名師伴你行人教A版數(shù)學(xué)必修五學(xué)案3二元一次不等式組與平面區(qū)域

名師伴你行人教A版數(shù)學(xué)必修五學(xué)案3二元一次不等式組與平面區(qū)域第1頁/共31頁學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點三學(xué)點四第2頁/共31頁返回目錄

1.我們把含有

個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是

的不等式稱為二元一次不等式.

2.我們把由幾個

組成的不等式組稱為二元一次不等式組.

3.二元一次不等式解集的幾何意義

（1）已知直線l:Ax+By+C=0,它把坐標(biāo)平面分為

部分，每個部分叫做

，開半平面與l的并集叫做閉半平面.兩1二元一次不等式兩開半平面第3頁/共31頁返回目錄不等式表示的區(qū)域或不等式的圖象

（2）以不等式解（x,y）為坐標(biāo)的所有點構(gòu)成的集合，叫做

.

4.直線l:Ax+By+C=0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點分為兩部分，直線l的同一側(cè)的點的坐標(biāo)使式子Ax+By+C的值具有

的符號，并且兩側(cè)的點的坐標(biāo)使Ax+By+C的值的符號

，一側(cè)都大于0，另一側(cè)都小于0.相同相反第4頁/共31頁返回目錄學(xué)點一二元一次不等式表示的平面區(qū)域分別畫出下列不等式表示的平面區(qū)域.（1）3x-4y+12>0；（2）4x+3y≤0.【分析】先在平面直角坐標(biāo)系中作出二元一次不等式對應(yīng)的直線，然后取特殊點，判斷不等式所表示的平面區(qū)域.【解析】（1）先畫出直線3x-4y+12=0(畫成虛線).取原點(0,0)，并代入3x-4y+12,得12>0.

∴原點在3x-4y+12>0所表示的平面區(qū)域內(nèi).第5頁/共31頁返回目錄

故不等式3x-4y+12>0表示的平面區(qū)域如圖3-3-2中甲所示.

（2）先畫出直線4x+3y=0（畫成實線）.

取點(1,0)，并代入4x+3y,得4>0.

∴點(1,0)在4x+3y>0所表示的平面區(qū)域內(nèi).

故不等式4x+3y≤0表示的平面區(qū)域如圖3-3-2中乙所示.圖3-3-2第6頁/共31頁返回目錄

【評析】在畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，應(yīng)用“直線定界，點定域”的方法來畫平面區(qū)域.即先作直線Ax+By+C=0，再在它將平面分成的兩個區(qū)域中任一個區(qū)域內(nèi)選取一個點的坐標(biāo)，將它代入Ax+By+C,確定它的符號，從而確定二元一次不等式所表示的區(qū)域.在取點時,若直線不過原點，一般用“原點定域”,這樣做能簡化運(yùn)算過程.畫直線時線的虛實要分清.第7頁/共31頁返回目錄解：（1）先畫出直線2x+y-10=0（畫成虛線），取點(0,0),代入2x+y-10，有2×0+0-10=-10<0,

∴2x+y-10<0表示的區(qū)域是直線2x+y-10=0的左下方的平面區(qū)域，如圖甲陰影部分所示.畫出下列不等式表示的平面區(qū)域.（1）2x+y-10<0;（2）y≤-2x+3.第8頁/共31頁

(2)將y≤-2x+3變形為2x+y-3≤0，首先畫出2x+y-3=0（畫成實線），取點(0,0),代入2x+y-3，有2×0+0-3=-3<0,

∴2x+y-3<0表示的平面區(qū)域是直線2x+y-3=0的左下方的平面區(qū)域.

∴2x+y-3≤0表示的區(qū)域是直線2x+y-3=0以及左下方的平面區(qū)域，如圖乙陰影部分所示.返回目錄第9頁/共31頁返回目錄學(xué)點二二元一次不等式組表示的平面區(qū)域

【分析】本題的關(guān)鍵在于正確地描繪出邊界直線，然后根據(jù)給出的不等式，判斷出所表示的平面區(qū)域.為此必須分別畫出每個不等式所表示的平面區(qū)域，然后取各平面區(qū)域的公共部分.畫出下列各不等式組所表示的平面區(qū)域.第10頁/共31頁返回目錄

【解析】(1)x-2y≤3,即x-2y-3≤0,表示直線x-2y-3=0上及左上方的區(qū)域;

x+y≤3,即x+y-3≤0,表示直線x+y-3=0上及左下方區(qū)域;

x≥0表示y軸及其右邊區(qū)域;

y≥0表示x軸及其上方區(qū)域.

綜上可知,不等式組(1)表示的區(qū)域如圖3-3-3所示的陰影部分.圖3-3-3圖3-3-4第11頁/共31頁

(2)x-y<2,即x-y-2<0,表示直線x-y-2=0左上方的區(qū)域;2x+y≥1,即2x+y-1≥0，表示直線2x+y-1=0上及右上方的區(qū)域;

x+y<2表示直線x+y=2下方區(qū)域.

綜上可知,不等式組(2)表示的區(qū)域如圖3-3-4所示的陰影部分.

(3)不等式x<3表示直線x=3左側(cè)點的集合；

不等式2y≥x,即x-2y≤0,表示直線x-2y=0上及左上方點的集合；

不等式3x+2y≥6,即3x+2y-6≥0,表示直線3x+2y-6=0上及右上方點的集合；

不等式3y<x+9,即x-3y+9>0,表示直線x-3y+9=0右下方點的集合.返回目錄第12頁/共31頁

綜上可得，不等式組表示的平面區(qū)域如圖3-3-5所示的陰影部分.

【評析】（１）不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分,解決類似本題的問題時，先應(yīng)對每一個不等式所表示的平面區(qū)域作出正確的判斷，保證不因某一個不等式所表示的平面區(qū)域產(chǎn)生失誤，其次應(yīng)注意所表示的平面區(qū)域是否包括了邊界.在畫這一部分區(qū)域時，應(yīng)分清邊界的虛實.

（２）畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常用的方法是：“直線定界，原點定域”，即先畫出對應(yīng)的直線，再將原點坐標(biāo)代入直線方程中，看其值比零大還是比零小；不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分.圖3-3-5返回目錄第13頁/共31頁返回目錄

解:(1)不等式x+y-6≥0表示在直線x+y-6=0上及右上方的點的集合，x-y≥0表示在直線x-y=0上及右下方的點的集合，y≤3表示在直線y=3上及其下方的點的集合，x<5表示直線x=5左方的點的集合，∴不等式組畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域.第14頁/共31頁返回目錄

表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.(2)如圖所示，其中的陰影部分便是不等式組表示的平面區(qū)域.x+y-6≥0x-y≥0y≤3x<5第15頁/共31頁學(xué)點三平面區(qū)域的綜合應(yīng)用

【分析】先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，即可求出其面積.求不等式組表示的平面區(qū)域的面積.x-y+6≥0,x+y≥0,x≤3圖3-3-６

【解析】不等式x-y+6≥0表示直線x-y+6=0及右下方的平面區(qū)域.x+y≥0表示直線x+y=0及右上方的平面區(qū)域.x≤3表示直線x=3及左方的平面區(qū)域.所以不等式組

表示的平面區(qū)域如圖3-3-6所示.因此其區(qū)域面積也就是△ABC的面積.x-y+6≥0,x+y≥0,x≤3返回目錄第16頁/共31頁返回目錄

顯然，△ABC為等腰直角三角形，∠A=90°，

AB=AC，B點坐標(biāo)為（3，-3）.

由點到直線的距離公式：

故不等式組

表示的平面區(qū)域的面積等于36.x-y+6≥0,x+y≥0,x≤3,第17頁/共31頁返回目錄

【評析】解本題時注意到△ABC為等腰直角三角形，點B到直線AC的距離即為△ABC的長|AB|，由點到直線的距離公式

求得|AB|，面積便可求出.第18頁/共31頁返回目錄由y≤2及|x|≤y≤|x|+1圍成的幾何圖形的面積是

.3

解：先作出y=2,y=|x|,y=|x|+1的圖象，再作出y≤2,y≥|x|,y≤|x|+1的區(qū)域.它們圍成兩個面積相等的梯形，如圖所示，可求出各點坐標(biāo)為A(-2,2),B(2,2),C(-1,2),D(1,2),E(0,1),∴|CE|=,|AO|=,

可求得CE與AO兩直線間距離為,∴,∴所求面積

.第19頁/共31頁返回目錄學(xué)點四平面區(qū)域的實際應(yīng)用

【分析】本題考查實際應(yīng)用題.有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸效果見下表現(xiàn)在要在一天內(nèi)運(yùn)輸至少2000t糧食和1500t石油，分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件.輪船運(yùn)輸量/t輪船運(yùn)輸量/t糧食300150石油250100方式效果種類第20頁/共31頁返回目錄

【解析】設(shè)需安排x艘輪船和y架飛機(jī)，則用圖形表示這個限制條件，得如圖3-3-7所示的平面區(qū)域（陰影部分）.圖3-3-7第21頁/共31頁返回目錄【評析】解決這類問題，應(yīng)先列表分析數(shù)據(jù)，從而找出量與量之間的關(guān)系，設(shè)出變量，列出不等式組，再畫出平面區(qū)域.第22頁/共31頁返回目錄某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t，B種礦石5t，煤4t;生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t，B種礦石4t，煤9t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300t，B種礦石不超過200t，煤不超過360t，請列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.

解：從已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出不等式組.

將已知數(shù)據(jù)列成下表：第23頁/共31頁返回目錄甲產(chǎn)品（1t）乙產(chǎn)品(1t)資源限額（t）A種礦石(t)104300B種礦石(t)54200煤(t)49360利潤(元)6001000消耗量產(chǎn)品資源設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt,yt,利潤總額為z元,那么第24頁/共31頁

10x+4y≤300，

5x+4y≤200，

4x+9y≤360，

x≥0,

y≥0，

z=600x+1000y,

作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖所示的陰影部分）.返回目錄第25頁/共31頁返回目錄

1.如何理解二元一次不等式表示的平面區(qū)域？一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域為在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0的某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.因為對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x,y)，實數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0)，根據(jù)Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地，當(dāng)C≠0時，常把原點作為此特殊點.第26頁/共31頁

2.用二元一次不等式組表示平面區(qū)域的方法是怎樣的？（1）解決此類問題時，應(yīng)先對每一個不等式所表示的平面區(qū)域作出正確的判斷，保證不因某一個不等式所表示的平面區(qū)域的錯誤而產(chǎn)生錯誤；其次，應(yīng)注意所表示的平面區(qū)域是否包括邊界.包括邊界時，邊界用實線表示，不包括邊界時，邊界用虛線表示.（2）不等式組所表示的平面區(qū)域應(yīng)是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.（3）若干條直線把坐標(biāo)平面劃分為若干個區(qū)域，若返回目錄第27頁/共31頁返回目錄某個區(qū)域內(nèi)的一點均在不等式組的每個不等式所表示的區(qū)域內(nèi)，則此區(qū)域即為不等式組所表示的區(qū)域.（4）畫平面區(qū)域的步驟是：①畫線——畫出不等式所對應(yīng)的方程所表示的直線（如果原不等式中帶等號，則畫成實線，否則，畫成虛線）；②定側(cè)——將某個區(qū)域位置明顯的特殊點的坐標(biāo)代入不等式，根據(jù)“同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)；③求“交”——如果平面區(qū)域是由不等式組決定的，則在確定了各