鄭州大學周小平第61

本文格式為Word版，下載可任意編輯——鄭州大學周小平第61第6章平面電磁波,6．1正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示方法,1．電磁場量的復(fù)數(shù)形式議論時變電磁場，在實際問題中最常見的是正弦電磁場（用正弦或余弦函數(shù)表示），非正弦電磁場（例如脈沖波，方波）也可以用傅立葉分析的方法分解為正弦電磁場的迭加，例如n1是基波，n≠1表示各次諧波。研究正弦電磁場，常用復(fù)數(shù)形式，例如,,,用復(fù)數(shù)表示，以Ex分量為例其中稱為x分量的復(fù)振幅，同理可以寫出y分量的復(fù)振幅和z分量的復(fù)振幅,所以（6.2）式可以寫為,,稱為矢量復(fù)振幅。復(fù)數(shù)形式中常略去Re，所以為了更便當，表示復(fù)數(shù)的“·”也可以略去。

2．復(fù)數(shù)場量對時間的微分、積分運算由（6.7）式,其中,可以看出復(fù)數(shù)場量對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于乘上，對時間的二階導(dǎo)數(shù)等于乘上，對時間的積分等于乘上，這樣就大大簡化了運算過程。

3．麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式把中的電磁場量都改寫為復(fù)數(shù)形式所以,為了書寫便當，可以略去下標m，上式可以寫為,同理可以寫出麥克斯韋方程組中其它幾個方程的的復(fù)數(shù)形式電流連續(xù)性方程的復(fù)數(shù)形式為在有些文獻中也略去了表示復(fù)振幅的·。,例題6.1把改寫成復(fù)數(shù)形式。

解所以矢量復(fù)振幅為,例題6.2把改寫成瞬時形式。

解所以瞬時形式為,6．2平均坡印廷矢量,正弦電磁場的瞬時形式為瞬時形式的坡印亭矢量為先計算平均坡印亭矢量的x分量,利用三角函數(shù)公式（6.17）式中所以由于所以,,（6.18）式可以寫為同理可得平均坡印亭矢量的y分量和z分量所以平均坡印亭矢量為,解⑴內(nèi)、外導(dǎo)體是夢想導(dǎo)體，介質(zhì)無損耗（夢想介質(zhì)）導(dǎo)體內(nèi)E＝0，H＝0，S＝0介質(zhì)內(nèi)設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體單位長度的電荷為，利用高斯定理可以求出介質(zhì)內(nèi)的電場強度為,例題6.3計算沿一段長同軸線傳輸?shù)墓β?，已知?nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，橫截面上的電流為I（U，I均為振幅值）。,圖6.2.1內(nèi)外導(dǎo)體是夢想導(dǎo)體,利用安培環(huán)路定理可以求出介質(zhì)內(nèi)的磁場強度為,介質(zhì)內(nèi)的坡印亭矢量為方向如圖6.1所示。

下面計算穿過介質(zhì)橫截面的功率說明傳輸線傳輸?shù)墓β适峭ㄟ^導(dǎo)線周邊的電磁場傳輸?shù)?，而不是沿?dǎo)線內(nèi)傳輸?shù)摹?圖6.1內(nèi)外導(dǎo)體是夢想導(dǎo)體,⑵若內(nèi)、外導(dǎo)體是非夢想導(dǎo)體非夢想導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ是有限值，所以導(dǎo)線內(nèi)E內(nèi)≠0，由邊界條件，介質(zhì)內(nèi)電場強度的切向分量與導(dǎo)體內(nèi)的電場強度相等。除此之外，由于內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電位差，介質(zhì)內(nèi)還存在電場強度的法向分量，總的電場強度為如圖6.2所示。介質(zhì)內(nèi)的磁場強度仍為,圖6.2內(nèi)、外導(dǎo)體是非夢想導(dǎo)體,內(nèi)導(dǎo)體外觀處電場強度的切向分量可以用下面的方法求出,所以,流入內(nèi)導(dǎo)體的功率為,介質(zhì)內(nèi)的坡印亭矢量為,,負號表示向內(nèi)流，或?qū)ο蛲獾哪芰髅芏萐n來說向內(nèi)為－Sn,內(nèi)導(dǎo)體外觀面積元,,內(nèi)導(dǎo)體外觀面積,,,,圖6.2.2內(nèi)、外導(dǎo)體是非夢想導(dǎo)體,利用安培環(huán)路定理,,代入（6.20）式可以得到,,,流入內(nèi)導(dǎo)體的功率正好等于該段導(dǎo)體內(nèi)消耗的焦耳熱功率。所以導(dǎo)體為非夢想導(dǎo)體時，同軸線內(nèi)一片面能量沿導(dǎo)體傳送，一片面能量被導(dǎo)線吸收，轉(zhuǎn)化為焦耳熱。,圖6.2.2內(nèi)、外導(dǎo)體是非夢想導(dǎo)體,6．3夢想介質(zhì)中的平勻平面波,6．3．1電磁波傳播的根本方程,1．麥克斯韋方程組議論電磁波的傳播，夢想介質(zhì)中是無源區(qū)，J＝0，ρ＝0，麥克斯韋方程為復(fù)數(shù)形式為,簡諧變化,2．波動方程對（6.22）式的兩端取旋度，并利用（6.21）式可得利用矢量恒等式、（6.24）式和，上式可以寫為同理對（6.21）式的兩端取旋度，可以導(dǎo)出（6.29）和（6.30）式就是研究電磁波傳播的波動方程，復(fù)數(shù)形式為其中，稱為波數(shù)。,,,,,亥姆霍茲方程,,,,,,6.3.2平勻平面電磁波,設(shè)一平勻平面波沿z軸傳播，等相位面平行于xy平面，如圖6.3所示。在同一等相位面上，場強四處相等（即E、H與x、y無關(guān)），所以設(shè)E沿x方向，即，由,平勻平面電磁波是等相位面（波陣面）為平面，且在等相位面上場強四處相等的電磁波。距離輻射源很遠時，球面波、柱面波都可以看成是平面波，放射天線的遠區(qū)也可以看成是平面波，所以研究平勻平面電磁波具有重要的意義。,1．波動方程,圖6.3平勻平面電磁波,可以得到，所以波動方程（6.29）和（6.30）式可以寫為復(fù)數(shù)形式為其中，稱為波數(shù)。,2．E、H的表達式（6.35）式是一個二階齊次常微分方程，它的解可以寫為其中、是復(fù)常數(shù)，含有初相位因子由（6.26）式和，可以得到把（6.37）式代入上式可得,,,下面說明（6.37）、（6.38）式中各項的意義，（6.37）式中第一項為取實部為,（6.39）式是平勻平面波表示式，代表了場的波動狀態(tài)，稱為電磁波的相位PhaSE。

它由三片面構(gòu)成。

其中，表示隨時間變化片面，稱為時間相位；

-kz表示隨空間距離變化片面，稱為空間相位；

為初相位。該表示式是周期函數(shù)，其值僅由其相位抉擇，從表示式的一致函數(shù)值或一致相位在不同時刻傳輸?shù)奈恢每梢耘袛嗖ǖ膫鞑シ较?，令時間t（t2t1增加，欲保持相位C（或函數(shù)值）不變,z務(wù)必增加，因此等函數(shù)值是向z增加方向移動，也就是電磁波傳播方向是z,方向。

（6.39）式表示一列沿z軸正方向傳播的平勻平面波，稱為入射波。,時間t（t2t1增加，欲保持相位C（或函數(shù)值）不變，z務(wù)必減小，因此等函數(shù)值是向z減小方向移動，也就是電磁波傳播方向是-z方向。,同理，（6.37）式中的其次項可以寫為,（這列波由源點（z＝0）傳到z點需要的時間，所以z點t時刻的相位就是波源在時刻的相位。,空間相位-kz一致的場點所組成的曲面稱為等相面,波前或波面。

可見,zconst.的平面為波面。因此稱這種電磁波為平面電磁波。

又因Ex與x,y無關(guān),在zconst.的波面上各點場強相等。這種在波面上場強平勻分布的平面波稱為平勻平面波。它是最根本的電磁波形式。,（6.40）式表示沿軸負方向傳播的平勻平面波，稱為反射波。,,,在無限大平勻介質(zhì)中，沒有反射波，（6.37）、（6.38）式可以寫為瞬時形式可以寫為,3．平勻平面波的傳播特性⑴一些根本參數(shù)的意義及有關(guān)公式常用的根本參數(shù)有角頻率、周期T、頻率f、波長、相速度和波數(shù)，常用的公式為在自由空間中（例如真空）相速度為。,2波阻抗波阻抗定義為電場與磁場之比，由（6.41）、（6.42）式所以波阻抗的表達式為其中μ的單位是伏·秒／米·安，ε的單位是安·秒／米·伏，很輕易驗證波阻抗η的單位是Ω，具有電阻的量綱。對于自由空間（例如真空）,⑶E和H都垂直于傳播方向由（6.41）、（6.42）式可以看出，對于平勻平面電磁波，電場E和磁場H都垂直于傳播方向，E、H和傳播方向S構(gòu)成右手關(guān)系，這種波稱為橫向電磁波，或TEM波。,圖6.4平勻平面電磁波E、H、S的方向及頻率、相位關(guān)系,⑷E和H同頻率，同相位由（6.41）、（6.42）式可以看出，對于平勻平面電磁波，電場E和磁場H同頻率，同相位。

夢想介質(zhì)中平勻平面波的傳播特性⑶、⑷從圖6.4中可以看得很領(lǐng)會。,,,沿軸正方向傳播的平勻平面波的表達式為如圖6.5所示,等相位面上任一點P（x，y，z）的矢徑為所以那么（6.47）式可以寫為所以沿任意方向傳播的平勻平面波可以寫為,4．沿任意方向傳播的平勻平面波,圖6.5沿z任意方向傳播的平勻平面波,圖6.5沿任意方向傳播的平勻平面波,,所以沿任意方向傳播的平勻平面波可以寫為,即為平勻平面波的相位，參見圖，對于沿任意方向傳播的波，可定義一個“波矢”，記做k，其大小就是波的相位系數(shù)k，其方向就是波的傳播方向。它的三個坐標分量分別是kx，ky，kz，并有,參見圖，設(shè)空間有任意點P，那么穿過PP點位置矢量為，垂直于k的平面應(yīng)為等相位面，其方程是因此電磁波在P點的相位可表示為,常數(shù),6．4波的極化特性,波的極化描述在電磁波傳播的過程中，E（H）的方向的變化。上節(jié)議論中E只有x分量，H只有y分量是一個特例，選坐標時有意使x軸沿E方向。一般處境下，E、H在等相位面上有兩個分量，如圖6.6所示，下面以E為例議論。

1．若Ex、Ey相位一致（）,這里設(shè)初相位為0。在的等相位面上，,電磁波極化的定義空間任意一個固定點上電磁波電場強度矢量的空間指向隨時間變化的方式。用電場強度E矢量末端隨時間變化的軌跡來描述波的極化。一般場強可以這樣表示,圖6.6E、H在等相位面上有兩個分量,,或,,初相位為0，即,,合場強的大小為合場強的方向用E與x軸的夾角表示,圖6.7線極化波,在水平方向上變化，稱為水平極化波，假設(shè)電場矢量只在豎直方向上變化，稱為垂直極化波。上一節(jié)設(shè)，就是沿x方向的線極化波。,可以看出合場強的大小隨t變化，合場強的方向是一個常量，即方向始終在與x軸成α角的直線上，說明電場矢量只在圖6.7所示的一向線上變化，這種波稱為線極化波。假設(shè)電場矢量只,由以上議論線極化波場表式為,復(fù)振幅表示,2．若Ex，Ey相位相差（）⑴若Ex和Ey振幅相等,Exm＝Eym＝Em.在的等相位面上，合場強的大小為合場強的方向可以表示為,,圖6.8圓極化波,所以,,正負都可，正號表示Ey超前Ex，負號表示Ey滯后Ex,,所以合場強大小不變，方向以角速度旋轉(zhuǎn)，其箭點掃過的軌跡為一個半徑為E的圓，即E的端點的軌跡是一個圓，這種波稱為圓極化波,如圖6.8所示。,由（6.54）式可以導(dǎo)出,也可以看出E的端點的軌跡是一個圓。,由以上議論圓極化波場表式為（假定電磁波的傳播方向是＋z向，如圖示）,右旋圓極化波方程,圖6.8右旋圓極化波,圖6.8左旋圓極化波,,復(fù)振幅表示,左旋圓極化波方程,右旋圓極化波方程,右旋圓極化波方程,左旋圓極化波方程,⑵若Ex和Ey振幅不相等，Exm≠Eym，在的等相位面上兩式移項，平方相加可得,圖6.9橢圓極化波（）,2．若Ex，Ey相位相差π／2（）,正負都可，正號表示Ey超前Ex，負號表示Ey滯后Ex,,,,,,（6