專題17 解密幾何綜合壓軸題-2023年中考數(shù)學(xué)拉分專題（學(xué)生版）

專題17解密幾何綜合壓軸題1．【問題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開展了以折疊為主題的探究活動(dòng)，如圖1，已知矩形紙片，其中寬．(1)【動(dòng)手實(shí)踐】：如圖1，威威同學(xué)將矩形紙片折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，連接，然后將紙片展平，得到四邊形，則折痕的長(zhǎng)度為______．(2)【探究發(fā)現(xiàn)】：如圖2，勝勝同學(xué)將圖1中的四邊形剪下，取邊中點(diǎn)，將沿折疊得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，求此時(shí)的值；(3)【反思提升】：明明同學(xué)改變圖2中點(diǎn)的位置，即點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)仍是邊上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中方式折疊，使點(diǎn)落在線段上，明明同學(xué)不斷改變點(diǎn)的位置，發(fā)現(xiàn)在某一位置與（2）中的相等，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)度．2．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．3．將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，連接，如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為，連接，可求出的值為；當(dāng)且時(shí)，①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．4．如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形的對(duì)角線上，，垂足為點(diǎn)E，，垂足為點(diǎn)F．(1)證明與推斷：①求證：四邊形是正方形：②推斷：的值為_____________；(2)探究與證明：將正方形繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)拓展與運(yùn)用：正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．①求證：．②若，，則_________________．5．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），以CD為邊作正方形CDEF，連接AE，AF．(1)觀察猜想當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，線段BD與AF的數(shù)量關(guān)系是______，∠CAE的度數(shù)是______．(2)探究證明當(dāng)點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．(3)解決問題當(dāng)BD時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AE的長(zhǎng)．6．已知，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，∠BDE=∠A且DB=DE，連接BE，EC，其中．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠A=60°，∠BCE與∠A怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？直接寫出答案．類比探究：（2）如圖2，若，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，∠BCE與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？請(qǐng)說明理由．拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，D為AC上一點(diǎn)，以BD為邊，在如圖所示位置作正方形BDEF，點(diǎn)O為正方形BDEF的對(duì)稱中心，且OA=，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．

7．在四邊形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的一點(diǎn)，且．（1）若四邊形為正方形；①如圖1，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；②將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出草圖，并求出與的數(shù)量關(guān)系．8．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：①的值為；②∠AMB的度數(shù)為．（2）類比探究如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD=1，OB=，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．9．解答題(1)如圖1，和都是等邊三角形，連接、，求證，；[類比探究](2)如圖2，和都是等腰直角三角形，，連接．求的值．[拓展提升](3)如圖3，和都是直角三角形，，．連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．若恰好等于，請(qǐng)直接寫出此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系．10．如圖1，已知矩形中，，O是矩形的中心，過點(diǎn)O作于E，作于F，得矩形BEOF．(1)線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，直線AE與CF的位置關(guān)系是；(2)固定矩形，將矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接．那么（1）中的結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)說明理由；(3)若，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)O在CF上時(shí)（如圖3），設(shè)OE與BC交于點(diǎn)P，求PC的長(zhǎng)．11．（1）如圖1，正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，正方形OA′B′C′與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等．正方形OA′B′C′繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？如果變化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有何關(guān)系？請(qǐng)寫出結(jié)論并證明．結(jié)論：______________________________________________________證明：______________________________________________________【提出問題】“其他形狀相同的兩個(gè)圖形，在類似上述旋轉(zhuǎn)的過程中，上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否依然成立？”現(xiàn)對(duì)正三角形進(jìn)行研究．（2）如圖2，正三角形ABC的中心為點(diǎn)O，正三角形OA′B′與正三角形ABC的邊長(zhǎng)相等，邊OA′經(jīng)過點(diǎn)B．正三角形OA′B′繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤120°），運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)正三角形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？如果變化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重疊部分的面積與正三角形ABC的面積有何關(guān)系？請(qǐng)寫出研究過程．12．在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為___________；②面積的最大值