基本不等式 教學設計

PAGEPAGE1用心愛心專心3.4基本不等式（1）【教學目標】1學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣【教學重點】應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學難點】基本不等式等號成立條件【教學過程】1.課題導入基本不等式的幾何背景：探究：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。2合作探究（1）問題1：你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關。系）提問2:我們把“風車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設直角三角形的長為、，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？生答：，提問3：那4個直角三角形的面積和呢？生答：提問4：好，根據觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式，。什么時候這兩部分面積相等呢？生答：當直角三角形變成等腰直角三角形，即時，正方形EFGH變成一個點，這時有結論：（板書）一般地，對于任意實數、，我們有，當且僅當時，等號成立。提問5：你能給出它的證明嗎？(學生嘗試證明后口答,老師板書)證明:所以注意強調當且僅當時,(2)特別地,如果,也可寫成,引導學生利用不等式的性質推導(板書,請學生上臺板演):要證:①即證②要證②,只要證③要證③,只要證(-)④顯然,④是成立的,當且僅當時,④的等號成立(3)觀察圖形3.4-3,得到不等式①的幾何解釋兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數探究：課本中的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即a＝b時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評述：1.如果把看作是正數a、b的等差中項，看作是正數a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.即學即練:1若且，則下列四個數中最大的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2a,b是正數，則三個數的大小順序是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案BC例題分析：已知x、y都是正數，求證：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.分析：在運用定理：時，注意條件a、b均為正數，結合不等式的性質(把握好每條性質成立的條件)，進行變形.解：∵x，y都是正數∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0(1)＝2即≥2.(2)x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.變式訓練：Ｘ＞0，當Ｘ取何值時Ｘ+有最小值，最小值是多少解析：因為Ｘ＞0，Ｘ+≥2=2當且僅當Ｘ=時即x=1時有最小值2點評：此題恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等可以具體解釋每一項的意思。當堂檢測： 1.下列敘述中正確的是（）.（A）兩個數的算術平均數不小于它們的幾何平均數（B）兩個不等正數的算術平均數大于它們的幾何平均數（C）若兩個數的和為常數，則它們的積有最大值（D）若兩個數的積為常數，則它們的和有最小值12下面給出的解答中，正確的是（）.（A）y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2，∴y有最小值2（B）y＝|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)≥2eq\r(|sinx|·eq\f(4,|sinx|))＝4，∴y有最小值4（C）y＝x（－2x＋3）≤eq（eq\f(x－2x＋3,2)）\s\up8(2)＝eq（eq\f(－x＋3,2)）\s\up8(2)，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴當x＝1時，y有最大值eq（eq\f(－1＋3,2)）\s\up8(2)＝1（D）y＝3－eq\r(x)－eq\f(9,eq\r(x))≤3－2eq\r(eq\r(x)·eq\f(9,eq\r(x)))＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，則x＋eq\f(4,x)＋3的最小值為（）.（A）4（B）7（C）8