自動控制原理控制系統(tǒng)靈敏分析

（優(yōu)選）自動控制原理控制系統(tǒng)靈敏度分析當前1頁，總共56頁。對于閉環(huán)系統(tǒng)的情況，如果在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域內(nèi)，都有：(3.71)成立，則可得到：(3.72)

那么，輸出僅受到H(s)的影響，而且H(s)有可能是一個常數(shù)。如果H(s)=1，得到的結(jié)果正是期望的輸入值，那就是，輸出等于輸入。但是，在對閉環(huán)控制系統(tǒng)應(yīng)用式(3.72)這樣一個近似之前，必須注意式(3.71)這一前提條件，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)為劇烈振蕩，甚至于不穩(wěn)定。盡管如此，增加開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的大小會導(dǎo)致G(s)對輸出影響減少的事實是一個極有用的概念。因此，反饋控制系統(tǒng)的最重要優(yōu)勢就是被控過程參數(shù)G(s)變化的影響被減少了。|G(s)H(s)|>>1

當前2頁，總共56頁。為描述參數(shù)變化的影響，假設(shè)被控過程G(s)發(fā)生變化，新被控過程就是G(s)+ΔG(s)。那么，在開環(huán)情況下，輸出的變化為(3.73)在閉環(huán)系統(tǒng)中，有(3.74)考慮到,則輸出的改變就是：(3.75)通常情況下，有G(s)H(s)>>ΔG(s)H(s)，于是：(3.76)ΔC(s)=ΔG(s)R(s)

當前3頁，總共56頁。觀察式(3.76)可以看出，由于[1+G(s)H(s)]在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)常常遠大于1，因此閉環(huán)系統(tǒng)輸出的變化減少了。因子[1+G(s)H(s)]在反饋控制系統(tǒng)的特征中起到了非常重要的作用。系統(tǒng)靈敏度定義為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化率與被控過程傳遞函數(shù)變化率的比值。如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)為則，靈敏度定義為(3.77)取微小增量的極限形式，則式(3.77)成為(3.78)GB(s)=C(s)/R(s)當前4頁，總共56頁。很明顯，從式(3.73)可以看出，開環(huán)系統(tǒng)的靈敏度等于1。閉環(huán)系統(tǒng)靈敏度可以從式(3.78)容易得到。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為因此反饋系統(tǒng)關(guān)于G(s)的靈敏度為即(3.79)當前5頁，總共56頁。再次可以看到，在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)GH(s)增加時，閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度將會低于開環(huán)系統(tǒng)的靈敏度。同樣道理，可以考察閉環(huán)系統(tǒng)對反饋環(huán)節(jié)H(s)改變時的系統(tǒng)靈敏度，令(3.80)

即(3.81)當G(s)H(s)很大時，靈敏度約為1，也就是H(s)的變化將直接影響到系統(tǒng)的輸出。因此，使用不隨環(huán)境改變或基本恒定的反饋器件是很重要的。由此可見，控制系統(tǒng)引入反饋環(huán)節(jié)后能減少因參數(shù)變化而造成的影響，尤其是因被控過程參數(shù)變化所造成的影響，這是反饋控制系統(tǒng)的一個重要優(yōu)點。當前6頁，總共56頁。下面介紹一個利用反饋減少靈敏度的簡單例子。運算放大器是一種被廣泛使用在電子線路上的集成電路器件，它的基本應(yīng)用電路是圖3-36（a）所示的反相放大器電路。通常，運算放大器的增益A遠大于104。由于輸入阻抗很高，所以運算放大器的輸入電流可以忽略不計，因此在節(jié)點n，可寫出電流關(guān)系式如下(3.82)由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以uc=-Aun，因此(3.83)將(3.83)代入(3.82)，得到(3.84)當前7頁，總共56頁。解出輸出電壓uc

，有(3.85)可重寫式(3.85)如下

(a)電路原理圖(b)結(jié)構(gòu)圖圖3-36反相放大器當前8頁，總共56頁。當A>>1時，可忽略R1/Rf項，則(3.86)其中，k=R1/Rf。反相放大器電路結(jié)構(gòu)圖如圖3-36（b），圖中反饋環(huán)節(jié)是H(s)=k，前向通道的傳遞函數(shù)是G(s)=-A。進一步，當A>>1時，反相放大器電路的傳遞函數(shù)為(3.87)

當運算放大器處于開環(huán)狀態(tài)（即無反饋電阻Rf）時，相對于增益A的開環(huán)靈敏度為1。在閉環(huán)時，相對于增益A的閉環(huán)靈敏度為(3.88)當前9頁，總共56頁。如果A=104而且k=0.1，有(3.89)則靈敏度接近于0.001，是開環(huán)靈敏度的千分之一。再來考慮閉環(huán)時相對于因子k（或者反饋電阻Rf）的靈敏度。處理方法同上，得

(3.90)相對于k的閉環(huán)靈敏度接近于1。當前10頁，總共56頁。第六節(jié) 應(yīng)用MATLAB分析控制系統(tǒng)的性能這一節(jié)將用兩個例子描述反饋控制的優(yōu)點，同時說明如何利用MATLAB來分析控制系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的主要內(nèi)容包括如何抑制干擾、如何減小穩(wěn)態(tài)誤差、如何調(diào)節(jié)瞬態(tài)響應(yīng)以及如何減少系統(tǒng)對參數(shù)變化的影響等。當前11頁，總共56頁。第一個例子是帶有負載轉(zhuǎn)矩干擾信號的電樞控制直流電動機。開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-37(a)所示，為了改善系統(tǒng)性能，加入速度反饋如圖3-37(b)所示。系統(tǒng)的各元器件參數(shù)值在表3.6中給出。

從圖中可以看出，系統(tǒng)有Ua(s)（或Vr(s)）和ML(s)兩個輸入。由于這是一個線性系統(tǒng)，按疊加定理可以分別考慮兩個輸入的獨立作用結(jié)果。為了研究干擾對系統(tǒng)的作用，可令Ua(s)=0（或Vr(s)=0），此時只有干擾ML(s)起作用。相反地，為了研究參考輸入對系統(tǒng)的響應(yīng)，可令ML(s)=0。如果系統(tǒng)具有很好的抗干擾能力，則干擾信號ML(s)對輸出w(s)的影響就應(yīng)該很小，下面就來驗證此結(jié)論。參數(shù)名

Ra

Km

J

B

Ke

Ka

Ks

參數(shù)值

1

10

2

0.50.1

54

1

當前12頁，總共56頁。圖3-37速度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖當前13頁，總共56頁。首先，考慮圖3-37(a)所示的開環(huán)系統(tǒng)，從ML(s)到wo(s)(此處的下標“o”表示開環(huán))的傳遞函數(shù)為假設(shè)干擾信號為單位階躍信號，即ML(s)=1/s。利用MATLAB可以計算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3-38(a)所示，而用于分析此開環(huán)控制系統(tǒng)的MATLAB程序文本opentach.m示于圖3-38(b)。在輸入信號Ua(s)=0的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差就是干擾響應(yīng)wo(t)的終值。在圖3-38(a)的曲線中，干擾響應(yīng)wo(t)在t=7秒后已近似不變，所以近似穩(wěn)態(tài)誤差值為

wo(∞)≈-0.663(弧度/秒)當前14頁，總共56頁。同樣，通過計算從ML(s)到wc(s)(此處下標“c”表示閉環(huán))的閉環(huán)傳遞函數(shù)可分析圖3-37(b)所示閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾性能。對于干擾輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(a)開環(huán)速度系統(tǒng)對階躍干擾的響應(yīng)曲線當前15頁，總共56頁。%開環(huán)速度控制系統(tǒng)對干擾信號的單位階躍應(yīng):opentach.mRa=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;num1=[1];den1=[JB];num2=[Km*Ke/Ra];den2=[1];[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2);%干擾信號為負num=-num;printsys(num,den)%wo為輸出,“o”表示開環(huán)[wo,x,t]=step(num,den);plot(t,wo)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid%顯示穩(wěn)態(tài)誤差，即wo的最后一個值wo(length(t))當前16頁，總共56頁。閉環(huán)系統(tǒng)對單位階躍干擾輸入的響應(yīng)曲線w(t)和MATLAB程序文本closedtach.m分別示于圖3-39(a)(b)。同前，穩(wěn)態(tài)誤差就是w(t)的終值，穩(wěn)態(tài)誤差的近似值為

在本例中，閉環(huán)系統(tǒng)與開環(huán)系統(tǒng)對單位階躍干擾信號的輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值之比為可見通過引入負反饋已明顯減小了干擾對輸出的影響，這說明閉環(huán)反饋系統(tǒng)具有抑制噪聲特性。當前17頁，總共56頁。(a)閉環(huán)系統(tǒng)對階躍干擾的響應(yīng)曲線(b)MATLAB程序文本:closetach.m

圖3-39閉環(huán)速度控制系統(tǒng)分析當前18頁，總共56頁。%閉環(huán)速度控制系統(tǒng)對干擾信號的單位階躍響應(yīng):closetach.mRa=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1num1=[1];den1=[JB];num2=[Ka*Ks];den2=[1];num3=[Ke];den3=[1];num4=[Km/Ra];den4=[1];[numa,dena]=parallel(num2,den2,num3,den3);[numb,denb]=series(numa,dena,num4,den4);[num,den]=feedback(num1,den1,numb,denb);%干擾信號為負num=-num;printsys(num,den)%wc為輸出,“c”表示閉環(huán)[wc,x,t]=step(num,den);plot(t,wc)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid%顯示穩(wěn)態(tài)誤差，即wc的最后一個值wc(length(t))當前19頁，總共56頁。第二個例子是分析閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制器增益K對瞬態(tài)響應(yīng)的影響。圖3-40是閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。在參考輸入R(s)和干擾輸入N(s)同時作用下系統(tǒng)的輸出為圖3-40反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖當前20頁，總共56頁。如果單純考慮增益K對參考輸入產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)的影響，可以預(yù)計增加K將導(dǎo)致超調(diào)量增加、調(diào)整時間減少和響應(yīng)速度提高。在增益K=20和K=100時，系統(tǒng)對參考輸入的單位階躍響應(yīng)曲線以及相應(yīng)的MATLAB程序文本gain_kr.m示于圖3-41。對比兩條響應(yīng)曲線，可以看出上述預(yù)計的正確性。盡管在圖中不能明顯看出增大K能減少調(diào)整時間，但是這一點可以通過觀察MATLAB程序的運行數(shù)據(jù)得以驗證。這個例子說明了控制器增益K是如何改變系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的。根據(jù)以上分析，選擇K=20可能是一個比較好的方案。盡管如此，在做出最后決定之前還應(yīng)該考慮其他因素。

當前21頁，總共56頁。(a)階躍響應(yīng)曲線(b)MATLAB程文本:gain_kr.m

圖3-41單位階躍輸入的響應(yīng)分析當前22頁，總共56頁。%K=20和K=100時，參考輸入的單位階躍響應(yīng)：gain_kr.mnumg=[1];deng=[110];K1=100;K2=20;num1=[11K1];num2=[11K2];den=[01];%簡化結(jié)構(gòu)圖[na,da]=series(num1,den,numg,deng);[nb,db]=series(num2,den,numg,deng);[numa,dena]=cloop(na,da);[numb,denb]=cloop(nb,db);%選擇時間間隔t=[0:0.01:2.0];[c1,x,t]=step(numa,dena,t);[c2,x,t]=step(numb,denb,t);plot(t,c1,'--',t,c2)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Cr(t)'),grid當前23頁，總共56頁。在對K做出最后選擇之前，非常重要的是要研究系統(tǒng)對單位階躍干擾的響應(yīng)，有關(guān)結(jié)果和相應(yīng)的MATLAB程序文本如圖3-42所示。從中可以看到，增加K減少了單位干擾響應(yīng)的幅值。對于K=20和K=100，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值分別為0.05和0.01。對干擾輸入的穩(wěn)態(tài)值可按終值定理求得

如果僅從抗干擾的角度考慮，選擇K=100更合適。在本例中所求出的穩(wěn)態(tài)誤差、超調(diào)量和調(diào)整時間（2%誤差）歸納于表3.7。

當前24頁，總共56頁。(a)階躍響應(yīng)曲線(b)MATLAB程序文本:gain_kn.m圖3-42單位階躍干擾的響應(yīng)分析當前25頁，總共56頁。%K=20和K=100時，干擾輸入的單位階躍響應(yīng)：gain_kn.mnumg=[1];deng=[110];K1=100;K2=20;num1=[11K1];num2=[11K2];den=[01];%簡化結(jié)構(gòu)圖[numa,dena]=feedback(numg,deng,num1,den);[numb,denb]=feedback(numg,deng,num2,den);%選擇時間間隔t=[0:0.01:2.5];[c1,x,t]=step(numa,dena,t);[c2,x,t]=step(numb,denb,t);plot(t,c1,'--',t,c2)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Cn(t)'),grid當前26頁，總共56頁。

表3.7K=20和K=100時，控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性K值

K=20

K=100

超調(diào)量sp%

4%

22%調(diào)整時間

ts

1.0秒

0.7秒

穩(wěn)態(tài)誤差ess

5%1%當前27頁，總共56頁。(a)被控對象變化時系統(tǒng)的靈敏度當前28頁，總共56頁。%系統(tǒng)靈敏度分析K=20;num=[110];den=[112K];%取s=jw,w的范圍為10-1～103，共取200點w=logspace(-1,3,200);s=w*j;%S為靈敏度，S2為靈敏度的近似值n=s.^2+s;d=s.^2+12*s+K;S=n./d;n2=s;d2=K;S2=n2./d2;subplot(211),plot(real(S),imag(S))xlabel('Real(S)'),ylabel('imag(S)'),gridsubplot(212),loglog(w,abs(S),w,abs(S2))xlabel('w[rad/sec]'),ylabel('abs(S)')(b) MATLAB程序文本圖3-43系統(tǒng)的靈敏度分析當前29頁，總共56頁。最后來分析被控對象變化時系統(tǒng)的靈敏度。在本例中，被控對象的傳遞函數(shù)和閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)的靈敏度可由式(3.78)得出利用上式可計算不同s值所對應(yīng)的靈敏度SG，并繪制出頻率—靈敏度曲線。圖3-43(a)中給出的是K=20，s=jw，w=10-1~10-4時，系統(tǒng)的靈敏度相對于頻率w的變化曲線，圖3-43(b)是相應(yīng)的MATLAB程序文本。在低頻段，系統(tǒng)的靈敏度可近似為可見，增大K值，可以減少系統(tǒng)的靈敏度。當前30頁，總共56頁。第七節(jié)設(shè)計實例(一)英吉利海峽海底隧道鉆機

連接法國和英國的英吉利海峽海底隧道于1987年12月開工建造，1990年11月，從兩個國家分頭開鉆的隧道首次對接成功。隧道長23.5英里，位于海平面以下200英尺。隧道于1992年完工，共花費14億美元，每天能通過50趟列車。這個工程把英國同歐洲大陸連接起來，將倫敦到巴黎的火車行車時間縮短為3個小時當前31頁，總共56頁。鉆機分別從海峽兩端向中間推進，并在海峽的中間對接。為了使對接達到必要的精度，施工時使用了一個激光導(dǎo)引系統(tǒng)以保持鉆機的直線方向。鉆機的控制模型如圖所示，其中Y（s）是鉆機向前的實際角度，R（S）是預(yù)期的角度，負載對機器的影響用干擾D（S）表示。3.44鉆機控制系統(tǒng)框圖當前32頁，總共56頁。設(shè)計的目標是選擇增益K使得對輸入角度的響應(yīng)滿足工程要求，并且使干擾引起的誤差最小。應(yīng)用Mason信號流圖增益公式，對兩個輸入的輸出為：當前33頁，總共56頁。為減少干擾的影響，我們希望增益大于10。當設(shè)置增益K=100，并令D（T）=0時，可得到系統(tǒng)對單位階躍輸入R（T）的響應(yīng)，如圖所示。令r(t)=0則可以確定系統(tǒng)對單位階躍干擾的響應(yīng)y(T),如圖所示。由此可見，干擾的影響是很少的。如果設(shè)置增益K=20，可得到系統(tǒng)對單位階躍r(t)和d(t)的響應(yīng)曲線如圖所示。由于此時系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量較?。ㄐ∮?%），且在2s之內(nèi)即達到穩(wěn)態(tài)，所以我們選擇K=20。為便于比較，特將上述結(jié)果同時列于表中。表3.8鉆機系統(tǒng)在兩種增益情況下的響應(yīng)當前34頁，總共56頁。系統(tǒng)對單位階躍輸入R（s）=1/s的穩(wěn)態(tài)誤差為：當干擾為單位階躍[D（s)=1/s],輸入r(t)=0時，y(t)的穩(wěn)態(tài)值為：當前35頁，總共56頁。于是當K=100和200時，干擾響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值分別為0.01和0.05。最后考慮系統(tǒng)對G（s）的變化的靈敏度，得：在低頻頻段（），靈敏度近似為：其中K≥20?？梢姰斣鲆鍷增加時，系統(tǒng)的靈敏度會降低，因此我們選擇K=20是一種合理的折中。當前36頁，總共56頁。(二)火星漫游車

圖所示的是以太陽能作動力的“逗留者號”火星漫游車。由于地球上發(fā)出的路徑控制信號r(t)能對該裝置實施遙控。本例中我們將斜坡信號[r(t)=t,t>0]用作輸入信號。該裝置既能以開環(huán)方式工作（不帶反饋），圖3.45火星漫游車當前37頁，總共56頁。又能夠以閉環(huán)方式工作（帶反饋），分別如圖所示。本例設(shè)計的目的是使漫游車受干擾（如巖石）的影響較小，而且對增益K變化的靈敏度也較小。

開環(huán)的傳遞函數(shù)是：閉環(huán)的傳遞函數(shù)是當前38頁，總共56頁。K=2時，這時我們可對開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度進行比較。開環(huán)系統(tǒng)的靈敏度為：當前39頁，總共56頁。圖3.46漫游車的控制系統(tǒng)當前40頁，總共56頁。閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度為：為了考察系統(tǒng)在低頻時的靈敏度，令s=jω，得：圖3.47火星漫游車閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度幅值當前41頁，總共56頁。對K=2，在頻率ω<0.1時系統(tǒng)的靈敏度為靈敏度的幅值隨頻率變化的曲線如圖所示。從圖可以看出，系統(tǒng)在低頻段的靈敏度為當前42頁，總共56頁。(三)哈勃太空望遠鏡指向控制哈勃太空望遠鏡是迄今為止人類建造的最為復(fù)雜和昂貴的科學(xué)儀器。該儀器于1990年4月14日發(fā)射至離地球380英里的太空軌道，它的發(fā)射和應(yīng)用將技術(shù)發(fā)展推向了一個新的高度。望遠鏡的2.4M鏡頭擁有所有鏡頭中最光滑的表面，其定向系統(tǒng)能在400英里以外將視場聚集在一個硬幣上。望遠鏡的偏差在1993年12月的一次太空任務(wù)中得到了大規(guī)模的校正。下面考慮圖所示的望遠鏡定向系統(tǒng)的模型。當前43頁，總共56頁。設(shè)計的目標是選擇k1和k2，使得：（1）在階躍指令r(t)作用下，輸出的超調(diào)量小于或等于10%；（2）在斜坡輸入作用下，穩(wěn)態(tài)誤差達到最??；（3）減小階躍干擾的影響。因為系統(tǒng)有內(nèi)環(huán)，還需將框圖化簡為圖的簡化系統(tǒng)。應(yīng)用Mason信號流圖公式，可得到圖系統(tǒng)在兩個輸入作用下的輸出：當前44頁，總共56頁。其中誤差為當前45頁，總共56頁。首先選擇K和K1以滿足對階躍輸入的超調(diào)量要求。令R（s）=A/s,D(s)=0，我們得：為使超調(diào)量小于10%，選擇ξ=0.6。利用上圖可得到ξ=0.6時的超調(diào)量為9.5%。接下來討論響應(yīng)斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。當r(t)=Bt，t>0時，由上式可得：當前46頁，總共56頁。由單位階躍干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為-1/K，可見增大K可以減少由單位階躍干擾引起的瞬態(tài)響應(yīng)。因此，我們要尋找一個較