消費(fèi)者理論二第3講

消費(fèi)者理論二第3講2顯示偏好和替代效應(yīng)顯示偏好理論由保羅·薩繆而森在1940s末期提出這個理論利用觀察到的行為定義了理性的原理，并用這個原理近似效用函數(shù)3顯示偏好和替代效應(yīng)考慮兩個商品束:A

和B如果消費(fèi)者能夠負(fù)擔(dān)這兩個商品束，但是選擇了A,我們說A

顯示偏好于B在任何一個價格收入條件下,B

不能顯示偏好于A4顯示偏好和替代效應(yīng)x的數(shù)量y的數(shù)量AI1假定,當(dāng)預(yù)算約束為I1,選擇ABI3當(dāng)收入是I3的時候，A

還應(yīng)該偏好于B

，

(因?yàn)锳

和B

都是可以負(fù)擔(dān)的)I2如果選擇B,預(yù)算約束一定類似于I2，此時無法負(fù)擔(dān)A5替代效應(yīng)為負(fù)假定消費(fèi)者在兩個商品束之間無差異:C

和D令pxC,pyC

為選擇消費(fèi)束C

時候的商品價格令pxD,pyD

為選擇消費(fèi)束D

時候的商品價格6替代效應(yīng)為負(fù)因?yàn)橄M(fèi)者在C

和D之間無差異當(dāng)選擇C

的時候,D

的花費(fèi)至少和C一樣多pxCxC+pyCyC≤pxCxD+pyCyD

當(dāng)選擇D

的時候,C

的花費(fèi)至少和D一樣多pxDxD+pyDyD≤pxDxC+pyDyC7替代效應(yīng)為負(fù)移項(xiàng),得到pxC(xC-xD)+pyC(yC-yD)≤0pxD(xD-xC)+pyD(yD-yC)≤0兩式相加(pxC

–pxD)(xC-xD)+(pyC

–pyD)(yC-yD)≤08替代效應(yīng)為負(fù)假定僅僅有商品x的價格變化(pyC=pyD)(pxC

–pxD)(xC-xD)≤0這意味著當(dāng)效用水平不變的時候價格和數(shù)量運(yùn)動方向相反替代效應(yīng)為負(fù)9數(shù)學(xué)推廣如果,在價格pi0

選擇商品束xi0

而不是xi1(此時，可以負(fù)擔(dān)xi1),那么消費(fèi)束0“顯示偏好”于消費(fèi)束110數(shù)學(xué)推廣因此,在消費(fèi)者選擇消費(fèi)束1

的價格(pi1),有消費(fèi)束0

一定貴于消費(fèi)束111顯示偏好強(qiáng)公理如果商品束0

顯示偏好于商品束1,并且如果商品束1

顯示偏好于商品束2,并且商品束2

顯示偏好于商品束3,…,并且如果商品束K-1

顯示偏好于商品束K,那么商品束K

不能顯示偏好于商品束0不確定性和風(fēng)險規(guī)避概率一個重復(fù)事件發(fā)生的概率是其出現(xiàn)的相對頻率投擲一枚均勻硬幣，獲得頭像一面的概率是0.5如果一個彩票提供n

個不同的獎金，獲得獎金的概率是i(i=1,n)，那么期望值彩票(X)的獎金是x1,x2,…,xn，獲獎概率是1,2,…n,這個彩票的期望值是期望值是結(jié)果的加權(quán)和權(quán)重是概率期望值假定史密斯和瓊斯決定擲硬幣頭像(x1)瓊斯給史密斯￥1文字(x2)史密斯支付給瓊斯￥1從史密斯的角度看,期望值具有零期望值(或者參與這個博弈需要花費(fèi)博弈的期望值)的博弈稱為事實(shí)的公平博弈但是可以觀察到人們經(jīng)常拒絕參與這種事實(shí)上的公平博弈公平博弈人們通常不愿意參與公平博弈存在一些例外賭注很小參與博弈這個行為就可以獲得效用我們假定不存在這種情況圣彼得堡悖論投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)頭像一面如果在第n次投擲中出現(xiàn)頭像,參與人獲得￥2nx1=￥2,x2=￥4,x3=￥8,…,xn=￥2n在第I次投擲中獲得頭像的概率是(?)i1=?,2=?,…,n=1/2n圣彼得堡悖論圣彼得堡悖論中博弈的期望值為無窮因?yàn)闆]有參與人愿意為這個博弈支付很多,它不值其期望值期望效用參與人不在意獎金的絕對數(shù)量他們在意獎金的效用如果我們假設(shè)財(cái)富的邊際效用遞減,圣彼得堡悖論博弈將會收斂到有限的期望效用值這測量了這個博弈對于參與人的價值期望效用期望效用可以利用與期望值相似的方法計(jì)算因?yàn)樾в帽泉劷鸬慕^對數(shù)量上升得慢,期望效用有可能小于期望值馮·諾伊曼－摩根斯坦定理假定存在n

種獎金，按照升序，參與人獲得獎金的概率為(x1,…xn)x1=最不喜歡的獎金U(x1)=0xn=最喜歡的獎金U(xn)=1馮·諾伊曼－摩根斯坦定理馮·諾伊曼－摩根斯坦定理說明存在合理的方式為每一個獎金指定一個特定的效用值馮·諾伊曼－摩根斯坦定理馮·諾伊曼－摩根斯坦方法將xi

的效用值定義為參與人認(rèn)為與xi無差異的賭博的期望效用U(xi)=i·U(xn)+(1-i)·U(x1)馮·諾伊曼－摩根斯坦定理因?yàn)閁(xn)=1，U(x1)=0U(xi)=i·1+(1-i)·0=i任何一個其他獎金的效用值為贏得其的概率注意這種效用數(shù)字的選擇是任意的期望效用最大化理性參與人利用期望效用選擇賭博(馮·諾伊曼－摩根斯坦效用指數(shù)的期望值)期望效用最大化考慮兩個賭博:第一個以概率q獲得x2，概率(1-q)獲得x3期望效用(1)=q·U(x2)+(1-q)·U(x3)第二個以概率t獲得x5，概率(1-t)獲得x6期望效用(2)=t·U(x5)+(1-t)·U(x6)期望效用最大化帶入效用指數(shù)期望效用(1)=q·2

+(1-q)·3期望效用(2)=t·5

+(1-t)·6

相對于2參與人偏好1，當(dāng)且僅當(dāng)q·2

+(1-q)·3>t·5

+(1-t)·6期望效用最大化在不確定的環(huán)境中，如果參與人的行為遵守馮·諾伊曼－摩根斯坦公理,他們的行為看起來仿佛是選擇可以獲得最大的馮·諾伊曼－摩根斯坦效用指數(shù)期望值的彩票風(fēng)險規(guī)避兩個彩票可能有相同的期望值，但是風(fēng)險是不同的擲硬幣，獎金是￥1對￥1,000風(fēng)險指的是某個不確定行為結(jié)果的可變性當(dāng)兩個賭博具有相同的期望值時,參與人會選擇風(fēng)險小的風(fēng)險規(guī)避一般來說,我們假定財(cái)富的邊際效用遞減擲硬幣，獎金為￥1,000，那么獲勝時候效用增量較小，損失時候效用增量較大擲硬幣，獎金為￥1，那么獲勝時候效用增量與損失時候效用增量相差不大風(fēng)險規(guī)避效用(U)財(cái)富(W)U(W)U(W)是馮·諾伊曼－摩根斯坦效用指數(shù)，反映了參與人對于財(cái)富價值的個人評判這個曲線是凹的，表示財(cái)富的邊際效用遞減風(fēng)險規(guī)避效用(U)財(cái)富(W)U(W)假定

W*是參與人當(dāng)前收入水平W*U(W*)是參與人當(dāng)前效用水平U(W*)風(fēng)險規(guī)避假定參與人面對兩個公平賭博:50-50的機(jī)會贏得或損失￥hUh(W*)=?U(W*+h)+?U(W*-h)50-50的機(jī)會贏得或損失￥2hU2h(W*)=?U(W*+2h)+?U(W*-2h)風(fēng)險規(guī)避效用(U)財(cái)富(W)U(W)W*U(W*)賭博1的期望效用是Uh(W*)Uh(W*)W*+hW*-h風(fēng)險規(guī)避效用(U)財(cái)富(W)U(W)W*U(W*)W*+2hW*-2h賭博2的期望效用是U2h(W*)U2h(W*)風(fēng)險規(guī)避效用(U)財(cái)富(W)U(W)W*U(W*)W*+2hW*-2hU(W*)>Uh(W*)>U2h(W*)U2h(W*)Uh(W*)W*-hW*+h風(fēng)險規(guī)避相對于附加上公平博弈的現(xiàn)有財(cái)富，參與人偏好于現(xiàn)有財(cái)富參與人偏好小的賭博風(fēng)險規(guī)避和保險參與人可能希望付一些錢避免參與賭博這解釋了為什么一些參與人購買保險風(fēng)險規(guī)避和保險效用(U)財(cái)富(W)U(W)W*U(W*)Uh(W*)W*-hW*+h參與人最多愿意支付W*-W”避免參加賭博W”與參加賭博1效用相同W”風(fēng)險規(guī)避和保險總是拒絕公平賭博的參與人是風(fēng)險規(guī)避體現(xiàn)了收入的邊際效用遞減愿意為避免參加公平賭博支付對保險的支付意愿考慮一個人，當(dāng)前財(cái)富是￥100,000，有25%的可能性損失￥20,000假定參與人馮·諾伊曼－摩根斯坦效用指數(shù)為U(W)=ln(W)對保險的支付意愿參與人的期望效用E(U)=0.75U(100,000)+0.25U(80,000)E(U)=0.75ln(100,000)+0.25ln(80,000)E(U)=11.45714此時,公平的保費(fèi)是￥5,000(￥20,000的25%)對保險的支付意愿參與人愿意￥5,000以上避免參加賭博。他愿意支付多少?E(U)=U(100,000-x)=ln(100,000-x)=11.45714100,000-x=e11.45714x=5,426最大保費(fèi)是￥5,426風(fēng)險規(guī)避的測量最常用的測量風(fēng)險規(guī)避的方法由Pratt提出對于風(fēng)險規(guī)避的參與人,U”(W)<0對于風(fēng)險規(guī)避的參與人，r(W)為正r(W)不受到馮·諾伊曼－摩根斯坦效用指數(shù)的影響風(fēng)險規(guī)避的測量風(fēng)險規(guī)避的Pratt測量與參與人為了避免參加公平賭博所愿意支付的量成正比風(fēng)險規(guī)避的測量令h

表示公平賭博獲勝獎金E(h)=0令p

表示參與人愿意支付的最大保費(fèi)E[U(W+h)]=U(W-p)風(fēng)險規(guī)避的測量我們將兩邊泰勒展開因?yàn)閜

是一個固定量,我們可以對右面線性近似U(W-p)=U(W)-pU’(W)+高階項(xiàng)風(fēng)險規(guī)避的測量對左邊,我們展開二次項(xiàng)，從而可以考慮賭博(h)的波動E[U(W+h)]=E[U(W)-hU’(W)+h2/2U”(W)+高階項(xiàng)E[U(W+h)]=U(W)-E(h)U’(W)+E(h2)/2U”(W)+高階項(xiàng)風(fēng)險規(guī)避的測量E(h)=0,丟掉高階項(xiàng),將E(h2)/2替換為k風(fēng)險規(guī)避和財(cái)富隨著財(cái)富增加，風(fēng)險規(guī)避不一定下降邊際效用遞減使得財(cái)富更多的參與人認(rèn)為潛在損失不嚴(yán)重不過,邊際效用遞減也使得獲勝獎吸引力變小凈結(jié)果依賴于效用函數(shù)的形狀風(fēng)險規(guī)避和財(cái)富如果效用函數(shù)對于財(cái)富是二次的U(W)=a+bW+cW2

其中b>0，c<0Pratt風(fēng)險規(guī)避系數(shù)隨著財(cái)富增加，風(fēng)險規(guī)避增加風(fēng)險規(guī)避和財(cái)富如果效用是對數(shù)形式U(W)=ln(W)其中W>0Pratt風(fēng)險規(guī)避系數(shù)隨著財(cái)富增加，風(fēng)險規(guī)避下降風(fēng)險規(guī)避和財(cái)富如果效用是指數(shù)U(W)=-e-AW=-exp(-AW)

其中A

是正常數(shù)Pratt風(fēng)險規(guī)避系數(shù)隨著財(cái)富增加，風(fēng)險規(guī)避是常數(shù)相對風(fēng)險規(guī)避避免參加一個賭博的支付意愿獨(dú)立于財(cái)富看起來不太合理一個更加吸引人的假設(shè)是支付意愿和財(cái)富成反比相對風(fēng)險規(guī)避相對風(fēng)險規(guī)避公式相對風(fēng)險規(guī)避冪函數(shù)U(W)=WR/R

對于R<1,0

展示了遞減的絕對風(fēng)險規(guī)避

相對風(fēng)險規(guī)避為常數(shù)依狀態(tài)偏好方法到目前為止考慮的方法與其他章的方法不同沒有利用基本的預(yù)算約束條件下效用最大化模型需要開發(fā)新的技術(shù)合并進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)的選擇理論框架中世界狀態(tài)任何一個隨機(jī)事件的結(jié)果可以概括進(jìn)一系列世界狀態(tài)“好日子”或者“壞日子”或有商品是一些特殊商品，僅僅在一個特定世界狀態(tài)發(fā)生的時候體現(xiàn)“好日子的￥1”或者“壞日子的￥1”世界狀態(tài)參與人可以購買或有商品購買一個承諾，某人會在明天是好日子的情況下支付給你￥1這個商品很可能不能賣到￥1效用分析假定有兩種或有商品好日子的財(cái)富(Wg)和壞日子的財(cái)富(Wb)參與人相信好日子發(fā)生的概率為效用分析這兩個商品的期望效用是V(Wg,Wb)=U(Wg)+(1-)U(Wb)這是給定初始財(cái)富的時候(W)，參與人希望最大化的或有商品價格假設(shè)參與人用價格pg

購買好日子時候價值￥1的財(cái)富，壞日子財(cái)富價格為pb預(yù)算約束是W=pgWg+pbWb價格比率pg

/pb

表示了這個人如何在好日子財(cái)富和壞日子財(cái)富之間替代或有商品的公平市場如果或有財(cái)富要求權(quán)的市場完備，對于有共識,這些商品的價格是事實(shí)上公平價格pg=和pb=(1-)價格比率反映了好日子的可能性風(fēng)險規(guī)避如果或有要求權(quán)市場是公平的,效用最大化的參與人選擇Wg=Wb他的安排使得無論在什么時候，他的財(cái)富都是一樣的風(fēng)險規(guī)避最大化要求如果或有要求權(quán)市場是公平的因?yàn)榛蛴幸髾?quán)市場是公平的,預(yù)算約束斜率=-1風(fēng)險規(guī)避確定線WgWbWg*Wb*U1參與人在確定線Wg=Wb上獲得最大效用如果或有要求權(quán)市場不公平,預(yù)算約束線斜率

-1風(fēng)險規(guī)避確定線WgWbU1在這種情況下,效用最大化可能不在確定線上狀態(tài)偏好模型中的保險再次,考慮一個人，當(dāng)前財(cái)富是￥100,000，有25%的可能性損失￥20,000盜竊沒有發(fā)生的時候財(cái)富(Wg)=$100,000，概率=0.75盜竊發(fā)生時候財(cái)富(Wb)=$80,000，概率=0.25狀態(tài)偏好模型中的保險如果我們假定對數(shù)效用E(U)=0.75U(Wg)+0.25U(Wb)E(U)=0.75lnWg+0.25lnWbE(U)