq\i\in(—1,1，)(x－1)dx＝（)A．2B．－2C.eq\f(1，3)D.eq\f（1，2)答案B解析eq\i\in(—1，1，）(x－1）dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2，2）－x))|eq\o\al(1,－1）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）－1))－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）＋1）)＝－2。3．[課本改編]eq\i\in（0,eq\f（π，2)，）（sinx－acosx）dx＝2，則實(shí)數(shù)a等于(）A．－1B．1C．－2D．2答案A解析由題知(－cosx－asinx）eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(π，2），0)）＝1－a＝2,a＝－1。故選A.4．［2018·陜西模擬］定積分eq\i\in(0,1，)(2x＋ex）dx的值為（)A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1答案C解析eq\i\in(0，1,）(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＝(1＋e)－（0＋e0）＝e。故選C.5．[2018·南昌一模]若eq\i\in(1,a，)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1，x)))dx＝3＋ln2（a＞1)，則a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析由題意可知eq\i\in(1，a,）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（1,x））)dx＝（x2＋lnx）|eq\o\al(a,1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.6．[2018·衡陽一模］如圖，陰影部分的面積是()A．32B．16C.eq\f(32，3)D。eq\f(8，3)答案C解析由題意得，陰影部分的面積S＝eq\i\in（—3,1，）（3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3x－\f(1，3)x3－x2))｜eq\o\al(1，－3）＝eq\f(32，3）.板塊二典例探究·考向突破考向定積分的計算例1計算下列定積分：(1)eq\i\in(1，2,）eq\f（2，x)dx；（2）eq\i\in(0,2,）｜1－x|dx；(3）eq\i\in(0,1,）eq\r(1－x－12)dx.解(1)因?yàn)椋╨nx)′＝eq\f（1，x)，所以eq\i\in(1，2,)eq\f(2,x)dx＝2eq\i\in(1,2,）eq\f（1，x）dx＝2lnx|eq\o\al(2，1)＝2（ln2－ln1)＝2ln2。(2）若1－x≥0,則x≤1，若1－x＜0，則x＞1，于是eq\i\in（0,2，)|1－x｜dx＝eq\i\in（0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in（1，2，）（x－1)dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2）x2）)|eq\o\al(1，0)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x2，2)－x））｜eq\o\al(2，1)＝1。(3)根據(jù)定積分的幾何意義,可知eq\i\in（0，1，)eq\r（1－x－12)dx表示的是圓（x－1）2＋y2＝1的面積的eq\f(1，4),故eq\i\in(0,1,）eq\r（1－x－12)dx＝eq\f(π,4）。觸類旁通求定積分時應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1）對被積函數(shù)要先化簡，再求積分；（2）求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，先分段積分再求和；(3）對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值號再求積分；(4)注意用“F′（x）＝f（x)”檢驗(yàn)積分的對錯；(5）根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分；(6)若f(x）為奇函數(shù)，則eq\i\in（,a,)－af（x)dx＝0；（7）定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限．【變式訓(xùn)練1】計算下列定積分：(1)eq\i\in(0,1，)eq\r(1－x2）dx;(2）eq\i\in(0，π,）cosxdx；(3)eq\i\in（1，3,)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（1，x2）））dx。解（1)y＝eq\r（1－x2)，∴x2＋y2＝1,y≥0。∴eq\i\in（0，1,）eq\r(1－x2）dx幾何意義為eq\f(1,4)個圓的面積．∴eq\i\in（0，1，)eq\r（1－x2)dx＝eq\f(π,4)。（2)因?yàn)椋╯inx）′＝cosx，所以eq\i\in(0,π,）cosxdx＝sinx|eq\o\al(π,0)＝sinπ－sin0＝0.(3）因?yàn)椋▁2)′＝2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x）））′＝－eq\f(1，x2），所以eq\i\in(1，3，)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2）））dx＝eq\i\in（1，3，)2xdx＋eq\i\in（1，3，)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，x2)））dx＝x2｜eq\o\al（3,1)＋eq\f（1，x）｜eq\o\al(3，1）＝eq\f(22，3）.考向利用定積分求圖形的面積命題角度1求曲線圍成平面圖形的面積例2[2018·金版創(chuàng)新]曲線y＝sinx與y＝eq\f（2,π)x圍成的封閉圖形的面積為(）A．1－eq\f（π,4)B．2－eq\f（π,2)C。eq\f（π,2）D．2＋eq\f（π，2)答案B解析當(dāng)x＝eq\f（π，2）時，sineq\f（π,2）＝1，eq\f（2,π)×eq\f（π,2）＝1，故已知的兩曲線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）,1）），根據(jù)對稱性，已知的兩曲線在第三象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2），－1)）,故兩曲線所圍成的封閉圖形的面積為2eq\i\in（0，eq\f(π，2）,)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（sinx－\f（2，π）x))dx＝2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－cosx－\f（x2，π）））eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(π,2）,0））＝2eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（π，4)－－1）)＝2－eq\f（π,2).命題角度2已知曲線圍成的面積求參數(shù)例3[2018·合肥模擬]由曲線f(x)＝eq\r(x）與y軸及直線y＝m(m＞0)圍成的圖形的面積為eq\f（8,3),則m的值為(）A．2B．3C．1D．8答案A解析S＝eq\i\in(0，m2,）(m－eq\r（x)）dx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(mx－\f(2，3）xeq\s\up15(eq\f(3,2))）)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(m2,0)）＝m3－eq\f(2,3)m3＝eq\f(8,3），解得m＝2。命題角度3與概率的交匯問題例4［2014·遼寧高考］正方形的四個頂點(diǎn)A（－1，－1），B（1，－1），C(1,1)，D(－1，1）分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示．若將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中,則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________．答案eq\f(2，3)解析由幾何概型的概率計算公式可知，所求概率P＝eq\f（S陰影,S正方形）＝eq\f（2\a\vs4\al(eq\i\in（-1，1，））1－x2dx，22)＝eq\f（\f（8，3),4)＝eq\f（2,3）。觸類旁通定積分解決有關(guān)圖形面積的問題（1)對于求平面圖形的面積問題，應(yīng)首先畫出平面圖形的大致圖形，然后根據(jù)圖形特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的積分變量及被積函數(shù)，并確定被積區(qū)間．(2)已知圖形的面積求參數(shù)．求解此類題的突破口：畫圖,一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)，再由已知條件找到關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值．(3）與概率相交匯問題．解決此類問題應(yīng)先利用定積分求出相應(yīng)平面圖形的面積,再用相應(yīng)概率公式進(jìn)行計算．考向定積分在物理中的應(yīng)用例5一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v（t）＝7－3t＋eq\f(25，1＋t)(t的單位：s,v的單位：m/s）行駛至停止．在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離（單位:m)是(）A．1＋25ln5B．8＋25lneq\f（11，3）C．4＋25ln5D．4＋50ln2答案C解析由v（t)＝0，得t＝4。故剎車距離為s＝eq\i\in(0,4,)v(t)dt＝eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（3,2）t2＋7t＋25ln1＋t))|eq\o\al（4,0)＝4＋25ln5.觸類旁通定積分在物理中的兩個應(yīng)用(1）變速直線運(yùn)動的路程：如果變速直線運(yùn)動物體的速度為v＝v(t)(v(t)≥0)，那么從時刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的路程s＝eq\i\in（a,b,）v（t）dt。(2)變力做功：一物體在變力F（x)的作用下,沿著與F（x）相同方向從x＝a移動到x＝b時，力F(x)所做的功是W＝eq\i\in（a，b,)F（x)dx?！咀兪接?xùn)練2】設(shè)力F(x）作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使M沿x軸正向從x＝1運(yùn)動到x＝10，已知F(x）＝x2＋1且和x軸正向相同，求力F（x)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功．解W＝∫eq\o\al(10,1）F(x）dx＝∫eq\o\al(10，1)（x2＋1）dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x3＋x））|eq\o\al(10，1）＝342。∴力對質(zhì)點(diǎn)M所做的功為342J.核心規(guī)律1。求定積分的方法(1)定義法．(2)利用微積分基本定理求定積分．（3)利用定積分的幾何意義求定積分．2。求曲邊多邊形面積的步驟(1)畫圖．（2)確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上限、下限．（3)將曲邊梯形的面積表示為若干個定積分之和．（4)計算定積分．滿分策略1.被積函數(shù)若含有絕對值號，應(yīng)先去絕對值號，再分段積分．2。若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量．3.定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限．4。定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù)．5。將要求面積的圖形進(jìn)行科學(xué)而準(zhǔn)確的劃分，可使面積的求解變得簡捷．板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考易錯警示系列4——平面圖形的上下邊界搞錯致誤[2018·昆明模擬］如圖，由兩條曲線y＝－x2，y＝－eq\f(1,4）x2，及直線y＝－1所圍成的平面圖形的面積為______．錯因分析本題易出現(xiàn)的錯誤是：(1）誤認(rèn)為線段CA,BD是平面圖形的下邊界而得到錯誤答案；（2）被積函數(shù)搞錯致誤．解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝－x2，，y＝－1，))得交點(diǎn)A(－1，－1)，B（1，－1)．由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4）x2,,y＝－1,))得交點(diǎn)C(－2，－1）,D（2,－1）．所以所求面積S＝2eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\i\in(0，1，）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，4）x2＋x2))dx＋\i\in（1，2,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4）x2＋1))dx））＝eq\f（4，3）。答案eq\f（4，3)答題啟示1當(dāng)平面圖形的上下邊界是不同的函數(shù)的圖象時，可在交點(diǎn)處做x軸的垂線,從而確定積分上、下限，分段求面積。2被積函數(shù)實(shí)際上就是曲線所圍圖形的上邊界的函數(shù)解析式減去下邊界的函數(shù)解析式。跟蹤訓(xùn)練［2018·貴州六校聯(lián)考]求曲線y＝eq\r（x）,y＝2－x，y＝－eq\f（1，3)x所圍成圖形的面積．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\r(x），，y＝2－x））得交點(diǎn)A(1,1)．由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝2－x，，y＝－\f(1,3）x）)得交點(diǎn)B（3，－1）．故所求面積S＝eq\i\in（0，1，)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r(x）＋\f(1,3)x))dx＋eq\i\in(1,3，)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2－x＋\f(1,3）x））dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,3）xeq\s\up15（eq\f（3，2））＋\f(1，6)x2））｜eq\o\al（1,0)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f(1，3）x2))｜eq\o\al(3,1)＝eq\f(2,3)＋eq\f（1,6)＋eq\f（4,3）＝eq\f（13,6)。

板塊四模擬演練·提能增分［A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．[2018·鄭州質(zhì)檢］已知t是常數(shù)，若eq\i\in（0,t，)(2x－2)dx＝8，則t＝(）A．1B．－2C．－2或4D．4答案D解析由eq\i\in(0，t，)(2x－2)dx＝8得，（x2－2x)|eq\o\al(t,0)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．2．從空中自由下落的一物體，在第一秒末恰經(jīng)過電視塔頂，在第二秒末物體落地，已知自由落體的運(yùn)動速度為v＝gt（g為常數(shù))，則電視塔高為（)A.eq\f(1，2)gB．gC。eq\f（3,2）gD．2g答案C解析由題意知電視塔高為eq\i\in(1,2,)gtdt＝eq\f(1，2)gt2eq\o\al(2，1)＝2g－eq\f（1，2)g＝eq\f(3，2)g。3．由曲線y＝x2，y＝eq\r（x)圍成的封閉圖形的面積為（）A。eq\f(1,6)B。eq\f(1,3)C。eq\f（2，3)D．1答案B解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x2，,y＝\r（x)，))得交點(diǎn)為(0,0)和（1，1）,故所求面積(如圖陰影部分的面積)為eq\i\in（0,1，)（eq\r(x）－x2)dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3)xeq\s\up15(eq\f（3，2）))－\f（1,3）x3））｜eq\o\al（1,0)＝eq\f（1,3）.4．［2018·江西模擬]若S1＝eq\i\in(1,2，）x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x）dx,S3＝eq\i\in(1，2,）exdx，則S1，S2,S3的大小關(guān)系為(）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1答案B｜解析S1＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(2，1）＝eq\f（8,3)－eq\f(1,3）＝eq\f(7，3），S2＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2＜lne＝1，S3＝ex｜eq\o\al(2，1)＝e2－e≈2.72－2。7＝4.59，所以S2＜S1＜S3。5．［2018·湖南長沙模擬］設(shè)a＝eq\i\in（0，1,）cosxdx，b＝eq\i\in(0，1,）sinxdx，則下列關(guān)系式成立的是(）A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＋b＜1C．a(chǎn)＜bD．a(chǎn)＋b＝1答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∴a＝eq\i\in(0,1，）cosxdx＝sinx|eq\o\al(1，0)＝sin1。∵（－cosx）′＝sinx，∴b＝eq\i\in（0,1,)sinxdx＝(－cosx)｜eq\o\al(1,0)＝1－cos1?！遱in1＋cos1＞1，∴sin1＞1－cos1,即a＞b.故選A。6．已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k〉0）的圖象所圍成的陰影部分的面積為eq\f（9，2），則k等于（）A．2B．1C．3D．4答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x2，，y＝kx)）消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，則陰影部分的面積為eq\i\in(0，k，）(kx－x2）dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)kx2－\f（1,3)x3）)｜eq\o\al（k，0)＝eq\f(9，2），即eq\f(1，2）k3－eq\f（1，3）k3＝eq\f(9，2)，解得k＝3.7．[2018·吉林模擬］曲線y＝eq\f（2，x)與直線y＝x－1及x＝4所圍成的封閉圖形的面積為(）A．2ln2 B．2－ln2C．4－ln2 D．4－2ln2答案D解析如圖所示，所求面積為陰影部分面積，其面積為四邊形ABDE的面積減去不規(guī)則圖形ABCE的面積，故S＝eq\i\in(2，4,）（x－1)dx－eq\i\in(2,4，）eq\f(2，x)dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)x2－x)）|eq\o\al（4，2）－2lnx｜eq\o\al（4，2）＝4－2ln2。選D。8．[2018·山西模擬]已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(4－x2），－2≤x≤0，,x＋2，0＜x≤2,)）則eq\i\in（-2,2，)f（x)dx＝________。答案π＋6解析f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\r（4－x2），－2≤x≤0,，x＋2，0＜x≤2，）)則eq\i\in（—2,2,)f（x)dx＝eq\i\in（-2,0,)eq\r(4－x2)dx＋eq\i\in(0，2，)(x＋2）dx＝eq\f（π，4)×22＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）x2＋2x)）|eq\o\al（2,0)＝π＋6.9．設(shè)a>0.若曲線y＝eq\r（x)與直線x＝a,y＝0所圍成封閉圖形的面積為a，則a＝________。答案eq\f（9,4）解析S＝eq\i\in(0，a,)eq\r（x）dx＝eq\f（2,3)xeq\s\up15（eq\f（3,2))｜eq\o\al（a,0）＝eq\f（2,3）aeq\f（3,2)＝a，解得a＝eq\f（9，4）.10．[2018·福建模擬]如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4），函數(shù)f(x）＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________．答案eq\f(5,12)解析依題意知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,4），所以矩形ABCD的面積S＝1×4＝4,陰影部分的面積S陰影＝4－eq\i\in(1,2，）x2dx＝4－eq\f（1，3)x3｜eq\o\al(2,1）＝4－eq\f(7，3）＝eq\f(5,3)，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得,所求的概率P＝eq\f(S陰影,S)＝eq\f（\a\vs4\al(\f（5，3）),4)＝eq\f（5，12）.［B級知能提升]1．［2018·山西模擬]定積分eq\i\in(－2，2,）|x2－2x|dx＝（）A．5B．6C．7D．8答案D解析∵|x2－2x|＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－2x,－2≤x＜0，,－x2＋2x，0≤x≤2,）)∴eq\i\in(－2,2，）|x2－2x|dx＝eq\i\in(-2,0,)(x2－2x）dx＋eq\i\in（0，2,)(－x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）x3－x2））|eq\o\al(0,－2）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)x3＋x2））|eq\o\al（2,0)＝8。2．［2018·豐臺模擬]由曲線y＝eq\f（1,x)與y＝x，x＝4以及x軸所圍成的封閉圖形的面積是（)A。eq\f（31，32) B。eq\f（23,16）C．ln4＋eq\f(1,2) D．ln4＋1答案C解析如圖，面積S＝eq\i\in（0，1,)xdx＋eq\i\in(1，4,)eq\f(1，x)dx＝eq\f(1,2)x2｜eq\o\al(1，0)＋lnx|eq\o\al(4,1)＝eq\f（1，2)＋ln4。3．[2018·湖北模擬］若函數(shù)f（x),g（x）滿足eq\i\in(—1,1，)f（x）g(x)dx＝0，則稱f(x)，g（x）為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù)．給出三組函數(shù)：①f(x）＝sineq\f（1,2)x，g(x)＝coseq\f（1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g（x)＝x2。其中為區(qū)間［－1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是（)A．0B．1C．2D．3答案C解析對于①，eq\i\in（－1,1，）sineq\f（1,2）xcoseq\f（1，2)xdx＝eq\i\in（－1,1，）eq\f(1,2)sinxdx＝0，所以①是一組正交函數(shù)；對于②，eq\i\in(－1，1,)（x＋1)（x－1）dx＝eq\i\in（－1，1,)（x2－1）dx≠0，所以②不是一組正交函