《勾股定理》典型題目

《勾股定理》看數(shù)學思想【附練習】1.數(shù)形轉(zhuǎn)變①“勾股定理”定理是“形→數(shù)”的轉(zhuǎn)變。條件是形---“直角三角形”，得出的結(jié)論是數(shù)---“邊之間的數(shù)目關(guān)系”。標準格式是：∵△ABC是直角三角形，∠C是直角，∴CA2+CB2=AB2②“勾股定理”的逆定理是“數(shù)→形”的轉(zhuǎn)變。條件是數(shù)---“邊之間的數(shù)目關(guān)系”，得出的結(jié)論是形---“直角三角形”。標準格式：∵CA2+CB2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C是直角應用舉例：如下圖，有一塊地，已知AD=，CD=，∠ADC=90°，AB=，BC=，則這塊地的面積為多少？解：∵△ADC是直角三角形AC2=AD2+DC2=42+32=52（注：這是在用勾股定理）∵AC2+BC2=52+122=169AB2=132=169AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形（注：這是在用勾股定理的逆定理）∴S地=S△ABC-S△ADC=（米2）2.方程思想我們知道，知道直角三角形的兩條邊，能夠借助勾股定理求出第三邊?？墒怯械膯栴}只知道直角三角形的一條邊，這時候，要考慮借助勾股定理列方程解決問題。例1：如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝，BC＝，先將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．3Ｄ．5解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100=102AB=10（cm）∵AE=AC=6cm，EB=4cm∵∠AED=∠C=90°∴∠DEB=90°∴△DEB是直角三角形DE2+EB2=DB2設CD=xcm，則DE=CD=xcm，DB=（8-x）cmx2+42=(8-x)2解得x=3，因此，CD=3cm例2：在筆挺的公路上A、B兩點相距，在A的正南方處有鄉(xiāng)村D，在B的正南方處有鄉(xiāng)村C.此刻要在AB上建一其中轉(zhuǎn)站E，是的C、D兩鄉(xiāng)村到E站的距離相等。1利用尺規(guī)作圖，做出點E的地點。計算點E距離點A多遠？解：（1）如圖，點E就是要建中轉(zhuǎn)站的地點2）設AE=xkm，則EB=(20-x)km在Rt△ADE中DE2=AD2+AE2=82+x2在Rt△EBC中EC2=EB2+BC2=(20-x)2+112∵DE=EC82+x2=(20-x)2+112解得x=km因此，點E與點A的距離是km典型題目練習一．折疊問題1.一張直角三角形的紙片，如下圖折疊，使兩個銳角的極點A、B重合，若AC=6，BC=8，求DC的長。2.如下圖，將長方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在BC邊的F處。已知AB=CD=，BC=AD=，求EC的長。其余折疊問題常有圖形：二．最短問題1.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬和高分別為50寸，30寸和10寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃爽口的食品，則它所走的最短2路線長是多少？如圖，長方體的長，寬，高分別為8，4，10．若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈抵達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為多少？3.如圖，一圓柱體的底面周長為16，高AB為15，BC是上底面的直徑．一只昆蟲從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，則昆蟲爬行的最短行程為多少？如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻假如要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是多少？如下圖，有一根高為的木柱，它的底面周長為，為了創(chuàng)造喜慶的氛圍，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂平均地環(huán)繞圈，向來纏到起點的正上方為止，問：小明起碼需要準備多長的一根彩帶？3三．梯子問題1.如圖，一架云梯AC長為，斜靠在一豎直的墻CO上，這時梯子底端A離墻的距離AO是，假如梯子的頂端C沿墻下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少米？2.如圖，兩墻之間的距離BC=，當云梯靠在西墻的時候，此時能夠達到的高度AB=；若云梯底部O不動，使云梯靠在東墻上，此時云梯能夠達到的高度DC=，試求BO的距離。四．蘆葦問題1.有一個邊長為1O尺的正方形水池，一棵蘆葦AB生長在它的中央，超出水面BC為l尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽遇到岸邊的B'（如圖）時，水恰巧沒過蘆葦．問水深和長各多少？4如圖，小亮將升旗的繩索拉到旗桿底端，繩索尾端恰巧接觸到地面，而后將繩索尾端拉到距離旗桿處，發(fā)現(xiàn)此時繩索尾端距離地面，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽視不計）為多少米？五．結(jié)構(gòu)直角三角形1.如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的極點，則∠ABC的度數(shù)為（）A．90°B．60°C．45°D．30°2.如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個鄉(xiāng)村，A村到公路l的距離AC＝B村到公路l的距離BD＝，CD=（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的地點（保存清楚的作圖印跡，并簡要寫明作法）．六．綜合題目如圖，西安路與南京路平行，而且與八一街垂直，曙光路與環(huán)