數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程體系設(shè)計

數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程體系設(shè)計探討王茂芝，徐文皙，郭科（成都理工大學(xué)信息管理學(xué)院，四川成都610059）摘要：數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的目標是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力．對參與數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的學(xué)生的能力要求主要包括：對數(shù)學(xué)學(xué)科的宏觀駕馭能力，分析和解決問題以及數(shù)學(xué)建模的能力，數(shù)學(xué)模型的求解能力以及對計算機工具和數(shù)學(xué)軟件的使用能力，數(shù)學(xué)遷移能力和創(chuàng)新能力等．數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程體系設(shè)計包括以下幾個階段：準備階段，建模預(yù)處理階段，專題培訓(xùn)階段及模擬和實戰(zhàn)階段．關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；工科數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)改革中圖分類號：G642.3，O29文獻標識碼：A文章編號：1004–9894（2005）01–0079–03全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建?；顒訉τ谌轿惶岣邔W(xué)生的素質(zhì)和能力；提升教師的教學(xué)水平、業(yè)務(wù)能力和科研水平；促進工科數(shù)學(xué)的教學(xué)改革等方面都起到了積極有效的推動作用．《數(shù)學(xué)模型》和《數(shù)學(xué)實驗》課程的開設(shè)，數(shù)學(xué)實驗室的建立等多種教學(xué)方式、措施和手段的出現(xiàn)都是數(shù)學(xué)建模活動的開展帶來的實際教學(xué)改革成果．本文作者根據(jù)多年來組織、指導(dǎo)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的實際，針對在數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)過程中所講授的內(nèi)容以及開設(shè)的專題，從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度對數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程體系的設(shè)置進行一些探討．1數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的目標數(shù)學(xué)建模是把數(shù)學(xué)作為一種工具，并應(yīng)用它解決實際問題的教學(xué)活動方式．由于實際問題背景的復(fù)雜性和廣泛性，同時也因為數(shù)學(xué)學(xué)科涵蓋范圍的廣泛性，導(dǎo)致在數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)過程中相關(guān)課程（或?qū)ｎ}）的開設(shè)既要考慮到點，又要照顧到面．在點和面相結(jié)合的同時，重點培養(yǎng)并提高學(xué)生的多種能力．這樣才能達到應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的目的[1~3]．由于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的主要參賽對象是大學(xué)二、三年級的學(xué)生，所以參與培訓(xùn)的學(xué)生一般都具有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（基本都學(xué)過《線性代數(shù)》《高等數(shù)學(xué)》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這3門基礎(chǔ)課程）．同時，由于數(shù)學(xué)建模集中培訓(xùn)（集訓(xùn)）的時間有限，不可能在這么短的時間里把數(shù)學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程進行詳盡地講解．比較現(xiàn)實和可行的方法是：根據(jù)數(shù)學(xué)建模的目標要求以及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，通過開設(shè)一些專題講座，有針對性地提高學(xué)生的能力．1.1數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的能力要求經(jīng)過多年的實踐和探索，我們認為對于參與數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的學(xué)生的能力要求有以下幾個方面．第一是對數(shù)學(xué)學(xué)科的宏觀駕馭能力．也就是通過培訓(xùn)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)科劃分、專業(yè)設(shè)置、相關(guān)課程設(shè)置、學(xué)科特點等都有一定的理解和認識．這實際上是一個占領(lǐng)制高點的過程，對于后續(xù)課程有一個清晰的脈絡(luò)和清醒的認識．這一步的完成在很大程度上可以使整個培訓(xùn)過程達到事半功倍的效果．但前提是要求參與培訓(xùn)講解的指導(dǎo)老師需要有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．第二是對于一個給定的復(fù)雜問題背景，要學(xué)會理清兩個問題．一是透過問題背景知道告訴了我們什么已知信息；二是要求我們明確做什么，解決什么問題．然后緊密聯(lián)系上面兩個問題，實現(xiàn)兩個量化．一是對已知條件的符號化和量化；二是對需解決問題的轉(zhuǎn)化和量化．最后，再聯(lián)系自己對數(shù)學(xué)知識的把握、對數(shù)學(xué)建模方法的領(lǐng)悟，借助一系列數(shù)學(xué)工具（方程、函數(shù)、矩陣、向量等）把量化后的符號（變量）組織起來建立數(shù)學(xué)模型．第三是數(shù)學(xué)模型的求解能力，以及對計算機和數(shù)學(xué)軟件的使用能力．這主要是涉及到對計算數(shù)學(xué)相關(guān)課程的熟悉和理解、計算機編程、數(shù)學(xué)軟件的使用這3個方面的內(nèi)容．第四是數(shù)學(xué)遷移能力和創(chuàng)新能力．在數(shù)學(xué)建模和對模型的求解過程中都要求學(xué)生有較強的領(lǐng)悟能力和遷移能力，同時還要求在這種遷移過程中發(fā)揮自身的創(chuàng)造性．這個過程可以說是數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)以及數(shù)學(xué)建模競賽的核心和靈魂所在．第五是自學(xué)能力、領(lǐng)悟能力以及查閱和搜集資料的能力．數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)過程中一般會在每一個專題之后布置大量的參考書籍供學(xué)生課后自學(xué)．所以要求學(xué)生要有較強的自學(xué)能力和領(lǐng)悟能力，同時還要學(xué)會使用計算機和網(wǎng)絡(luò)資源查找和搜集所需資料，這是一個必不可少的環(huán)節(jié)和過程．第六是良好的協(xié)調(diào)和協(xié)作能力．數(shù)學(xué)建模過程是一個團隊的集體行為，所以需要有良好的協(xié)調(diào)和配合能力．同時，數(shù)學(xué)建模的過程往往是一個反復(fù)和完善的過程，在這個過程中通常會不可避免地遇到一些問題，沒有良好的心理素質(zhì)和協(xié)作精神是很難完成的．這已成為一個小組數(shù)學(xué)建模競賽是否成功的一個決定性非技術(shù)因素．第七是要有良好的寫作能力．這實際上是在良好的數(shù)學(xué)駕馭能力、較強的抽象品質(zhì)這兩個前提下，再配以一定的寫作方法和技巧來完成論文的寫作過程．收稿日期：2004–10–09基金項目：四川省自然科學(xué)基金重點資助項目（2003A143）；成都理工大學(xué)資助項目（R230246-3）作者簡介：王茂芝（1974—），男，江西吉安人，碩士，主要從事智能計算技術(shù)和小波分析技術(shù)及其應(yīng)用研究．

80數(shù)學(xué)教育學(xué)報第14卷1.2數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的目標我們認為，經(jīng)過數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)要達到的目標有以下幾個方面．（1）認識數(shù)學(xué)的學(xué)科特點和分類，一定程度上提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)，提升宏觀駕馭和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．（2）針對各種不同的復(fù)雜問題背景，能夠?qū)崿F(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：實際問題的數(shù)學(xué)量化和描述（數(shù)學(xué)模型的建立）以及數(shù)學(xué)模型求解和求解結(jié)果的實際解釋和反饋（模型求解和檢驗）．（3）增強良好的心理素質(zhì)和團隊精神．（4）掌握常用數(shù)學(xué)軟件的使用技巧，以及熟練使用網(wǎng)絡(luò)資料查找和搜集資料．（5）提高數(shù)學(xué)建模寫作水平．2數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程體系設(shè)計針對上述對數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的能力和目標，在培訓(xùn)過程中，我們分階段開設(shè)了一系列的課程（專題）來實施．具體來講，有以下4個階段以及相應(yīng)的專題課程．（1）第一階段為準備階段．這個階段主要完成3個方面的工作．一是和學(xué)生探討數(shù)學(xué)學(xué)科的專業(yè)劃分、課程設(shè)置、專業(yè)特點等問題，讓學(xué)生結(jié)合自身所學(xué)數(shù)學(xué)知識認識數(shù)學(xué)的學(xué)科特點，提高其宏觀駕馭能力；二是介紹如何應(yīng)用計算機網(wǎng)絡(luò)資源實現(xiàn)文獻查找和資料搜集；三是介紹常用數(shù)學(xué)工具軟件的功能、使用方法、編程技巧等內(nèi)容．值得注意的是，這一階段3方面的工作是一直貫穿整個數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)過程始終的，是一個隨著培訓(xùn)過程進行逐步提高和完善的過程．（2）第二階段為建模預(yù)處理階段，這個階段主要完成數(shù)據(jù)分析和處理工作．培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)問題背景提取數(shù)據(jù)并對數(shù)據(jù)進行分析和處理的能力．介紹常見的數(shù)據(jù)分析和處理方法：如回歸分析、相關(guān)分析、聚類分析、主成分分析以及其它一些降維處理技術(shù)等多元數(shù)理統(tǒng)計中常見的對數(shù)據(jù)進行分析和處理的方法和理論．還可以介入一些對數(shù)據(jù)進行插值和擬合的方法和思想．（3）第三階段是專題培訓(xùn)階段．這個過程主要是根據(jù)數(shù)學(xué)建模競賽的特點和數(shù)學(xué)學(xué)科的專業(yè)劃分以及課程設(shè)置等來展開，這是整個建模培訓(xùn)過程的重心．一系列的能力培養(yǎng)和形成以及完善都是在這一階段實現(xiàn)的．按照數(shù)學(xué)建模的競賽章程，一般都是按連續(xù)和離散兩個大的方向來設(shè)置賽題．我們在培訓(xùn)的過程中設(shè)置了連續(xù)、離散和隨機3個大的方向．對于連續(xù)這一方向，展開的知識有：數(shù)學(xué)物理方程的方程類型劃分以及數(shù)值解法、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論、積分和微分的數(shù)值計算方法、空間曲面的插值和擬合方法．展開的主要模型有傳染病模型、人口增長模型、確定毒品走私船位置模型、一維和二維數(shù)據(jù)的插值與擬合模型（海底曲面插值以及估計水塔水流量模型）等．對于離散方向，主要是從運籌與優(yōu)化的角度展開．具體展開的知識有：組合數(shù)學(xué)、運籌學(xué)、圖論、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、層次分析法、計算機模擬等．講解和討論的模型主要有：通訊網(wǎng)絡(luò)的極小生成樹、圖論和網(wǎng)絡(luò)流模型、應(yīng)急設(shè)施的優(yōu)化選址問題、蠓蟲分類問題、線性規(guī)劃模型、非線性多目標優(yōu)化問題的轉(zhuǎn)化處理方法、彩票問題、電力修復(fù)系統(tǒng)的層次分析法模型、基于蒙特卡羅的計算機模型等．對于隨機方向，展開的知識有：排隊論、隨機過程以及時間序列分析的基礎(chǔ)知識和基本概念．展開討論的問題有：公交車的優(yōu)化調(diào)度、股票（或天氣）預(yù)測和分析等．最后，在上述3個方向相應(yīng)的知識點和模型講解以及討論之后，再集中一到兩次課的時間對一些帶有交叉和綜合性質(zhì)的問題進行探討．這個過程也是一個全面回顧以及提升的過程．考慮到實際建模問題背景的高度復(fù)雜性、非線性性、多目標性、高維性以及優(yōu)化特性，有針對性地在方法和算法上進行綜合．這個過程抓住實際問題的優(yōu)化特性，抽出其共性，以TSP問題為背景，圍繞其求解方法進行展開．具體地講，由于TSP問題是檢驗一個算法是否適合于求解一個大規(guī)模、非線性問題的“標尺”，所以從求解TSP的經(jīng)典方法進行補充往往對于實際的建模和模型求解的算法構(gòu)造具有很強的指導(dǎo)意義．這個過程將以TSP問題的求解為中心展開3個專題：遺傳算法應(yīng)用于組合優(yōu)化計算，連續(xù)Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于優(yōu)化計算，以及螞蟻算法應(yīng)用于TSP問題的優(yōu)化計算．通過這3個專題的展開，還讓學(xué)生認識到：在構(gòu)造非線性優(yōu)化算法時，通常所構(gòu)造的算法都具有在優(yōu)化目標搜索方向指導(dǎo)下的隨機性以及潛在的并行性．同時再適當補充一些其它帶有啟發(fā)式思想的方法和內(nèi)容．通過上述3個環(huán)節(jié)，對于培訓(xùn)學(xué)生來說，從知識結(jié)構(gòu)以及能力要求上基本已經(jīng)具備建模和模型求解的能力了．（4）第四階段為模擬和實戰(zhàn)階段．這一階段是培訓(xùn)學(xué)生以小組形成針對一個選定的模擬題目用3天的時間完全按照數(shù)學(xué)建模競賽的要求完成問題分析、模型建立和求解、論文寫作等環(huán)節(jié)．同時，培訓(xùn)教師針對各小組存在的問題進行指導(dǎo)．通過這一階段，全面培養(yǎng)和提升培訓(xùn)學(xué)生的宏觀駕馭能力、分析和解決問題的能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)的遷移和創(chuàng)新能力．同時，通過實戰(zhàn)的磨合，培養(yǎng)和形成良好的心理素質(zhì)、健全的人格、良好的協(xié)作和協(xié)調(diào)能力以及寫作能力．通過上面的分析和描述可以發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)學(xué)科以及專業(yè)的角度，數(shù)學(xué)建模的培訓(xùn)過程實際上是一個跨學(xué)科、跨專業(yè)并且綜合性和應(yīng)用性都非常強的過程．它所展開的內(nèi)容幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)學(xué)科5個專業(yè)方向的相關(guān)課程．實踐表明，我們制訂的培訓(xùn)計劃具有較強的科學(xué)性、合理性以及可操作性，并受到學(xué)生的歡迎和指導(dǎo)老師的肯定．在這一培訓(xùn)計劃的指導(dǎo)下（從1999年開始實施），成都理工大學(xué)校數(shù)學(xué)建模競賽成績一直都在四川省的前列．3幾點思考與建議數(shù)學(xué)建?；顒邮且粋€培養(yǎng)、形成以及全方位提高學(xué)生能力的過程．而數(shù)學(xué)建模的集中培訓(xùn)是一個時間很短的過程，所以，為配合整個數(shù)學(xué)建模活動的開展，還需要在培訓(xùn)之外做一系列的前期工作以及輔助活動．為此，我們采取了一系

第1期王茂芝等：數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程體系設(shè)計探討列的措施來保障數(shù)學(xué)建?；顒拥捻樌M行．這些措施包括：（1）成立數(shù)學(xué)協(xié)會和數(shù)學(xué)建模興趣小組，由指導(dǎo)教師組織其開展活動；（2）開設(shè)公共選修課程《數(shù)學(xué)模型》作為集中培訓(xùn)前的數(shù)學(xué)建模入門課程；（3）建立數(shù)學(xué)實驗室以及開設(shè)《理工數(shù)學(xué)實驗》課程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；（4）聘請專家開設(shè)一系列關(guān)于數(shù)學(xué)建模的專題講座和報告，拓寬學(xué)生的視野和認識等．經(jīng)過多年對數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程的教學(xué)實踐，以及與其它工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)的對比．我們對目前高校的專業(yè)劃分、課程設(shè)置、教學(xué)方法、培養(yǎng)目標等都做過一些探討和思索．文[4]~文[8]對此也有一定程度的探討，本文僅對此談幾點粗淺的認識．就專業(yè)劃分和課程設(shè)置而言，我們比較傾向于當前某些高校實施的在專業(yè)相對固定的前提下，自由（跨學(xué)科、跨專業(yè)、甚至跨學(xué)校）選擇專業(yè)基礎(chǔ)課程和其它相關(guān)課程的做法；就教學(xué)方法而言，傳統(tǒng)的課堂式講解和灌輸式教學(xué)應(yīng)在條件許可的前提下進行調(diào)整，討論式教學(xué)和實踐教學(xué)是值得提倡的兩種教學(xué)方法；對于培養(yǎng)目標，就知識和能力的關(guān)系問題而言，本文作者認為知識和能力是互補的，但作為教學(xué)來說，傳授知識并不是教學(xué)的最終目的，傳授知識應(yīng)該是教學(xué)的一個過程，培養(yǎng)和形成能力才是教學(xué)的目的所在．由于數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)過程是一個繁雜的系統(tǒng)工程：不僅要對參訓(xùn)學(xué)生進行知識傳授，而且還要在短時間內(nèi)，使得參訓(xùn)學(xué)生多方面的能力得到培養(yǎng)和提高、心理素質(zhì)得到鍛煉、人格得到健全和完善等．在這個過程中，我們有如下幾點建議供同行參考：（1）建議學(xué)校、學(xué)院乃至系、部要重視并提供支持和協(xié)調(diào)，這包括培訓(xùn)教師隊伍的組建、培訓(xùn)過程的后勤保障等工作；（2）建議指導(dǎo)教師隊伍要基本穩(wěn)定，特別是核心指導(dǎo)教師要有高度的責(zé)任感和奉獻精神；（3）建議指導(dǎo)教師隊伍最好要有一定的科研經(jīng)歷，應(yīng)具備一定的學(xué)科敏感性、數(shù)學(xué)修養(yǎng)以及抽象品質(zhì)，并且要對內(nèi)和對外不斷進行交流和提高；（4）建議數(shù)學(xué)建模要和工科數(shù)學(xué)的教學(xué)改革建立聯(lián)系，使之系統(tǒng)化和理論化，形成教學(xué)成果，并指導(dǎo)工科數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐．以上是筆者多年參與全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)時，從數(shù)學(xué)的學(xué)科特點、專業(yè)劃分、課程設(shè)置出發(fā)，聯(lián)系數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的目標和能力要求，對培訓(xùn)課程的體系設(shè)計所做的一些探討．希望能對工科數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供一些素材，同時也希望能和更多的同行磋商，以期能達到推動數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展、促進工科數(shù)學(xué)教學(xué)改革的目的．［參考文獻］[1]趙建昕．提高數(shù)學(xué)建模能力的策略研究[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（3）：50.52．[2]洪雙義．一種新型數(shù)學(xué)教育方式的探索[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（2）：91.94．[3]柳勁松．數(shù)學(xué)確定性批判[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（2）：63.64．[4]陳燕龍．開展數(shù)學(xué)建模推進素質(zhì)教育的思考和設(shè)想[J]．廣州航海高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2001，17（2）：64.66．[5]姜啟源．數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模[J]．數(shù)學(xué)的實踐與認識，2001，31（5）：613.617．[6]李醫(yī)民，王學(xué)弟，丁丹平，等．數(shù)學(xué)素質(zhì)教育改革的系統(tǒng)工程[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，19（4）：34.37．[7]匡繼昌．試論高等師范院校數(shù)學(xué)研究式教學(xué)[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（2）：74.77．[8]楊宏林，丁占文，田立新．關(guān)于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的幾點思考[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（2）：74.76．DiscussonCoursesDesignofMathematicalMode