小學數(shù)學奧數(shù)方法講義40講(21-40講)

第二十一講守恒法

應用題中的數(shù)量有的是變化的，有的是始終不變的。解應用題時，抓住始終不變的數(shù)

量，分析不變的數(shù)量與其他數(shù)量的關系，從而找到解題的突破口，把應用題解答出來的解題

方法，叫做守恒法，也叫抓不變量法。

（-）總數(shù)量守恒

有些應用題中不變的數(shù)量是總數(shù)量，用守恒法解題時要抓住這個不變的總數(shù)量。

例1晶晶要看一本書，計劃每天看15頁，24天看完。如果要12天看完，每天要看多

少頁？如果改為每天看18頁，幾天可以看完？（適于三年級程度）

解：無論每天看多少頁，總是看這一本書，只要抓住這本書的“總頁數(shù)不變”這個關

鍵，問題就好辦了。

這本書的總頁數(shù)是：

15X24=360（頁）

如果要12天看完，每天要看的頁數(shù)是：

3604-12=30（頁）

如果改為每天看18頁，看完這本書的天數(shù)是：

3604-18=20（天）

答略。

此題由于第一步是用乘法求出總數(shù)，因此也叫做“歸總”應用題。

*例2用一根鐵絲圍成一個長26厘米，寬16厘米的長方形.用同樣長的鐵絲圍成一個

正方形，正方形所圍成的面積是多少？（適于三年級程度）

解：這根鐵絲的長是不變的量，鐵絲圍成的長方形的周長和正方形的周長相同。即：

26X2+16X2

=52+32

=84（厘米）

正方形的邊長是：

844-4=21（厘米）

正方形所圍成的面積是:

21X21=441（平方厘米）

答略。

解：書架上書總的本數(shù)是不變的數(shù)量，設它為單位1。從“上層書的本

書總的本數(shù)分成5份，上層的書占總本數(shù)的

因此，書總的本數(shù)是:

原來書架的上層有書:

原來書架的下層有書:

90-18=72（本）

（二）部分數(shù)量守恒

當應用題中不變的數(shù)量是題中的一部分數(shù)量時，要抓住這個不變的部分數(shù)量解題。

例1一輛汽車，從甲站到乙站，要經(jīng)過20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的

下坡路。如果這輛汽車在平路上每小時行40千米，在上坡路上每小時行30千米，在下坡路

上每小時行45千米。照這樣的速度行駛，這輛汽車在甲、乙兩站間往返一次需要多少時間？

（適于五年級程度）

解：無論汽車行駛在平路上、上坡路上，還是在下坡路上，每一段路上的速度是不變

的。

這輛汽車往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45）

千米這輛汽車往返一次需要的時間是：

答略。

例2有含鹽15%的鹽水20千克，要使鹽水含鹽10%,需要加水多少千克？（適于六

年級程度）解：題中鹽的重量是不變的數(shù)量，鹽的重量是：

20X15%=3（千克）

在鹽水含鹽10%時，鹽的對應分率是10%,因此鹽水的重量是:

3?10%=30（千克）

加入的水的重量是:

30-20=10（千克）

答略。

解：文藝書的本數(shù)是不變的數(shù)量。文藝書有:

=720（本）

從后來兩種書總的本數(shù)中減去原來兩種書總的本數(shù)，得到買進科技書的本數(shù)：

720-630=90（本）

綜合算式：

=720-630

=90（本）

答略。

（三）差數(shù)守恒

當應用題中兩個數(shù)量的差是不變的數(shù)量時，要抓住這個差，分析數(shù)量關系解題。

例1父親今年35歲，兒子5歲。多少年后父親的年齡是兒子年齡的3倍？（適于四年

級程度）

解：父子年齡的差是個不變的數(shù)量，始終是35-5=30（歲）

在父親年齡是兒子年齡的3倍時，父子年齡的差恰好是兒子年齡的2倍。

因此，這時兒子的年齡是：

304-2=15（歲）

15-5=10（年）

答：10年后父親的年齡是兒子年齡的3倍。

*例2小明有200個棗，大平有120個棗。兩人吃掉個數(shù)相同的棗后，小明剩下的棗是

大平剩下棗的5倍。問兩個人一共吃掉多少個棗。（適于四年級程度）

解：兩個人相差的棗的個數(shù)是不變的數(shù)量：

200-120=80（個）

兩人吃掉個數(shù)相同的棗后，小明剩下的棗是大平剩下棗的5倍。這就是說大平剩下的

棗是1份數(shù)，小明剩下的棗比大平剩下的棗多4份數(shù)。因為兩人吃掉的棗的個數(shù)相同，所以

相差數(shù)還是80個。這80個是4份數(shù).

因此，大平剩下的棗是其中的一份數(shù)：

80+4=20（個）

大平吃掉的棗是：

120-20=100（個）

因為兩個人吃掉的棗一樣多，所以一共吃掉棗：

100X2=200（個）

答略。

*例3有甲、乙兩個車間，如果從甲車間調出18人給乙車間，甲車間就比乙車間少3

人；如果從兩個車間各調出18人，乙車間剩下人數(shù)就是甲車間

解：由“從甲車間調出18人給乙車間，甲車間就比乙車間少3人”可看出，甲車間比

乙車間多2個18人又少3人，即甲車間比乙車間多：

18X2-3=33（人）

由“從兩個車間各調出18人，乙車間剩下的人數(shù)就是甲車間剩下人數(shù)的

甲車間原有的人數(shù)是:

88+18=106（人）

乙車間原有的人數(shù)是:

106-33=73（人）

答略。

*例4甲種布的長是乙種布長的3倍。兩種布各用去8米時，甲種布剩下的長是乙種布

剩下長度的4倍。兩種布原來各長多少米？（適于六年級程度）

解：甲、乙兩種布的長度差是不變的數(shù)量，解題時要以這個不變的數(shù)量作為標準量。

原來乙種布的長是標準量的:

乙種布先后兩個分率的差是:

乙種布的長是:

甲種布的長是:

48+24=72（米）

答略。

第二十二講兩差法

解應用題時，首先確定一個標準數(shù)（即1倍數(shù)），再根據(jù)已知的兩數(shù)差與倍數(shù)差，用除法求

出1倍數(shù)，然后以此為基礎，用乘法求出另一個數(shù)的解題方法，叫做兩差法。用兩差法一般

是解答差倍問題。

差倍問題的數(shù)量關系是：

兩數(shù)差+倍數(shù)差=1倍數(shù)

1倍數(shù)X倍數(shù)=幾倍數(shù)

較小數(shù)+兩數(shù)差=較大數(shù)

例1某廠女職工人數(shù)是男職工人數(shù)的6倍，男職工比女職工少65人。這個廠男女職工

共有多少人？（適于四年級程度）

解：根據(jù)“人數(shù)差+倍數(shù)差=1倍數(shù)”，有：

654-（6-1）=13（人）

那么，這個廠男女職工共有的人數(shù)是：

13X（6+1）=91（人）

答略。

例2小李買3本日記本，小華買同樣的8本日記本，比小李多用2.75元。小李、小華

兩人分別用去多少錢？（適于五年級程度）

解：小華比小李多用2.75元（總價差），是因為小華比小李多買（8-3）本（數(shù)量差）

日記本，用這兩個差求出每本日記本的價錢。

小李用的錢數(shù)是:

0.55X3=1.65（元）

小華的錢數(shù)是：

0.55X8=4.40（元）

答略。例3甲、乙兩數(shù)的差是28,甲數(shù)是乙數(shù)的3倍。問甲乙兩數(shù)各是多少？（適于

四年級程度）

解：甲-乙=28,甲是乙的3倍，那么乙就是1倍數(shù)，28所對應的倍數(shù)是3-1=2（倍），

則乙數(shù)可以求出。解法是：

28+（3-1）=14......................乙數(shù)

14X3=42..........................甲數(shù)

答：甲數(shù)是42,乙數(shù)是14。

例4一個植樹小組植樹。如果每人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。

這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹苗？（適于五年級程度）

解：把題中的條件簡要摘錄如下：

每人5棵剩14棵

每人7棵缺4棵

比較兩次分配的情況可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽

（14+4）棵樹。根據(jù)兩次每人栽的棵數(shù)差和所栽總棵數(shù)的差，可求出植樹小組的人數(shù)，然后

再求出原有樹苗的棵數(shù)。

（14+4）+（7-5）=9（人）...............人數(shù)

5X9+14=59（棵）......................棵數(shù)

答略。

例5用一個杯子向一個空瓶里倒水。如果倒進3杯水，連瓶共重440克：如果倒進5

杯水，連瓶共重600克。一杯水和一個空瓶各重多少克？（適于五年級程度）

解：解這類題，要先找出“暗差”的等量關系，再找解題的最佳方法。

這道題的“暗差”有兩個：一個是5-3=2（杯），另一個是600-440=160（克）。這里

兩個暗差的等量關系是：2杯水的重量=160克。

這樣就能很容易求出一杯水的重量：

160+2=80（克）

一個空瓶的重量：

440-80X3=200（克）

答略。

*例6甲從西村到東村，每小時步行4千米。3.5小時后，乙因有急事，從西村出發(fā)騎

自行車去追甲，每小時行9千米。問乙需要幾小時才能追上甲？（適于高年級程度）

解：乙出發(fā)時，甲已經(jīng)行了（4X3.5）千米，乙每行1小時便可比甲每小時多行（9-4）

千米，那么（4X3.5）千米中含有幾個（9-4）千米，乙追上甲就需要多少個小時。所以：

答：乙需2.8小時才能追上甲。

例6是典型的“追及問題”。由此可知，追及問題也可以利用兩差法來解答。

*例7某電風扇廠生產(chǎn)一批電風扇。原計劃每天生產(chǎn)120臺電風扇，實際每天比原計劃

多生產(chǎn)30臺，結果提前12天完成任務。這批電風扇的生產(chǎn)任務是多少臺？（適于高年級程

度）

解：在同樣的時間（計劃天數(shù)）里，實際比原計劃多生產(chǎn)電風扇的臺數(shù)是：（120+30）

X12。因為實際每天比原計劃多生產(chǎn)30臺，因此：

計劃完成任務的天數(shù)是60天，那么這批電風扇的生產(chǎn)任務就是：

120X60=7200（臺）

答略。

*例8甲每小時走5千米，乙每小時走4千米，兩人同走一段路，甲比乙少用了3小時。

問這段路長多少千米？（適于五年級程度）

解：解答這道題應從“差異”入手。因為凡是發(fā)生差異必定有它的道理。題中的差異

是“甲比乙少用了3小時”，抓住它作如下追問，即可發(fā)現(xiàn)解題途徑。

為什么會“甲比乙少用了3小時”?因為甲比乙的速度快。

(1)在3個小時里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小時里甲比乙正好多走:

4X3=12(千米)

(2)甲每小時可以追上乙多少千米呢？

5-4=1(千米)

(3)走完這12千米的差數(shù)甲要走幾小時呢？

124-1=12(小時)

(4)這段路長多少千米？

5X12=60(千米)

綜合算式：

5X[4X34-(5-4)]

=5X[124-1]

=5X12

=60(千米)

答略。

解：此題是“差倍”問題的變形。

答略。

兩堆煤原來各有多少噸？（適于六年級程度）

解：這里已知兩堆煤的總數(shù)和運走的總數(shù)，不知道兩堆煤在總數(shù)中占多大比率，也無

法把運走的煤分為甲堆運走的和乙堆運走的。雖然知道甲堆運

知道，無法發(fā)生聯(lián)系，因此這兩個分率無法參加運算。

本題的難點在于兩堆煤運走的分率不同，若分率相同，分析就會有所進展。

然后再看假設引出了什么差異。己知條件告訴我們共運走180噸，與方才算得的162

噸相差180-162=18（噸），為什么會產(chǎn)生這18噸的差異呢？

270-120=150（噸）................甲堆

答略。

*例11祖父給兄弟二人同樣數(shù)目的零花錢，祖母給了哥哥1100日元，給了弟弟550

日元，這樣兄弟二人所得到的零花錢數(shù)的比為7：5。求祖父給兄弟二人的錢數(shù)都是多少日

元？（適于六年級程度）

解：因為祖父給兄弟二人的錢數(shù)相同，所以祖母給兄弟二人的錢數(shù)之差，就是他們分

別得到的所有零花錢錢數(shù)之差。

1100-550=550（日元）

由兄弟二人所得到的零花錢錢數(shù)的比為7:5可知，把哥哥的錢看成是7份的話，弟弟

的錢數(shù)就是5份，它們相差：

7-5=2（份）

所以，每一份的錢數(shù)是：

550+2=275（日元）

哥哥有零花錢：

275X7=1925（日元）

其中祖父給的是：

1925-1100=825（日元）

答：祖父給兄弟二人的錢都是825日元。

*例12一位牧羊人趕著一群羊走過來，小明問他：“你的羊群里有山羊、綿羊各幾

只？”牧羊人說：“山羊的只數(shù)加上99只就是綿羊的只數(shù)，綿羊的只數(shù)加上99只就是山羊

的3倍，你去算吧?！闭埬銕椭∶魉阋凰?。（適于五年級程度）

解：由“山羊的只數(shù)加上99只就是綿羊的只數(shù)”知道，綿羊比山羊多99只。由“綿

羊的只數(shù)加上99只就是山羊的3倍”知道，綿羊的只數(shù)加上99只后，綿羊的只數(shù)比山羊多

（99+99）只。此時，如果把山羊只數(shù)看作1倍，綿羊只數(shù)就是3倍，比山羊多（3T）倍，

這（3-1）倍正好是（99+99）只（圖22-1）。用除法可以求出1倍數(shù)（山羊只數(shù)），再用

加法就可以求出綿羊只數(shù)。

（99+99）+（3-1）

=198+2

=99（只）.............山羊只數(shù)

99+99=198（只）.......綿羊只數(shù)

答略。

*例13某工廠有大、小兩個車間。如果從小車間調10人到大車間，則大車間的人數(shù)是

小車間的3倍；如果從大車間調30人到小車間，則兩個車間的人數(shù)相等。求大、小兩個車

間各有多少人？（適于高年級程度）

解：根據(jù)“如果從大車間調30人到小車間，則兩個車間的人數(shù)相等”知道，大車間比

小車間多30X2人；根據(jù)“如果從小車間調10人到大車間，則大車間的人數(shù)是小車間的3

倍”知道，這樣調動后，大車間比小車間多（30X2+10X2）人。把調動后小車間的人數(shù)看

作1倍數(shù)，則大車間的人數(shù)就是3倍數(shù)，比小車間的人數(shù)多（3T）倍數(shù)，這（3T）倍數(shù)正

好是（30X2+10X2）人。用除法可以求出1倍數(shù)（調動后，小車間人數(shù)），加上10就得小

車間原有人數(shù)。

（30X2+10X2）4-（3-1）+10

=804-24+10

=50（人）............（小車間原有人數(shù)）

50+30X2=110（人）…（大車間原有人數(shù)）

答略。

在差倍問題中，有一類比較特殊，這就是年齡問題。年齡問題一般用差倍問題的解題

思路、計算公式來分析、解答。但要注意年齡問題所單獨具有的“定差”特點，即大、小兩

個年齡，相當于大、小兩個數(shù)，無論現(xiàn)在、過去、將來，這兩個年齡的差不變。抓住這個特

點，再利用差倍問題的數(shù)量關系和解題方法，便可解答年齡問題。

*例14今年哥哥18歲，弟弟8歲。問幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍？(適于高年級

程度)

解：作圖22-2。

哥哥和弟弟年齡之差(18-8)歲始終不變。把幾年前弟弟的年齡看作1倍數(shù)，哥哥的

年齡就是3倍數(shù)，比弟弟多(3-1)倍數(shù)，這(3-1)倍數(shù)正好對應于(18-8)歲。用除法可

以求出1倍數(shù)，就是幾年前弟弟的年齡，再用減法便可求出幾年前哥哥的年齡是弟弟的3

倍。

8-(18-8)+(3-1)=3(年)

答略。

*例15今年父親40歲，兒子4歲。問幾年后父親的年齡是兒子的4倍？(適于高年級

程度)

解:作圖22-3。

父子年齡之差(40-4)歲始終不變。把幾年后兒子的年齡看作1倍數(shù)，父親的年齡就

是4倍數(shù)，比兒子多(4T)=3倍數(shù)，這(4-1)倍數(shù)正好對應于(40-4)歲。用除法可求

出1倍數(shù)，即幾年后兒子的年齡，再用減法便可求出幾年后父親的年齡是兒子的4倍。

(40-4)+(4-1)-4

=364-3-4

=8(年)

答略。

第二十三講比例法

比和比例是傳統(tǒng)算術的重要內容，在較早的年代，許多實際問題都是應用比和比例的知識來

解答的。近年來，小學數(shù)學教材中比和比例的內容雖然簡化了，但它仍是小學數(shù)學教學的重

要內容之一，是升入中學繼續(xù)學習的必要基礎。

用比例法解應用題，實際上就是用解比例的方法解應用題。有許多應用題，用比例法

解簡單、方便，容易理解。

用比例法解答應用題的關鍵是：正確判斷題中兩種相關聯(lián)的量是成正比例還是成反比

例，然后列成比例式或方程來解答。

（-）正比例

兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個

數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。

如果用字母X、y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示比值（一定），正比例的數(shù)量關系可

以用下面的式子表示：

例1一個化肥廠4天生產(chǎn)氮肥32噸。照這樣計算，這個化肥廠4月份生產(chǎn)氮肥多少噸？

（適于六年級程度）

解：因為日產(chǎn)氮肥的噸數(shù)一定，所以生產(chǎn)氮肥的噸數(shù)與天數(shù)成正比例。

設四月份30天生產(chǎn)氮肥x噸，則：

答略。

例2某工廠要加工1320個零件，前8天加工了320個。照這樣計算，其余的零件還要

加工幾天？（適于六年級程度）

解：因為每一天加工的數(shù)量一定，所以加工的數(shù)量與天數(shù)成正比例。

還需要加工的數(shù)量是:

1320-320=1000（個）

設還需要加工x天，則：

例3一列火車從上海開往天津，行了全程的60%,距離天津還有538千米。這列火車

己行了多少千米？（適于六年級程度）

解：火車已行的路程：剩下的路程=60%：（1-60%）=3：2。

設火車已行的路程為x千米。

答略。

米。這時這段公路余下的長度與已修好長度的比是2：3。這段公路長多少米？（適于

六年級程度）

解：余下的長度與已修好長度的比是2：3,就是說，余下的長度是已

這段公路的長度是:

答略。

（二）反比例

兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數(shù)

的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。

如果用字母X、y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示積（一定），反比例的數(shù)量關系可以

用下面的式子表達：

xXy=k（一定）

例1某印刷廠裝訂一批作業(yè)本，每天裝訂2500本，14天可以完成。如果每天裝訂2800

本，多少天可以完成？（適于六年級程度）

解：由于要裝訂的本數(shù)一定，因此，每天裝訂的本數(shù)與可以裝訂的天數(shù)成反比例。

設x天可以完成，則：

答略。

例2一項工程，原來計劃30人做，18天完成。現(xiàn)在減少了3人，需要多少天完成？

（適于六年級程度）

解：工作總量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人數(shù)與天數(shù)成反比例。

現(xiàn)在減少3人，現(xiàn)在的人數(shù)就是：

30-3=27（人）

設需要x天完成，則：

答略。

例3有一項搬運磚的任務，25個人去做，6小時可以完成任務；如果相同工效的人數(shù)

增加到30人，搬運完這批磚要減少幾小時？（適于六年級程度）

解：題中的總任務和每人的工作效率一定，所以搬運磚的人數(shù)與所需要的時間成反比

例。

設增加到30人以后，需要x小時完成，貝h

6-5=1（小時）

答：增加到30人后，搬運完這批磚要減少1小時。

例4某地有駐軍3600人，儲備著吃一年的糧食。經(jīng)過4個月后，復員若干人。如果余

下的糧食可以用10個月，求復員了多少人？（適于六年級程度）

解：按原計劃，4個月后余下的糧食可以用：

12-4=8（個月）

因為復員一部分人后，人數(shù)少了，所以原來可以用8個月的糧食，現(xiàn)在就可以用10個

月。

糧食的數(shù)量一定，人數(shù)與用糧的時間成反比例。

設余下的糧食供x人吃10個月，則：

答：復員了720人。

（三）按比例分配

按比例分配的應用題可用歸一法解，也可用解分數(shù)應用題的方法來解。

用歸一法解按比例分配應用題的核心是：先求出一份是多少，再求幾份是多少。這種

方法比解分數(shù)應用題的方法容易一些。用解分數(shù)應用題的方法解按比例分配問題的關鍵是：

把兩個（或幾個）部分量之比轉化為部分量占總量的（幾個部分量之和）幾分之幾。這種轉

化稍微難一些。然而學會這種轉化對解答某些較難的比例應用題和分數(shù)應用題是有益的。

究竟用哪種方法解，要根據(jù)題目的不同，靈活采用不同的方法。

有些應用題敘述的數(shù)量關系不是以比或比例的形式出現(xiàn)的，如果我們用按比例分配的

方法解這樣的題，要先把有關數(shù)量關系轉化為比或比例的關系。

1.按正比例分配

甲、乙、丙三個數(shù)的連比是：

4+5+8=17

答略。

例2有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5%,乙堆比丙堆少

解：因為甲堆比乙堆多12.5%,所以要把乙堆看作“1”，這樣甲堆就是（1+12.5%）。

甲：乙=(1+12.5%)：1=9：8

甲：乙：丙=9：8：10

已知甲堆比丙堆少6噸，這6噸所對應的份數(shù)是1,所以，甲堆煤的噸數(shù)是：

6X9=54（噸）

乙堆煤的噸數(shù)是：

6X8=48（噸）

丙堆煤的噸數(shù)是：

6X10=60（噸）

答略。

2.按反比例分配

*例1某人騎自行車往返于甲、乙兩地用了10小時，去時每小時行12千米，返回時每

小時行8千米。求甲、乙兩地相距多少千米？（適于六年級程度）

解：此人往返的速度比是：

12：8=3：2

因為在距離一定的情況下，時間與速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是3：2,

可推出此人往返所用的時間比是2:3。

去時用的時間是：

兩地之間的距離：

12X4=48（千米）

答略。

*例2一個文藝演出隊去少數(shù)民族地區(qū)慰問演出，路上共用了110個小

這也是騎馬、乘輪船、坐火車的時間比。

將110小時按8：2：1的比例分配。

騎馬的時間是：

坐火車的時間是:

答略。

3.按混合比例分配

把價格不同、數(shù)量不等的同類物品相混合，已知各物品的單價及混合后的平均價（或

總價和總數(shù)量），求混合量的應用題叫做混合比例應用題?；旌媳壤龖妙}在實際生活中有

廣泛的應用。

*例1紅辣椒每500克3角錢,青辣椒每500克2角1分錢。現(xiàn)將紅辣椒與青辣椒混合,

每500克2角5分錢。問應按怎樣的比例混合，菜店和顧客才都不會吃虧？（適于六年級程

度）

解：列出表23-1。

表23T

表中，價格一欄是根據(jù)題意填的，其他欄目是在分析題的過程中填的。

混合后的辣椒是每500克賣2角5分錢，而混合辣椒中紅、青兩種辣椒的比不能是1:1,

因為在混合后的辣椒中每有500克紅辣椒，紅辣椒就要少賣5分錢，所以應算是每500克紅

辣椒損失了5分錢，在“損”一欄中，橫對紅辣椒和3角，填上5分；又因為在混合后的辣

椒中每有500克青辣椒，青辣椒就要多賣4分錢，所以應算是每500克青辣椒多賣了（益）

4分錢，在“益”一欄中，橫對青辣椒和2角1分，填上4分。

5與4的最小公倍數(shù)是20。

20+5=4,204-4=5,

只有在混合的辣椒中，有4份的紅辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好賣2

角5分錢。

4份的紅辣椒是4個500克，它的價錢是，

0.3X4=1.2（元）

5份的青辣椒是5個500克，它的價錢是，

0.21X5=1.05（元）

4份紅辣椒與5份青辣椒的總價是，

1.2+1.05=2.25（元）

而9個500克的混合辣椒的總價是，

0.25X9=2.25（元）

9份（9個500克）紅辣椒和青辣椒的總價正好與9個500克混合辣椒的總價相等。

所以在混合的辣椒中，紅辣椒與青辣椒的比應是4：5。這個比正好是益損兩數(shù)比的反

比。

答略。

*例2王老師買甲、乙兩種鉛筆共20支，共用4元5角錢。甲種鉛筆每支3角，乙種

鉛筆每支2角。兩種鉛筆各買多少支？（適于六年級程度）

解：20支鉛筆的平均價格是：

4.54-20=0.225（元）=2.25（角）

列出表23-2。

表23-2

因為甲種鉛筆每支3角，而平均價格是每支2.25角，所以每支甲種鉛筆損失了0.75

角錢。在表中“損”一欄橫對“甲”填上0.75角/支；因為乙種鉛筆每支2角，而平均價格

是每支2.25角，所以每支乙種鉛筆是增加（益）了0.25角。在表中“益”一欄橫對“乙”

填上0.25角/支。

兩種鉛筆的混合比，正好是損、益兩數(shù)比的反比，所以在混合比一欄中，橫對甲填0.25,

而橫對乙填0.75?把0.25和0.75化筒后得1和3.

現(xiàn)在可以認為兩種鉛筆的總份數(shù)是：

1+3=4（份）

甲種鉛筆的支數(shù)是：

乙種鉛筆的支數(shù)是:

答略。

（四）連比

如果甲數(shù)量與乙數(shù)量的比是a：b,乙數(shù)量與丙數(shù)量的比是b：c,那么表示甲、乙、丙

三個數(shù)量的比可以寫作a：b：c,a：b：c就叫做甲、乙、丙三個數(shù)量的連比。

注意：“比”中的比號相當于除號，也相當于分數(shù)線，而“連比”中的比號卻不是相

當于除號、分數(shù)線。

*例1已知甲數(shù)和乙數(shù)的比是5:6,丙數(shù)和乙數(shù)的比是7:8,求這三個數(shù)的連比。（適

于六年級程度）

解：已知甲、乙兩數(shù)的比是5:6,丙數(shù)與乙數(shù)之比為7:8,即乙數(shù)與丙數(shù)之比為8:7。

第一個比的后項是6,第二個比的前項為8,這說明甲、丙兩個數(shù)不是以相同標準劃分的，

甲、乙、丙三個數(shù)不能直接寫成連比。

用下面的方法可以統(tǒng)一甲、丙的標準，把甲、乙、丙三個數(shù)寫成連比。把5擴大8倍,

得40；把6擴大8倍，得48。把6擴大8倍得48,也就是把8擴大6倍，得48,所以也要

把7擴大6倍得42。

甲、乙、丙三個數(shù)的連比是：40：

48：42=20：24：21.

答略。

*例2甲、乙、丙三堆煤共重1480噸，已知甲堆煤重量的

又根據(jù)，甲：乙=3：2,乙：丙=5：6,可求出甲、乙、丙三個數(shù)的連比是:

甲：乙：丙二15：10：12

把1480噸煤按15：10：12的比例分配。

甲堆煤重:

乙堆煤重:

答略。

答略。

第二十四講轉換法

解答應用題時，通過轉換（即轉化）題中的情節(jié)，分析問題的角度、數(shù)據(jù)……從而較

快找到解題思路，或簡化解題過程的解題方法叫做轉換法。

（一）轉換題中的情節(jié)

轉換題中的情節(jié)是運用聯(lián)想改變原題的某個情節(jié)，使題目變得易于解答。

制1一城煤，上午運走它的微，下午運走余F的;還多姓，最后剩下

1枷?8最這制國精火如fc?Gfi于#Mft程度）

ff.題中說“下午運走余下的;還多通“,觸紀這一情節(jié)妙為，

下午正好運走余下的。，JM最后剩下的掠是，

14+6=20（噸）

這2組由施*f附跳，

20*1=30（Bfc）

30噸所對應的分率是:

12_5

1-7=7

這堆端原來的咆散是，

30*3=42（噸）

答略。

例2一項工程，甲、乙兩隊合做要用12天完成。如果甲隊先獨做16天，余下的再由

乙隊獨做6天完成。如果全部工程由甲隊獨做，要用幾天完成？（適于六年級程度）

解：求甲隊獨做要用幾天完成全部工程，得先求出甲隊的工作效率?？墒穷}中已知的

是甲、乙合做要用的時間，和甲、乙一前一后獨做的時間，很難求出甲的工作效率。如果將

“一前一后獨做”這一情節(jié)變換為“先合做，后獨做”就便于解題了?？蛇@樣設想，從甲隊的工

作量中劃出6天的工作量與乙隊6天的工作量合并起來，也就是假定兩隊曾經(jīng)合做了6天。

情節(jié)這樣變動后，原題就變換成：

一項工程，甲、乙兩隊合做要用12天完成，這項工程先由甲乙兩隊合做6天后，余下

的工程由甲隊單獨做10天完成。如果全部工程由甲隊獨做要用幾天完成？

這樣就很容易求出甲隊的工作效率是：

（1-3X6）*10

20

甲隊獨做完成的時間是：

=20（天）

答略。

（-）轉換看問題的角度

解應用題時，如果看問題的角度不適當就很難解出題。如果轉換看問題的角度，把原

來從正面看問題轉換為從側面看或從反面看，把這一數(shù)量轉換為另一數(shù)量進行分析，就可能

找到解題思路。

?例保廠有工人1120名，其中女工占3,后來又招進T女工，這時

女工占總人數(shù)的%求后劉B進女工多少名？強于方為姆廢）

解：一般都沿著女工占總人數(shù)的分率去尋找與之相對應的具體人數(shù)，但這樣往往會誤

入歧途，難以找到正確答案。不如根據(jù)女工所占分率，換一個角度，想一想男工的情況。

開如女工占總及的輸,0男工占總人物的?

,34

男斑具體人灼&

1120x1=640（人）

后我颼T女工女…占全體工人的看男工人數(shù)便占總

人數(shù)的:

,34

77

這時全廠工人的總Mfc是，

4

640*y=1200（人）

后來女工的總人數(shù)是:

7

1203X—=560（人）

新招進的女工人?是,

560-1120x3

=560-480

=80（人）

答略。

*例2求圖24-1中陰影部分的面積。（單位：厘米）（適于六年級程度）

M----16

圖24-1

解：如果直接計算圖中陰影部分的面積，幾乎是不可能的。如果把角度轉換為，從大

扇形面積減去右面空白處的面積，就容易求出陰影部分的面積了。

jx3.14XWX16-（16XtO-yx3.14X10X10）

44

=200.96-81.5

=119.46（平方厘米）

答：陰影部分的面積是119.46平方厘米。

（三）轉換題中的數(shù)據(jù)

轉換題中的數(shù)據(jù)就是將題中已知的數(shù)據(jù)進行等價變換，從而協(xié)調各個數(shù)據(jù)之間的關系。

例1兩輛汽車同時從相距465千米的兩地相對開出,4.5小時后兩車還相距120千米。

一輛汽車每小時行37千米。另一輛汽車每小時行多少千米？（適于五年級程度）

解：如果兩地的距離減少120千米，兩車經(jīng)過4.5小時正好相遇，兩車4.5小時行的

路程是：

465-120=345（千米）

兩車的速度之和是：

2

345*4.5=76-:千米/小時）

另m車每小時行的路程是，

76.37=39：CW

綜合算式：

(465-120)-4.5-37

=345-4.5-37

“2x

=76y-37

=39紅秫）

管，另一狼汽主每小時行三9：千米。

*例2某校三天共種70攆樹.第一切軸■是第二天的,，第二天和

的探數(shù)是笫三天的，.三天各種多嫻肘？GS于為鉞程度）

解：如果從分數(shù)角度分析，不易找出數(shù)量間的關系。如果把分數(shù)轉換為比來分析，就

會得出，第一天與第二天種的棵數(shù)的比是3：5,第二天與第三天種的棵數(shù)比是5：6。

所以，第一、二、三天種的棵數(shù)的比是3：5：6。

第一天種：

3

70X———=15CW

3+5+6

第二科h

70X—-=25（ft）

3*5+6

第三天種：

70X=30（裸）

3-1f-5*6

答略。

（四）轉換為統(tǒng)一標準

當題中兩個或幾個數(shù)量的單位“1”不統(tǒng)一，不便于解答時，如把某個數(shù)量作為標準單位

“1”，把其他數(shù)量轉化為以它為標準的分率，就會突破障礙，順利解題。

例1甲、乙、丙、丁四人合買一批化肥。甲付的錢是其他人所付錢數(shù)之

和的:，乙的的錢是其他人所付錢數(shù)之福的;，丙楸錢是其他人所付錢賽

之和的;.丁付260后問硝枇民用了多少錢？便于六鈍程度）

A

解：把甲、乙、丙、丁所付錢數(shù)統(tǒng)一為以總數(shù)量作為標準量的分率。由

?■

總數(shù)量是（1+》，甲.乙.麗附的錢分別占總Sa的品;

5

TflW2607u5a?aW(l-^-7-k脆L羽現(xiàn)39的班嗚

34)

260*(1-1-1

j>q

13

■260*—

-1200(

答略。

一例2某商店原來彩色電覆機的自數(shù)是黑白電祈機自數(shù)的：?黑白電稅

q

機賽出52臺后，包的臺期，電電荼機抬卷9?這個育店原來有黑白電裝機

和I電電1WI各劫酎便于?、鐳

解,題哈與靜的渺移一,不便M因嬸色電視機的臺數(shù)

沒有發(fā)生變化，我們以彩色電視機的臺數(shù)作為單位

_3

"1'^tnJRJje-擊為儺

4

嘛wwwftTk了,smwmt黑

白電測臏出S2自時吟本嗚附昨.52臺的觸分率4-Q品

耐

彩色電視機的臺數(shù)是：

39

黑白電視機的臺數(shù)是:

l20*y-l60（6）

4

或

9

120x—+52-160（6）

答略。

（五）轉換隱蔽條件為明顯條件

有些應用題的解題條件十分隱蔽。認真體會題中字、詞、句的含義，看清這些字、詞、

句實質上說的是什么，必要時借助圖形分析，或適當改變題中的條件，就可能把原來題中隱

蔽的條件轉換為明顯條件，從而較快解題。

*例1甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，在離B點18千米的地方相

遇。相遇后二人繼續(xù)往前行，甲到B地和乙到A地立即返回，在離A地8千米的地方又相

遇。求A、B兩地相距多少千米？（適于高年級程度）

解：解答此題的條件十分隱蔽。借助圖24-2分析問題，可將隱蔽條件轉換為明顯條件。

：；18千米!

k-----------------------!---------

j%甲j

圖24-2

（1）從開始出發(fā)到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一個全程的路程，其中乙走了

18千米。這就是說甲、乙二人共同走完一個全程的路程時乙走18千米，若共同走完三個全

程，那么乙就走18x3千米的路程。

（2）甲、乙第二次相遇時，二人走了三個全程的路程，而乙走了一個全程加8千米。

（3）乙走的一個全程加8千米應等于18*3千米，所以，A、B兩地的距離是：

18x3-8=46（千米）

答：甲乙兩地相距46千米。

*例2有兩袋大米共重221汗E甲衰粒去;，乙袋米電去J時，甲

費國下的米是乙舞時下柚耳3俗.京甲.乙兩裳糕木各有多少干克？（

適于大年噓度）

鼎甲朝蛇去申*!下（1-?乙禽線去;，

手袋米的（I-》1"整1米3的（1-》的弓倍2.即甲裳米嗚I*7奈米%

的e倍.

甲袋米為:是乙袋米的;內烏倍，甲袋稗5■乙xjx[?甲甲的:

■74J>7￡J>7

■乙的（：x$,甲的;-T乙內:.

423

甲袋米的重量是乙袋港重量的C15）,所以，

220*Cl*l|）=100（千克）.............乙袋米重

220-100=120（千克）..............甲袋米重

答略。

（六）轉換敘述方式

對數(shù)量關系復雜、不易理出頭緒、不易分析解答的應用題，經(jīng)過逐字、逐句地分析，

弄清每一句話的意思，然后轉換原題的敘述方式，就可化繁為簡，化難為易，使原題變得易

于解答。

*例1李老師帶領學生植100棵樹。李老師先植一棵，然后對同學們說：“男同學每人

植兩棵，女同學每兩人合植一棵。”這樣正好把余下的樹苗植完。問李老師帶領的學生中有

多少名男生，多少名女生？（適于高年級程度）

解：逐層分析每一句話的意思。李老師植一棵，那么學生就是植了99棵；男同學每人

植兩棵，女同學每兩人合植一棵，可以看作一名男生和兩名女生組成一組，植樹3棵。

99+3=33（組）

這樣就可以認為學生正好分成33組。

根據(jù)上面的分析，上面的題就可以這樣敘述：

有33組學生去植樹，每一組學生中有一名男生、兩名女生。求去植樹的學生中有多少

名男生、女生？

1x33=33（名）..............................男生人數(shù)

2x33=66（名）..............................女生人數(shù)

答：有男生33名，有女生66名。

*例2一位天文愛好者說："土星直徑比地球直徑的9倍還多4800千米，土星直徑除

以24等于水星直徑，水星直徑加上2000千米等于火星直徑，火星直徑的一半減去500千

米等于月亮直徑，月亮直徑是3000千米。求地球直徑是多少千米？（適于高年級程度）

解：把原題倒過來敘述：月亮直徑是3000千米，月亮直徑加上500千米后的2倍等

于火星直徑，火星直徑減去2000千米等于水星直徑，水星直徑的24倍等于土星直徑，土

星直徑減去4800千米是地球直徑的9倍。

水星直徑：

（3000+500）x2-2000=5000（千米）

土星直徑：

5000x24=120000（千米）

地球直徑：

（120000-4800）4-9=12800（千米）

答略。

（七）轉換解題的方法

當題目用通常方法很難解答或不能解答時，應轉換解題方法，使問題得到解決。

例1汽車7小時行300千米，照這樣計算，行駛7500千米需要多少小時？（適于三

年級程度）

解：此題如果這樣考慮，求行7500千米需要多少小時，要先求出汽車每小時行多少千

米，然后7500千米再除以汽車每小時的速度，即：7500-（300-7）

這樣列式計算時，小括號內的300+7是除不盡的，三年級的學生還沒學過計算小數(shù)的

近似值。本題用上面的方法列式解答看來不行，應換一種解題方法。

如果求出7500千米中含有多少個300千米，就可求出這輛汽車行多少個7小時。這

時可這樣列式解答：

7x（7500-300）

=7x25

=175（小時）

答：行駛7500千米需要175小時。

*例2一個長方體，表