第八章彎曲剛演示文稿

第八章彎曲剛度演示文稿1當(dāng)前1頁，總共143頁。2優(yōu)選第八章彎曲剛度當(dāng)前2頁，總共143頁。

上一章的分析結(jié)果表明，在平面彎曲的情形下，梁的軸線將彎曲成平面曲線。如果變形太大，也會影響構(gòu)件正常工作。因此，對機(jī)器中的零件或部件以及土木工程中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計時，除了滿足強(qiáng)度要求外，還必須滿足一定的剛度要求，即將其變形限制在一定的范圍內(nèi)。為此，必須分析和計算梁的變形。

另一方面，某些機(jī)械零件或部件，則要求有較大的變形，以減少機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)時所產(chǎn)生的振動。汽車中的鈑簧即為一例。這種情形下也需要研究變形。

此外，求解靜不定梁，也必須考慮梁的變形以建立補(bǔ)充方程。第8章彎曲剛度當(dāng)前3頁，總共143頁。梁的變形與梁的位移疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角簡單的靜不定梁

結(jié)論與討論彎曲剛度計算梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度返回總目錄當(dāng)前4頁，總共143頁。

在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線（deflectioncurve）。

梁的曲率與位移梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度當(dāng)前5頁，總共143頁。

根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：

梁的曲率與位移梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度當(dāng)前6頁，總共143頁。

梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：

橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；

變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope），用表示；

撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度

當(dāng)前7頁，總共143頁。

在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：

在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有w＝

w（x），稱為撓度方程（deflectionequation）。

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度當(dāng)前8頁，總共143頁。

機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過大時(圖中虛線所示)，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)角，這就會影響兩個齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。

同時，還會加大齒輪磨損，同時將在轉(zhuǎn)動的過程中產(chǎn)生很大的噪聲。

此外，當(dāng)軸的變形很大時，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度

當(dāng)前9頁，總共143頁。

在工程設(shè)計中還有另外一類問題，所考慮的不是限制構(gòu)件的彈性位移，而是希望在構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng)度失效的前提下，盡量產(chǎn)生較大的彈性位移。例如，各種車輛中用于減振的鈑簧，都是采用厚度不大的板條疊合而成，采用這種結(jié)構(gòu)，鈑簧既可以承受很大的力而不發(fā)生破壞，同時又能承受較大的彈性變形，吸收車輛受到振動和沖擊時產(chǎn)生的動能，收到抗振和抗沖擊的效果。梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度當(dāng)前10頁，總共143頁。梁的小撓度微分方程及其積分第8章彎曲剛度返回當(dāng)前11頁，總共143頁。力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式

小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前12頁，總共143頁。小撓度情形下

對于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前13頁，總共143頁。小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前14頁，總共143頁。

采用向下的w坐標(biāo)系，有小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

當(dāng)前15頁，總共143頁。

對于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前16頁，總共143頁。

積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：

在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：w=0;

連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對應(yīng)相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，θ＝0。

小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前17頁，總共143頁。例題

1

求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長度為l。q、EI、l均已知。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前18頁，總共143頁。

解：1．建立Oxw坐標(biāo)系

建立Oxw坐標(biāo)系（如圖所示）。因為梁上作用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。

2．建立梁的彎矩方程Oxw梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前19頁，總共143頁。

從坐標(biāo)為x的任意截面處截開，因為固定端有兩個約束力，考慮截面左側(cè)平衡時，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：

解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

當(dāng)前20頁，總共143頁。3．

建立微分方程并積分Oxw

解：2．建立梁的彎矩方程將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

當(dāng)前21頁，總共143頁。3．

建立微分方程并積分Oxw積分后，得到

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前22頁，總共143頁。解：4．

利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束條件為：

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

當(dāng)前23頁，總共143頁。解：5．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

當(dāng)前24頁，總共143頁。解：6．

確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角

從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。

于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前25頁，總共143頁。例：討論均布載荷梁的變形當(dāng)前26頁，總共143頁。撓度曲線的微分方程積分得：例解當(dāng)前27頁，總共143頁。積分常數(shù)C，D由約束條件確定X=0v=oX=Lv=0D=0例解續(xù)當(dāng)前28頁，總共143頁。例解續(xù)當(dāng)前29頁，總共143頁。例題

2

求：加力點B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。

已知：簡支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前30頁，總共143頁。

解：1．

確定梁約束力

因為B處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。

首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。

2．

分段建立梁的彎矩方程

在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0～l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4～l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前31頁，總共143頁。AB段

解：2．

分段建立梁的彎矩方程BC段

于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前32頁，總共143頁。解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前33頁，總共143頁。解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分積分后，得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前34頁，總共143頁。解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)

在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因為，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前35頁，總共143頁。解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前36頁，總共143頁。解：5．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角

將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

AB段

BC段

據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度當(dāng)前37頁，總共143頁。確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程微分方程的積分利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)分段寫出彎矩方程梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

當(dāng)前38頁，總共143頁。疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角第8章彎曲剛度

返回當(dāng)前39頁，總共143頁。

在很多工程計算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡稱為撓度表。

基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個重要概念，以及在小變形條件下的力的獨(dú)立作用原理，采用疊加法（superpositionmethod）由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移。第8章彎曲剛度

當(dāng)前40頁，總共143頁。

用疊加法求彎曲變形

疊加法在線彈性小變形的條件下，得到撓曲線近似這是一個線性的常微分方程。微分方程在第四章中，證明了在小變形的條件下，彎矩與外載荷成線性關(guān)系，可用疊加法求彎矩圖。設(shè)：

新課當(dāng)前41頁，總共143頁。這是一個線性的常微分方程。撓曲線近似微分方程設(shè)：則共同作用時：當(dāng)前42頁，總共143頁。則共同作用時：即：共同作用下的撓度等于分別在M1(x)、M2(x)單獨(dú)作用下的撓度的代數(shù)和。綜合以上討論得到：在線彈性小變形的條件下，外載荷與撓度(力與位移)成線性關(guān)系，可用疊加法計算梁的撓度。當(dāng)前43頁，總共143頁。

疊加法的基礎(chǔ)熟記簡單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。見教材表。

疊加法的兩種類型(1)載荷疊加法 將載荷分解為幾個簡單載荷，分別求解后， 進(jìn)行疊加；(2)變形疊加法 在內(nèi)力不變的前提下，將梁分解(或剛化)為 幾段，求出各段的變形，然后進(jìn)行疊加。當(dāng)前44頁，總共143頁。載荷疊加法疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前45頁，總共143頁。附錄II簡單載荷下梁的轉(zhuǎn)角和撓度當(dāng)前46頁，總共143頁。劉鴻文主編《材料力學(xué)》當(dāng)前47頁，總共143頁。劉鴻文主編《材料力學(xué)》之二當(dāng)前48頁，總共143頁。劉鴻文主編《材料力學(xué)》之三當(dāng)前49頁，總共143頁。機(jī)械設(shè)計師手冊當(dāng)前50頁，總共143頁。

已知：簡支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC；B截面的轉(zhuǎn)角B。例題

3疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前51頁，總共143頁。解：1.將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

當(dāng)前52頁，總共143頁。解：2.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前53頁，總共143頁。解：3.應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊加

將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角:

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前54頁，總共143頁。例6.6求中點撓度。設(shè)b<l/2當(dāng)前55頁，總共143頁。當(dāng)前56頁，總共143頁。

對于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布載荷，然后在原來沒有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應(yīng)用疊加法。變形疊加法疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前57頁，總共143頁。

已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C。例題

4疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前58頁，總共143頁。解：1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用撓度表中關(guān)于梁全長承受均布載荷的計算結(jié)果，計算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前59頁，總共143頁。

分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前60頁，總共143頁。

兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前61頁，總共143頁。解：3．將簡單載荷作用的結(jié)果疊加

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度當(dāng)前62頁，總共143頁。題求跨度中點C的撓度當(dāng)前63頁，總共143頁。當(dāng)前64頁，總共143頁。當(dāng)前65頁，總共143頁。題6.20求C點的水平位移和垂直位移(例)

當(dāng)前66頁，總共143頁。第八章彎曲剛度

2023/3/23當(dāng)前67頁，總共143頁。F/2例4

已知：F,l,EI,EA。解：求：wE

。(1)將剛架看成是剛體則AB相當(dāng)于簡(2)剛架變形支梁。

思路FF當(dāng)前68頁，總共143頁。(1)將剛架看成是剛體則AB相當(dāng)于簡(2)剛架變形支梁。

求wB(3)CD看成剛體(4)BC看成剛體F/2FF/2wB1當(dāng)前69頁，總共143頁。

求wB(3)CD看成剛體(4)BC看成剛體

具體計算

對BC，由表6.1中的2

CD的壓縮變形F/2wB1F/2Fl/2wB2wB3當(dāng)前70頁，總共143頁。

具體計算

對BC，由表6.1中的2

CD的壓縮變形

CD的彎曲變形，由表6.1中的1所以，F(xiàn)/2Fl/2wB2wB3當(dāng)前71頁，總共143頁。

CD的彎曲變形，由表6.1中的1所以，

對簡支梁AB,又:由表6.1中的8FF/2當(dāng)前72頁，總共143頁。

對簡支梁AB,

又:由表6.1中的8FF/2當(dāng)前73頁，總共143頁。求B截面的垂直位移(例)當(dāng)前74頁，總共143頁。彎曲剛度計算

第8章彎曲剛度返回當(dāng)前75頁，總共143頁。

對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會增加軸承的磨損等等。

剛度計算的工程意義

彎曲剛度計算第8章彎曲剛度當(dāng)前76頁，總共143頁。

梁的剛度條件

彎曲剛度計算第8章彎曲剛度

當(dāng)前77頁，總共143頁。

對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件：

上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。

梁的剛度條件彎曲剛度計算第8章彎曲剛度當(dāng)前78頁，總共143頁。

已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。

試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。B例題

5

彎曲剛度計算第8章彎曲剛度當(dāng)前79頁，總共143頁。解：根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。

B

1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為彎曲剛度計算第8章彎曲剛度

當(dāng)前80頁，總共143頁。1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角

由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B2．根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求，有

彎曲剛度計算第8章彎曲剛度

當(dāng)前81頁，總共143頁。B2．根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求，有

其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑

彎曲剛度計算第8章彎曲剛度當(dāng)前82頁，總共143頁。簡單的靜不定梁第8章彎曲剛度返回當(dāng)前83頁，總共143頁。多余約束與靜不定次數(shù)

求解靜不定梁的基本方法求解靜不定梁示例

簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度

當(dāng)前84頁，總共143頁。多余約束與靜不定次數(shù)簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度

當(dāng)前85頁，總共143頁。靜不定次數(shù)——未知力個數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)——未知力（內(nèi)力或外力）個數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜不定問題與靜不定結(jié)構(gòu)——未知力個數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)多余約束——保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束多余約束與靜不定次數(shù)

簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度

當(dāng)前86頁，總共143頁。

求解靜不定梁的基本方法簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度

當(dāng)前87頁，總共143頁。

靜定與靜不定問題的辯證關(guān)系

由于多余約束的存在，使問題由靜力學(xué)可解變?yōu)殪o力學(xué)不可解，這只是問題的一個方面。問題的另一方面是，由于多余約束對結(jié)構(gòu)位移或變形有著確定的限制，而位移或變形又是與力相聯(lián)系的，因而多余約束又為求解靜不定問題提供了條件。

求解靜不定梁的基本方法簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前88頁，總共143頁。

求解靜不定問題的基本方法

根據(jù)以上分析，求解靜不定問題．除了平衡方程外，還需要根據(jù)多余約束對位移或變形的限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關(guān)系，即建立幾何方程，稱為變形協(xié)調(diào)方程（compatibilityequation）,并建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系，即物理方程或稱本構(gòu)方程（constitutiveequations）。將這二者聯(lián)立才能找到求解靜不定問題所需的補(bǔ)充方程。

可見，求解靜不定問題，需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡、變形協(xié)調(diào)與物理等三方面，這就是求解靜不定問題的基本方法。這與第8章中將要分析正應(yīng)力的方法是相似的。簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度

當(dāng)前89頁，總共143頁。3-3=04-3=1lMAABFAyFAxqlABMAFAyFAxFB求解靜不定梁示例

簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前90頁，總共143頁。5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前91頁，總共143頁。

應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量

由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會產(chǎn)生水平約束力，即FAx

＝FBx=0。因此，求解這種靜不定問題只需1個補(bǔ)充方程。可以寫出變形協(xié)調(diào)方程為FBxBlAMAFAyFAxFBy簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前92頁，總共143頁。

應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFBy簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前93頁，總共143頁。

應(yīng)用對稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB

對于兩端固定的梁，同樣有FBx=0，但這時的多余約束力除FBy外，又增加了MB，于是需要兩個補(bǔ)充方程。但是，利用對稱性分析，這種梁不僅結(jié)構(gòu)和約束都對稱，而且外加載荷也是對稱的，即梁的中間截面為對稱面。于是可以確定：MBBlAMAFAyFAxFBxFBy簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度

當(dāng)前94頁，總共143頁。FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MBMBBlAMAql/2ql/2

應(yīng)用對稱性分析可以推知某些未知量簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度

當(dāng)前95頁，總共143頁。

與未知力偶MB對應(yīng)的約束是對截面B轉(zhuǎn)角的限制，故這種情形下的變形協(xié)調(diào)方程為

MBBlAMAql/2ql/2簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度

當(dāng)前96頁，總共143頁。例題

5求:

梁的約束力。已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI，長度為l。BAl簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前97頁，總共143頁。解：1.列出平衡方程2.列出變形協(xié)調(diào)方程

FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前98頁，總共143頁。3.列出物性關(guān)系2.列出變形協(xié)調(diào)方程

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3

/3EIwB(q)wB(FBy)Bl

AMAFAyFAxlB

AMAFAyFAxFB簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前99頁，總共143頁。解：4.綜合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0

將平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程和物性關(guān)系聯(lián)立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIFBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,BlAMAFAyFAxFB簡單的靜不定梁

第8章彎曲剛度當(dāng)前100頁，總共143頁。

基本概念

靜定基將靜不定系統(tǒng)中的多余約束解除后，得到的“靜定基本系統(tǒng)”。

相當(dāng)系統(tǒng)在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到受力和變形與靜不定系統(tǒng)完全相同的“相當(dāng)系統(tǒng)”。

本例中

解除B處可 動支座約束， 得到靜定基。FFRAFRB當(dāng)前101頁，總共143頁。

解除B處可動支座約束，得到靜定基。

在靜定基上加上F和FRB,得到相當(dāng)系統(tǒng)。FFRB

求B點撓度用疊加法FFRAFRB當(dāng)前102頁，總共143頁。

在靜定基上加上F和FRB,得到相當(dāng)系統(tǒng)。FFRB

變形協(xié)調(diào)條件

求B點撓度用疊加法

具體計算B點撓度(WB)FFFRB(wB)FRB當(dāng)前103頁，總共143頁。

變形協(xié)調(diào)條件

具體計算B點撓度由表6.1中的3由表6.1中的2代入變形協(xié)調(diào)條件，可解出求出FRB后，就可象求解靜定梁一樣求解了。(WB)FFFRB(wB)FRB當(dāng)前104頁，總共143頁。

說明靜定基不是唯一的，可有多種選法。本題可解除A端的轉(zhuǎn)動約束,得到的靜定基是簡支梁alABCyMAF變形協(xié)調(diào)條件為：寫成疊加形式：當(dāng)前105頁，總共143頁。例題兩端支的梁由于支座Ａ發(fā)生轉(zhuǎn)動θＡ，求梁的內(nèi)力。θＡＬＡＢ解：去掉Ａ端約束，得到靜定基為懸壁梁(兩次靜不定)代替約束力ＦＳ和ＭＡ得到相當(dāng)系統(tǒng)。ＢＬＭＡＦＳ用疊加法求轉(zhuǎn)角θＡ和wA得到變形協(xié)調(diào)方程：當(dāng)前106頁，總共143頁。變形協(xié)調(diào)方程為：ＢＬＭＡＦＳ其中：代入?yún)f(xié)調(diào)方程后得到:由方程組解得:(負(fù)值表示與實際方向相反)當(dāng)前107頁，總共143頁。例題求D點撓度。已知兩桿EI=24106N·m2，CD桿的l=5m，A=310-4m2,E=200GPa，P=50kN當(dāng)前108頁，總共143頁。例題軸線變形后貼合曲面但不受力(例)什么曲線？什么外載荷?當(dāng)前109頁，總共143頁。二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？

正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系。

關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度當(dāng)前110頁，總共143頁。

BC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會有位移？FPABC

總體變形是微段變形累加的結(jié)果。

有位移不一定有變形。

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度當(dāng)前111頁，總共143頁。BlA靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立1.解除一端的固定端約束，使結(jié)構(gòu)變成靜定的懸臂梁MBFByMAFAyBlAMAFAyMBFBy

關(guān)于求解靜不定問題的討論

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度當(dāng)前112頁，總共143頁。BlAlAB靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立2.解除兩端的固定端約束，使結(jié)構(gòu)變成靜定的簡支梁MBFByMAFAyMBMAFByFAy

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度當(dāng)前113頁，總共143頁。利用對稱性FQc=0再利用對稱性c=0橫截面C

處兩側(cè)梁的相互約束稱為內(nèi)約束FQCFQCMCMCl/2AqCBl/2qCBlAq靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立3.將梁從對稱面處截開，使梁變成兩個懸臂梁

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度當(dāng)前114頁，總共143頁。

提高剛度的途徑

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度當(dāng)前115頁，總共143頁。

提高梁的剛度主要是指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅與載荷有關(guān)，而且與桿長和梁的彎曲剛度（EI）有關(guān)。

提高剛度的途徑

對于梁，其長度對彈性位移影響較大，例如對于集中力作用的情形，撓度與梁長的三次方成比例；轉(zhuǎn)角則與梁長的二次方成比例。

因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長度l。當(dāng)梁的長度無法減小時，則可增加中間支座。

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度當(dāng)前116頁，總共143頁。

因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長度l。當(dāng)梁的長度無法減小時，則可增加中間支座。

例如，在車床上加工較長的工件時，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤與尾架之間再增加一個中間支架。

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

當(dāng)前117頁，總共143頁。

此外，選用彈性模量E較高的材料也能提高梁的剛度。但是，對于各種鋼材，彈性模量的數(shù)值相差甚微，因而與一般鋼材相比，選用高強(qiáng)度鋼材并不能提高梁的剛度。

類似地，提高受扭圓軸的剛度，也可以通過減小軸的長度、增加軸的扭轉(zhuǎn)剛度（GIP）來實現(xiàn)。同樣，對于各種鋼材，切變模量G的數(shù)值相差甚微，所以通過采用高強(qiáng)度鋼材以提高軸的扭轉(zhuǎn)剛度，其效果是不明顯的。

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度當(dāng)前118頁，總共143頁。材料力學(xué)2023年3月23日第九章應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論（1）當(dāng)前119頁，總共143頁。

問題的提出基本變形橫截面應(yīng)力情況拉、壓及彎曲時截面上下頂點扭轉(zhuǎn)及彎曲時截面中性層sstt彎曲其它點sxt

?σy當(dāng)前120頁，總共143頁。一般情況yxz1任意方向的應(yīng)力應(yīng)變?nèi)绾畏治?2一般應(yīng)力情況如何進(jìn)行強(qiáng)度計算?3如何利用橫截面已有分析結(jié)果得到問題解答?當(dāng)前121頁，總共143頁。應(yīng)力狀態(tài)的基本概念平面應(yīng)力狀態(tài)任意方向面上的應(yīng)力應(yīng)力圓及其應(yīng)用

結(jié)論與討論應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力廣義胡克定律應(yīng)變能與應(yīng)變能密度強(qiáng)度理論概述關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論

第9章應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論返回總目錄當(dāng)前122頁，總共143頁?！?.1應(yīng)力狀態(tài)基本概念

第九章應(yīng)力和應(yīng)變分析、強(qiáng)度理論何謂應(yīng)力狀態(tài)如何研究應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)分類為什么要研究應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)前123頁，總共143頁?！?.1應(yīng)力狀態(tài)概述一、何謂應(yīng)力狀態(tài)

1、應(yīng)力概念的進(jìn)一步討論應(yīng)力點的概念和面(方向)的概念：T橫截面剪應(yīng)力：橫截面應(yīng)力：y當(dāng)前124頁，總共143頁?！?.1應(yīng)力狀態(tài)概述

桿件基本變形時的應(yīng)力分析是通過橫截面的應(yīng)變分析得到的，它僅能給出橫截面方向各點的應(yīng)力:一個特殊方向上的應(yīng)力!2、斜截面應(yīng)力：一、何謂應(yīng)力狀態(tài)圓軸扭轉(zhuǎn)時無正應(yīng)力嗎？純彎梁上無剪應(yīng)力的嗎？當(dāng)前125頁，總共143頁。FPFPFPFP受力之前,表面的正方形，受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。受力之前,表面斜置的正方形，受拉后，正方形變成了菱形，直角有了改變。這表明：拉桿的斜截面上存在剪應(yīng)力§9.1應(yīng)力狀態(tài)概述觀察與分析一、何謂應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)前126頁，總共143頁。

受扭之前圓軸表面的圓，受扭后，變?yōu)橐恍敝脵E圓，長軸方向表示承受拉應(yīng)力而伸長，短軸方向表示承受壓應(yīng)力而縮短。

這表明：軸扭轉(zhuǎn)時，其斜截面上存在著正應(yīng)力。

MxMxMxMx§9.1應(yīng)力狀態(tài)概述一、何謂應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)前127頁，總共143頁?！?.1應(yīng)力狀態(tài)概述

以上兩例說明：一點的應(yīng)力在不同方向