教學(xué)設(shè)計(jì) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

2.3.2等比數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法和過(guò)程.(2)掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)的運(yùn)用.（重點(diǎn)）(3)能夠運(yùn)用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和.（難點(diǎn)）2．過(guò)程與方法通過(guò)公式推導(dǎo)，提高數(shù)學(xué)建模意識(shí)，體會(huì)特殊到一般的思維方式．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)經(jīng)歷對(duì)公式的探索，激發(fā)學(xué)生求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，并從中獲得成功的體驗(yàn)．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)的運(yùn)用難點(diǎn)：運(yùn)用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和教學(xué)方法自學(xué)訓(xùn)練法、小組討論法教學(xué)過(guò)程●情景導(dǎo)入國(guó)際象棋盤內(nèi)麥子數(shù)“爆炸”傳說(shuō)西塔發(fā)明了國(guó)際象棋而使國(guó)王十分高興，他決定要重賞西塔，西塔說(shuō)：“我不要您的重賞，陛下，只要您在我的棋盤上賞一些麥子就行了.在棋盤的第1個(gè)格子里放1粒，在第2個(gè)格子里放2粒，在第3個(gè)格子里放4粒，依此類推，以后每一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到放滿第64個(gè)格子就行了.”“區(qū)區(qū)小事，幾粒麥子，這有何難，來(lái)人！”，國(guó)王令人如數(shù)付給西塔.計(jì)數(shù)麥粒的工作開(kāi)始了，第一格內(nèi)放1粒，第二格內(nèi)放2粒，第三格內(nèi)放4粒，……,還沒(méi)有到第二十格，一袋麥子已經(jīng)空了.一袋又一袋的麥子被扛到國(guó)王面前來(lái)。但是，麥粒數(shù)一格接一格飛快增長(zhǎng)著，國(guó)王很快就看出，即便拿出全國(guó)的糧食，也兌現(xiàn)不了他對(duì)西塔的諾言.如何求呢？請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！●探究新知探究點(diǎn)------等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式我們來(lái)研究新課導(dǎo)入中的問(wèn)題：思考1每個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次組成一個(gè)什么樣的數(shù)列？是等比數(shù)列嗎？提示：每個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次組成,因?yàn)榇藬?shù)列后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為2，所以此數(shù)列是等比數(shù)列.思考2請(qǐng)同學(xué)們思考一下，故事中發(fā)明家要求的麥?？倲?shù)如何求解？提示：發(fā)明家要求的麥?？倲?shù)就是上述數(shù)列的前64項(xiàng)的和，即：由得②－①，得這種求和方法稱為“錯(cuò)位相減法”，“錯(cuò)位相減法”是研究數(shù)列求和的一個(gè)重要方法．思考3請(qǐng)同學(xué)們自由討論，自己試著推導(dǎo)一下等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式？證法一：由等比數(shù)列的定義，根據(jù)比例的性質(zhì)，即證法二：設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是由⑴×q,得⑴－⑵，得所以當(dāng)q≠1時(shí)，顯然，當(dāng)q=1時(shí)，.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

思考4根據(jù)前面推導(dǎo)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，計(jì)算一下麥粒的總數(shù)是多少呢？所以，超過(guò)了1.84,假定千粒麥子的質(zhì)量為40g,那么麥粒的總重量超過(guò)了7000億噸，鋪在地球表面厚度可達(dá)9毫米厚.所以國(guó)王是不可能滿足發(fā)明者的要求的.●典例精講例1“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”.怎樣用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)說(shuō)明它？解：這句古話用現(xiàn)代文敘述是：一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半，永遠(yuǎn)也取不完.如果將每天取出的木棒長(zhǎng)度排成一個(gè)數(shù)列，則得到一個(gè)首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為不論n為何值，總大于0，這說(shuō)明一尺長(zhǎng)的木棒按上述方法永遠(yuǎn)也取不完.例2等比數(shù)列的公比求前8項(xiàng)的和解：因?yàn)樗砸虼诵〗Y(jié)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式涉及到5個(gè)量：已知其中3個(gè)量就可以求出另外的2個(gè)量.【提升總結(jié)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和“知三求二”問(wèn)題Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，Sn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)(q≠1)均為等比數(shù)列的求和公式，一共涉及a1，an，Sn，n，q五個(gè)量，通常已知其中三個(gè)，可求另外兩個(gè)，而且方法就是解方程組，這也是求解等比數(shù)列問(wèn)題的基本方法．例3．求和：9+99+999+…+分析：數(shù)列9，99，999，…不是等比數(shù)列，不能用公式求和，但將它轉(zhuǎn)化成10-1，100-1，1000-1，…就容易解決了.解：原式=（10-1）+（102-1）+…+（10n-1）=(10+102+…+10n)-n例4某工廠去年1月份的產(chǎn)值為a元，月平均增長(zhǎng)率為p（p>0）,求這個(gè)工廠去年全年產(chǎn)值的總和.解：該工廠去年2月份的產(chǎn)值為a(1+p)元，3月，4月……的產(chǎn)值分別為a(1+p)2,a(1+p)3,……去年12個(gè)月的產(chǎn)值組成以a為首項(xiàng)，（1+p）為公比的等比數(shù)列，因此，該廠去年全年的總產(chǎn)值為答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為元.例5.的前n項(xiàng)和為.【探究提示】分子是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,分母是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.2.可得到Sn關(guān)于n的表達(dá)式,從而為求an,bn創(chuàng)造了機(jī)會(huì).【解】(1)設(shè)兩式相減得：所以【方法技巧】1.錯(cuò)位相減法的使用范圍及注意事項(xiàng)(1)適用范圍：主要適用于{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和.(2)注意事項(xiàng)：①利用“錯(cuò)位相減法”時(shí),在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí),應(yīng)注意使兩式對(duì)齊,以便于作差,正確寫出(1-q)Sn的表達(dá)式;②利用此法時(shí)要注意討論公比q是否等于1.2.錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和的基本步驟(1)在等式Sn=a1+a2+a3+…+an兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q.(2)兩式相減：左邊為(1-q)Sn,右邊為q的同次式對(duì)齊相減.(3)右邊去掉最后一項(xiàng)(有時(shí)需要去掉第一項(xiàng))剩下的各項(xiàng)組成等比數(shù)列,可以采用公式求和.例6.(1)已知等比數(shù)列{an}中，前10項(xiàng)和S10＝10，前20項(xiàng)和S20＝30，求S30.(2)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)．【思路探究】(1)列出關(guān)于a1，q的方程組能求解嗎？S10，S20－S10，S30－S20是否成等比數(shù)列？用這一性質(zhì)能解決嗎？(2)“奇數(shù)項(xiàng)之和”、“偶數(shù)項(xiàng)之和”的含義是什么？你能使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解嗎？【解析】(1)法一設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，顯然q≠1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1(1－q10),1－q)＝10，,\f(a1(1－q20),1－q)＝30.))兩式相除得1＋q10＝3，∴q10＝2.∴S30＝eq\f(a1(1－q30),1－q)＝eq\f(a1(1－q10),1－q)(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比數(shù)列，又∵S10＝10，S20＝30，∴S30－30＝eq\f((30－10)2,10)，即S30＝70.(2)法一設(shè)原等比數(shù)列的公比為q，項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)．由已知a1＝1，q≠1，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－q2n,1－q2)＝85，①,\f(q(1－q2n),1－q2)＝170.②))由②÷①，得q＝2，∴eq\f(1－4n,1－4)＝85,4n＝256，∴n＝4.故公比為2，項(xiàng)數(shù)為8.法二∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(170,85)＝2.又Sn＝85＋170＝255，據(jù)Sn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)，得eq\f(1－2n,1－2)＝255，∴2n＝256，∴n＝8.故公比q＝2，項(xiàng)數(shù)n＝8.規(guī)律方法：1．解決本例有兩種思路：用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解，屬通性通法；用性質(zhì)求解，方法靈活，技巧性強(qiáng)，有時(shí)使計(jì)算簡(jiǎn)便．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)(1)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q.①若共有2n項(xiàng)，則S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1項(xiàng)，則S奇－S偶＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)．(2)“片斷和”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前m項(xiàng)和為Sm(Sm≠0)，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…構(gòu)成公比為●課堂小結(jié)1.注意等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分和兩種情況.當(dāng)q≠1時(shí)，或，當(dāng)q=1時(shí)，。2.學(xué)會(huì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程（兩種方法）.3.錯(cuò)位相減法的使用范圍及注意事項(xiàng)當(dāng)堂檢測(cè)1.（2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)首項(xiàng)為1，公比為，的等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，則（）A.B.C.D.2.三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，且三個(gè)正數(shù)滿足a+b+c=62,lga+lgb+lgc=3,則這三個(gè)正數(shù)為_(kāi)_______________________.3.（2013·江