等比數列的前n項和

#等比數列的前n項和一、教材分析1.從在教材中的地位與作用來看《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養(yǎng)．2.從學生認知角度看從學生的思維特點看，很容易把本節(jié)內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導．不利因素是：本節(jié)公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯．學情分析學生雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹．重點、難點教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用．教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用．三、過程分析學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規(guī)律，盡可能地讓學生去經歷知識的形成與發(fā)展過程，結合本節(jié)課的特點，我設計了如下的教學過程：1.創(chuàng)設情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求．西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？設計意圖：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學生的興趣，調動學習的積極性．故事內容緊扣本節(jié)課的主題與重點．此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數122223……給.帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和．這時我對他們的這種思路給予肯定．設計意圖：在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙．同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆.2.師生互動，探究問題在肯定他們的思路后，我接著問：1,2,22,…，263是什么數列？有何特征？應歸結為什么數學問題呢？探討1：設s=122223…23，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，64有何聯系？（學生會發(fā)現，后一項都是前一項的2倍）探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有2s=22223…2324，記為（2）式.比較（1）（2）兩式，64你有什么發(fā)現？設計意圖：留出時間讓學生充分地比較，等比數列前口項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學生的辯證思維能力的良好契機．經過比較、研究，學生發(fā)現：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：S二264-1.老師指出：這就是錯位相減法，并64要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？設計意圖：經過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心．3.類比聯想，解決問題這時我再順勢引導學生將結論一般設等比數列｛a｝，首項為為公比為q,如何求前n項和s? 這里，讓學生自主完成，，并喊一名學生上黑板，然n后對個別學生進行指導．設計意圖：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感．在學生推導完成后，我再問由Q-/s=a-aqn得s=ai—aqnn1 1 n 1-q對不對？這里的q能不能等于1?等比數列中的公比能不能為1?q=1時是什么數列？此時s二？（這里引導學生對q進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下1基礎.）再次追問：結合等比數列的通項公式a=aqn-1,如何把s用a、a、q表示出來?（引導學生得出公式的另一形式） n1 n1n設計意圖：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力．這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用．4.討論交流，延伸拓展在此基礎上，我提出：探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道,那么我們能否利用這個關系而求出s呢銀描等國數列的定*又有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"s=a+aq+aq2++aqni=a+q（a+aq++aqn-2）n1 1 1 1 14=4=4=.?.=4=q,能否聯想到等比定理從而求出sn呢？aaaa1 2 3 n-1設計意圖：以疑導思，激發(fā)學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到S=a+qs,這其實就是關于sn1 n-1 n的一個遞推式，遞推數列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發(fā)展有促進作用.5.變式訓練,深化認識例1求等比數列1,1,1，焉,…前8項和；248161、等比數列i，i，i，白，…前多少項的和是6324816 642、等比數列1，1，1，熹，…,求第5項到第10項的和.248163、等比數列1，1，1，熹,…求前2項中所有偶數項的和.24816首先，學生獨立思考，自主解題，再請學生上臺來幻燈演示他們的解答，其它同學進行評價，然后師生共同進行總結．設計意圖：采用變式教學設計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成．通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養(yǎng)學生的參與意識和競爭意識．.例題講解，形成技能例2：求和1+a+a2+a3+ 1-dn-l.設計意圖：解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養(yǎng)學生對含有參數的問題進行分類討論的數學思想．.總結歸納，加深理解以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結．設計意圖：以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力．.故事結束，首尾呼應最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84X1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾．設計意圖：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克服疲倦、繼續(xù)積極思維．.課后作業(yè)，分層練習必做：P129練習1、2、3、4選作：思考題1求和x+2x2+3x3+—+nxn.(2)“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？設計意圖：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間．四、教法分析對公式的教學，要使學生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導方法，理解公式的成立條件，充分體現公式之間的聯系.在教學中，我采用“問題一一探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規(guī)律、總結規(guī)律、應用規(guī)律四個階段．利用多媒體輔助教學，直觀地反映了教學內容，使學生思維活動得以充分展開，從而優(yōu)化了教學過程，大大提高了課堂教學效率．五、評價分析本節(jié)課通過推導方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了等比數列前n項和公式．錯位相減：變加為減，