小升初奧數(shù)講義習題 第14講 容斥原理

容斥原理一、兩量重疊問題求兩個集合并集的元素的個數(shù)，從兩個集合個數(shù)之和中減去重復計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，用式可表示成：A BABA B(其中符中“和或者或”的意思；符”讀作交”，相當于中且”的意思則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．AAB重疊部分A B計算了2次，多加了1次；再排除——ABA B把多加了1次的重疊部分A B減去．二、三量重疊問題A的元素的個數(shù)，中圓表示B大圓表示C的元素的個數(shù)．1．先包含：ABC重疊部分A BB CC A重疊了2次多加了1次．2．再排除：ABCA BBCACAA BB CA C計算時都被減掉了．A的元素的個數(shù)，中圓表示B大圓表示C的元素的個數(shù)．1．先包含：ABC重疊部分A BB CC A重疊了2次多加了1次．2．再排除：ABCA BBCACAA BB CA C計算時都被減掉了．B C重疊了3ABC3．再包含：ABCA BB CA CA B C．一、兩量重疊問題

-1-例1、兩張長4厘米，寬2厘米的長方形紙擺放成如圖所示形狀．把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？4厘米2厘米圖3舉一反三、有長8厘米,寬6厘米的長方形與邊長為5厘米的正方形,如圖,放在桌面上(陰影是圖形的重疊部分),那么這兩個圖形蓋住桌面的面積是多少平方厘米。例282912個班有多少人參加了語文或數(shù)學興趣小組？舉一反三、一個班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學作業(yè)；一種是完成數(shù)學作業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學作業(yè)都完成了．已知做完語文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學作業(yè)的有42人．這些人中語文、數(shù)學作業(yè)都完成的有多少人？-2-例3、有100位旅客，其中有10人既不懂英語又不懂俄語，有7583有多少人？舉一反三、某班共有46人，參加美術(shù)小組的有1223人，有5班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？例4、甲、乙、丙三個小組學雷鋒，為學校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了60塊玻璃．那么，甲、乙、丙三個小組各擦了多少塊玻璃？-3-舉一反三、在從1至1000的自然數(shù)中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個?二、三量重疊問題例5、某班學生手中分別拿紅、黃、藍三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人，手中有黃旗的共有26人，手中有藍旗的共有18人．其中手中有紅、黃、藍三種小旗的有6人．而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍兩種小旗的有3人，那么這個班共有多少人？某班有42人，其中26人愛踢足球，9人既愛打籃球又愛踢足球，4人有幾人？2、25人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術(shù)興趣小組的有128人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術(shù)、自然34人．求這個-4-班的學生人數(shù)．AB10C例6、三個面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個紙片共同重疊的面積是10平方厘米．三個紙片AB10C舉一反三、如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73．求陰影部分的面積．-5-例760平方厘米．陰影部分的面積總和是40方厘米，3100張紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？舉一反三、AB、C分別是面積為1228、16面的總面積為38AB、B與C的公共部分的面積分別為8、7A、B、C這三張紙片的公共部分為3．求A與C公共部分的面積是多少？BBAC【鞏固習題】1、科技活動小組有55好一架飛機模型的同學有40人，制作好一艘艦艇的同學有32人．每個同學都至少完成了一項制作．問兩項制作都完成的同學有多少人？2、如圖，一張長8厘米，寬6厘米，另一個正方形邊長為6厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長為4厘米的正方4形，求這個組合圖形的面積． 8466-6-圖33、在自然數(shù)中，能被3或5中任一個整除的數(shù)有多少個？412050454015名既教英語又1084?真題練習：(2017長郡雙語）：1、某校六年級共有110人，參加語文、英語、數(shù)學三科活動小組，每人至少參加一組．已知參加語文小組的有521661156321人．那么三組都參加的有多少人？-7-（2017年麓ft國際）：246283740人學奧數(shù)，那么可以肯定這個班至少有多少人四項都學。（2017年怡雅中學）:3、有13個同學，其中有5個人同時喜歡足球和籃球，喜歡足球和喜歡排球的共有8人，不喜歡排球但喜歡籃球有5個人，同時不喜歡足球、籃球和排球的有3個人，同時喜歡足球、籃球和排球的有 人。（2017年廣益中學）：42830101數(shù)學都沒得優(yōu)，這個班有多少學生？-8-（2018年青竹湖湘一）：3 35、如圖，兩張規(guī)格不同的賀卡疊放在一起，重