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文檔簡介

定義1n，都對應著xn,n從小到大順序進行排列，得到的序列,xnx1,x2,,xn,nn,,nn, ,2n2,4,2n,1,1 1,,n(1)n1,n(1)n1n 注 當n(n)能否無限接近某確定的數值 圓內接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術. （公元前4 天下篇》中有一段名言：“一尺的極限思想. 設有數列{xn}與常數a，如果當n無限{xn}的極限或稱數列{xn}收斂于a，記為limxna

或xna(n問題如何用定量化的數學方法來刻畫數列極限？ 當n結論abab來刻畫數列x

n12…2… xn

nn

nxn1

xn

xn

1

n100即可1011的距離都小于1

xn

1

n10000即可

1xn

1,只要使n10k即可. 即從第(10k 與1的距離都小于1.nn+1)項開始，以后所有項與1的距離都小于該數．數學上用來表示一個任意小的 給定的正數(不論它多么小)，總存在正整數N，使得對于n>N的一切xn,恒有xnalimxna

或xna(n

limxna0NnN時，有說明①、定義中“對任意給定的正數實際上表達了xna無限接近的意思．

xn

xnxnN，且不惟一．

③、n時，xna.a的方法NxN1xN2xN3內

xna axnaaaxN(xN)a例1已知 n

xn1

n(1)n 0,

xn

,1n

nN1,nNn(1)n1n

n(1)nn例2已

證明lim xn(n1)2

證xn0

(n

(n n0（限制 要

xn

,只要使 n即n1 取N11

nN xn0lim n(nxn0

1(n

n 1(n

知，取N 1n

N11 1N1 說明例3設

1,證明等比數列1qq2 xn

qn1

q限制,要使

xn

,

qn1即(n

qln

即n1ln ln

N

lnlnq

nN,, limqn1對于任意給定的 對xna進行分析

證（反證法）假設limxna,limxnb, 且a<b 2取ba 2

limnxnx

a,N1,nN1xn

ba

,2,又由limxnb,N2,nN2xbba

NmaxN1,N2

xn n

M

列 xn

n1

nnn

x

證limxna,取1,則N,nN

xn

(xna)

xna

1 M

x1

x2

,1a

M(n1,2說明如果數列{xn有界，但數列{xn例如數列(1如果limxna,a0a0N，當n>N時，恒有 0(xn,2a證對a>0 取,2a

則NN

nNxn

xnaa2推論如果數列{xn}從某項起xn0(xn 2limxna a0a0如果數列{xn}limxna a0a0

0(

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